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1、1数列通项公式的十种求法数列通项公式的十种求法一、公式法一、公式法例例 1 1 已知数列满足，求数列的通项公式。na123 2nnnaa 12a na解：两边除以，得，则，故数列是以123 2nnnaa 12n1 13 222nn nnaa 1 13 222nn nnaa 2n na为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所122 2a112331 (1)22n nan 以数列的通项公式为。na31()222n nan评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列123 2nnnaa 1 13 222nn nnaa 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列2
2、n na31 (1)22n nan 的通项公式。na二、累加法二、累加法例例 2 2 已知数列满足，求数列的通项公式。na11211nnaana，na解：由得则121nnaan121nnaan112322112()()()()2(1) 1 2(2) 1(2 2 1)(2 1 1) 12(1)(2)2 1(1) 1(1)2(1) 12 (1)(1) 1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn LLL所以数列的通项公式为。na2 nan评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出121nnaan121nnaan，即得数列的通项公式。11232211()()()()nnnnaaaa
3、aaaaaLna例例 3 3 已知数列满足，求数列的通项公式。na112 313n nnaaa ，na2解：由得则12 31n nnaa 12 31n nnaa11232211122112211()()()()(2 31)(2 31)(2 31)(2 31)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)31 3 331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn LLL所以31.n nan评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求12 31n nnaa 12 31n nnaa出，即得数列的通项公式。11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaaLna例例
4、4 4 已知数列满足，求数列的通项公式。na1132 313n nnaaa ，na解：两边除以，得，132 31n nnaa 13n1 1121 3333nn nnnaa 则，故1 1121 3333nn nnnaa 11223211 22321 11122122()()()()33333333212121213()()()()333333333 2(1)11111() 1333333nnnnnnn nnnnn nnnnnnnnnaaaaaaaaaa aan LLL因此，11(1 3)2(1)21131331 3322 3n nn nnann 则21133.322nn nan 评注：本题解题的
5、关键是把递推关系式转化为，进而132 31n nnaa 1 1121 3333nn nnnaa 求出，即得数列的通项公式，11223211 1122321()()()()333333333nnnnnn nnnnnnaaaaaaaaa L3n na3最后再求数列的通项公式。na三、累乘法三、累乘法例例 5 5 已知数列满足，求数列的通项公式。na112(1)53n nnanaa，na解：因为，所以，则，故112(1)53n nnanaa，0na 12(1)5nnnana132 1 122112211(1) (2)2 1(1) 122(1 1)52(2 1)52(2 1) 5 2(1 1) 5 3
6、2 (1)3 2 533 25!nn n nnnnnnnn n naaaaaaaaaannn nn LLLL所以数列的通项公式为na(1) 123 25!.n n n nan 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出12(1)5nnnana12(1)5nnnana，即得数列的通项公式。132 1 1221nnnnaaaaaaaaaLna例例 6 6 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列满足na，求的通项公式。11231123(1)(2)nnaaaaananL，na解：因为123123(1)(2)nnaaaananL所以1123123(1)nnnaaaananaL
7、用式式得1.nnnaana则1(1)(2)nnana n故11(2)nnanna4所以13 222 122! (1)4 3.2nn n nnaaanaan naaaaa LL由，则，又知，123123(1)(2)nnaaaananL21222naaa取得21aa11a 则，代入得。21a !1 3 4 52nnan L所以，的通项公式为na!. 2nna 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而1(1)(2)nnana n11(2)nnanna求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公13 2 122nnnnaaaaaaaL2nna 时，na式。四、待定系数法四、待定系数法例例 7
8、 7 已知数列满足，求数列的通项公式。na1123 56n nnaaa ， na解：设1 152(5 )nn nnaxax 将代入式，得，等式两边消去，得123 5nnnaa 123 55225nnn nnaxax 2na，两边除以，得代入式得13 5525nnnxx5n352 ,1,xxx 则1 152(5 )nn nnaa 由及式得，则，则数列是以1 156510a 50n na 1 1525n n n na a 5 n na 为首项，以 2 为公比的等比数列，则，故。1 151a 152nn na125nn na评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可123 5nnnaa 1 1
9、52(5 )nn nnaa 知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通5 n na 5 n na na项公式。例例 8 8 已知数列满足，求数列的通项公式。na1135 241n nnaaa ，na5解：设1 123(2)nn nnaxyaxy 将代入式，得135 24n nnaa 135 2423(2)nnn nnaxyaxy 整理得。(52 ) 24323nnxyxy令，则，代入式得523 43xx yy 5 2x y 1 15 223(5 22)nn nnaa 由及式，1 15 221 12130a 得，则，5 220n na 1 15 2235 22n n n na
10、a 故数列是以为首项，以 3 为公比的等比数列，因此5 22n na 1 15 221 1213a ，则。15 2213 3nn na 113 35 22nn na 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为135 24n nnaa ，从而可知数列是等比数列，进而求出数列1 15 223(5 22)nn nnaa 5 22n na 的通项公式，最后再求数列的通项公式。5 22n na na例例 9 9 已知数列满足，求数列的通项公式。na2 1123451nnaanna，na解：设 22 1(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz将代入式，得2 12345nnaann，则2222345
11、(1)(1)2()nnannx ny nzaxnynz 222(3)(24)(5)2222nnax nxynxyzaxnynz6等式两边消去，得，2na22(3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz解方程组，则，代入式，得32 242 52xx xyy xyzz 3 10 18x y z 22 13(1)10(1) 182(31018)nnannann由及式，得2 13 110 1 181 31320a 2310180nann则，故数列为以2 1 23(1)10(1) 18231018nnann ann231018nann为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2 13 110 1
12、181 3132a ，则。213101832 2nnann42231018n nann评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为2 12345nnaann，从而可知数列是等比22 13(1)10(1) 182(31018)nnannann231018nann数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。231018nannna五、对数变换法五、对数变换法例例 1010 已知数列满足，求数列的通项公式。na5 12 3nnnaa17a na解：因为，所以。在式两边取常用对数5 112 37n nnaaa，100nnaa，5 12 3nnnaa得1lg5lglg3lg2nnaan设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny11将式代入式，得，两边消去并整理，115lglg3lg2(1)5(lg)nnanx nyaxny5lgna得，则(lg3)lg255x nxyxny7，故lg35lg25xxxyy lg3 4 lg3lg2 164xy 代入式，得 111lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan12由及式，1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a 12得，lg3lg3lg2lg04164nan则，1lg3lg3lg2lg(1)4164
