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1、用心 爱心 专心 116 号编辑函数的奇偶性、单调性、周期性 同步练习一基础知识自测题：1函数f (x)、g(x)的定义域都是(, )，若是f (x)奇函数，g(x)是偶函数，则F(x)f (x)g(x)是 奇函数 。2函数f (x)的定义域是R，且当x0, )时，f (x)为增函数，则当f (x)为奇函数时，它在(, 0)上的增减性是 递减 ；当f (x)为偶函数时，它在(, 0)上的增减性是 递增 。3下面有四个函数， f (x)2x1; g(x); h(x); u(x)11 xx2211 xx lg , 其中偶函数是，奇函数是，既不是偶函数也不是奇函数的是、。xx 114对于函数yf (
2、x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当x取定义域内的每一个值时，f (xT)f (x) 都成立，那么就把函数yf (x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的 周期 。5函数y的递减区间是 (, 1)、(1, ) ；函数y的递减区间是 (1, xx 11 xx 111 。6下面四个函数， y; y; y1x2; yx22x,其中在区间1xx)(log5 . 0x（, 0）内为减函数的是 。7已知yf (x)在实数集上是周期为 2 的周期函数，且是偶函数，已知x2, 3时，f (x)x, 则当x1, 0时,f (x)的表达式是 yx2 。二基本要求、基本方法：1理解函数的单调性和奇偶
3、性的概念。2能运用定义判断简单函数的奇偶性和单调区间。3了解复合函数的单调性和奇偶性的意义，并能解决一些简单的函数问题。4理解函数的周期性概念，会求简单函数的最小正周期。例 1求出下列函数的单调区间：(1) y; (2) y. .xx212162 x解：(1) 函数y的定义域是xR且x0, x2.xx212又函数u(x)x22x的图象是开口向上的抛物线，顶点的横坐标是x1,函数y在区间(, 2)上单调递增；在区间上(2, 1单调递增；xx212在区间上1, 0)单调递减；在区间(0, )上单调递减。(2) 函数y的定义域是4, 4, u(x)x216 的图象是开口向下的162 x抛物线，顶点的
4、横坐标是x0, 函数y在区间4, 0上单调递增，162 x在区间0, 4上单调递减。评注：解函数的增减性问题一定要注意原函数的定义域，只有在原函数的定义域内研究 用心 爱心 专心 116 号编辑问题才有意义。例 2定义在(1, 1)上的奇函数f (x)是减函数，解关于a的不等式：f (1a)f (1a2)ab （B）abc （C）bac （D）cba3若函数f (x)x22(a1)x2 在区间(, 4)上是减函数，那么实数a的取值范围是（ A ） 。（A）a3 （B）a3 （C）a5 （D）a34函数y的递增区间是 3, 1 ；递减区间是 1, 1 。322xx5若f (x)(m1)x22mx
5、3m3 为偶函数，则m的值为 0 。6设f (x)是定义在R上最小正周期为T的函数，则f (2x3)是（ C ） 。（A）最小正周期为T 的函数 （B）最小正周期为 2T的函数 （C）最小正周期为 的函数 （D）不是周期函数2T7设f (x)是以 4 为最小正周期的函数，且当2xf (1)，则下列各式一定成立的是（A） 。（A）f (1)f (2) （D）f (2)f (3)8现有三个函数：f 1(x)(x1), f 2(x), f 3(x), 在这三xx 11 00 xxxxxx 0101 xx个函数中，下面说法正确的是（A） 。（A）有一个偶函数，两个非奇非偶函数 （B）有一个偶函数，一个
6、奇函数（C）有两个偶函数，一个奇函数 （D）有两个奇函数，一个偶函数9已知函数yf (x)是偶函数(xR), 在x0,有|x1|f (x2) （B）f (x1)f (lg)f()。2 1001 3212函数yx在区间2, 5上的最大值为；最小值为。x1 526 2513如果函数f (x)x2(m)为奇函数，则m的值为。121 x21用心 爱心 专心 116 号编辑14若函数p(x)、q(x)均为奇函数，f (x)ap(x)bq(x)2 (a2b20, a, b为常数)且f (x)在(0, )上有最大值 5，则f (x)的最小值为 1 。（三）解答题：15判断函数f (x) (a0)在区间(1，
7、1)上的单调性。12xax解：设10, 0, ) 1)(1()(1(2 22 11221 xxxxxx 当a0 时, f (x1)f (x2)0, 函数yf (x)在(1, 1)上为减函数，当a0, 3a22a10, f(2a2a1)3a22a1, 解得 01 时, yf (x)为增函数，它的反函数也是12 x增函数。18设函数yf (x)是奇函数，对于任意x、yR都有f (xy)f (x)f (y)，且当x0 时, y0, f(x2)f (x1)f (x2x1x1)f (x1) f (x2x1)f (x1) f (x1) f (x2x1)0, 函数yf (x)为减函数， 当x3 时, f (
8、3)3f (1)6, 为最小值；当x3 时, f (3)3f (1)6 为最大值。19已知函数f (x)4x2, 求函数f (x22x3)的递增区间。解：设F(x) f (x22x3)f (u), ux22x3,对于函数ux22x3，当x1 时, 函数u为增函数，当x1 时, 函数u为减函数，对于函数f (u)4u2, 当u0 时, f (u)为减函数，当u0 时, f (u)为增函数， 当x3 时, 函数u为增函数且u0, f (u)为减函数，此时F(x)为减函数，当 1x3 时, 函数u为增函数且u0, f (u)为增函数，此时F(x)为增函数，用心 爱心 专心 116 号编辑当1x1 时, 函数u为减函数且u0, f (u)为增函数，此时F(x)为减函数,当x1 时, 函数u为减函数且u0, f (u)为减函数，此时F(x)为增函数，综上得，函数f (x22x3)的递增区间是1, 3与(, 1).
