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1、1关于初中数学解题规律的探究关于初中数学解题规律的探究瓦房店市第一初级中学瓦房店市第一初级中学 张晓红张晓红一一 有关中点有关中点1.1. 有关中点，最常见的辅助线是中线倍长。这类习题比较有关中点，最常见的辅助线是中线倍长。这类习题比较多。多。如图，AD 是ABC 的中线，延长至，使，连接，通过边角边公理可证ACDEBD，且 ACBE。例如：如图，AEC=CDB=90AE=CE，CD=BD，点 M、N 分别是线段 AB 和 DE 的中点。求证：MN=，MNDEDE21本题思路是：连接 MD、ME，延长 DM 至 F，使 MF=MD，连接 AF、FE，利用上面的规律可证，进而可证明，可得是等腰直
2、角三角形。. .有关中点，构造中位线也是常做的辅助线。有关中点，构造中位线也是常做的辅助线。如图，ABC 中，DE 是中位线，则 DEBC，DE=.BC212例如，上题就可以这样做。连接、，延长 BD 至 H，使，连接 CH 并延长交 AE 的延长线于，连接，连接并延长交于，首先，可知CBH、ACG 是等腰直角三角形，得到线段 DM、ME 分别是ABH、ABG 的中位线，则 DMAH，DM=,MEBG, ME=,然后再AH21BG21通过证明ACHGCB，可证线段 AH=BG，AHBG，进而可证明 DM=ME，DMME，最后因为 N 点是线段DE 的中点，可证 MNDE，MN=。DE213.3
3、.关于中点，如果遇到等腰三角形底边的中点，则应构造关于中点，如果遇到等腰三角形底边的中点，则应构造三线合一。三线合一。如图，ABC 中，AB=AC，点是线段的中点，连接，则，例如，上题还可以这样做。连接、，分别延长线段、交于点，连接，首先，是等腰直角三角形，是底边的中点，则，然后证BDMPEM，得到DM=ME，DMME，最后因为 N 点是线段 DE 的中点，可证MNDE，MN=。DE214.4.关于中点，如果遇到直角三角形斜边的中点，则应构造关于中点，如果遇到直角三角形斜边的中点，则应构造斜边上的中线。斜边上的中线。3如图，ABC 中，ABC=90，D 点是斜边 AC的中点，则。AC21例如，
4、已知：如图，ABC 中，ABC=90，BD 是高，M 点是 BC 边的中点，AMF=90BC=kAB，求：ME：MF 的值由于 M 点是直角三角形斜边 BC 的中点，所以首先连接 DM，本题思路是：连接 DM、EF，先证，可证的，然后，再由，可得BC21，进而，最后再由，可解的 ME：MF：。5.5.有关中点，还可以构造平行线，这类题很少。有关中点，还可以构造平行线，这类题很少。如图，AD 是ABC 的中线，BEAD 交 AD 的延长线于 E，CFAD 于 F，则有DEBDFC。例如，已知：如图，BAM=DCM,M 点是线段 BC的中点求证：AB=CD这道题除了可以用中点的其他证法外，就可以用
5、这种证法。思路是作 BFCM 交 CD 延长线与 F，DECM于 E，先证BFMDEM，得到 BF=DE，再证ABFCDE，本题得证。46.6.关于中点，就利用中点的定义性质，线段相等。关于中点，就利用中点的定义性质，线段相等。如图，C 点是线段 AB 的中点，则 AC=BC。例如，已知：如图，BAC=90，AB=AC，D 点是 AC 边的中点，AEBD 于 F求证：ADB=CDEAD=CD 在这里只是相等线段而已。二、有关角平分线二、有关角平分线1.1.有关角平分线，最常作的辅助线就是构造全等，这类习有关角平分线，最常作的辅助线就是构造全等，这类习题也比较多。题也比较多。如图，AD 是ABC
6、 的角平分线，在 AB 上截取AE=AC，连接 DE，则可证AEDACD。例如，已知：如图，ABC 中，A=60，BD、CE 分别是角平分线，且交于 O求证：BE+CD=BC本题思路是：在 BC 上截取 BF=BE，连接 OF首先，利用角平分线换算求出EOB=COD=60, BOC=120,然后，利用边角边公理证明公理BEOBEO，利用角边角公理证明FCODCO，本题得证。2 2有关角平分线，作双垂，这类题也比较多。有关角平分线，作双垂，这类题也比较多。如图，OC 平分AOB，PEOA，PFOB，根据角平分线性质定理可得 PE=PF。5例如，已知：如图，BAC=90，AB=ACD 是 BC 边
7、上一点，EDAD，ECEA，求证：CAE=CDE本题思路是：作 DGCE，交 CE 的延长线于 G，DHAC 于H，由已知，不难得出 CD 平分ACG，且ACB=BCE=45，所以 DH=DG，于是便可证DGEDHA，然后得ADE 是等腰直角三角形，AED=45=ACD，最后利用“8”字形可证得CAE=CDE。3.3. 有关角平分线，还构造平行线。有关角平分线，还构造平行线。如图，OC 平分AOB，P 点是 OC 上一点，PDOB，则可证得 DO=DP。例如，已知：如图，ABCD，AD 与 BC 相较于 K，E 是线段 AD 上一点，且ABE=CBE，AE=AD31猜想：线段 AB、BC、CD
8、 之间的数量关系思路是，分别延长 BE、DC 交于 F，利用上面的规律，可得FC=CB，再利用ABEDFE 不难得到 CD+CB=2AB.4.4. 有关角平分线，就利用角平分线的定义性质，角相等。有关角平分线，就利用角平分线的定义性质，角相等。如图，射线 OC 平分AOB，则AOC=BOC。例如，已知：如图，平行四边形 ABCD 中，AEBC于 E，DF 平分ADC 交 AE 于 F，AE=AD求证：AF+BE=CD6三有关对角互补的四边形三有关对角互补的四边形有关对角互补的四边形，往往旋转构造全等或相似或者延有关对角互补的四边形，往往旋转构造全等或相似或者延长相对两边相交于一点。长相对两边相
9、交于一点。如图，BAD+C=180，则不难证出EAD=C只要作出CDF=EAD 那么可证得EDAFDC例如，已知：如图，A+EDF=180，AB=kAC,BD=kDC，试探究线段 DE 与 DF 之间的数量关系本题思路是：以 D 点为顶点，DF 为一边，作FDG=EDB，DG 交 AC 于 G，则由上面规律可得BED=AFD，再由辅助线作法可证BEDGFD,那么DE：DF=BD：DG= kDC：DG，然后，随之证明CDGCAB，又可得 DC：DG=AC：AB=AC：kAC，所以，DE= DF。另一种例题下面有。四有关旋转，有很多有价值的结论。四有关旋转，有很多有价值的结论。1 1， 全等。全等
10、。2.2.等腰。等腰。3.“8”3.“8”字形。字形。4.4.如果有直角三角形，如果有直角三角形，还会产生中点。还会产生中点。5.5.有了有了“8”“8”字形，就会有相似，而且字形，就会有相似，而且能有能有 4 4 对相似三角形。对相似三角形。如图，ABC 中，ACB=90，把ABC绕 A 点旋转，得ADE，点 C 与 D、B 与 E 对应，7则1ABCADE 2ACD 和ABE 是等腰三角形且顶角相等 3. ACDABE 4.有“8”字形。5.F 点是线段 BE的中点。可通过图中的辅助线得证。 （过 B 点作 DE 的平行线交 DF 的延长线于 G）6.关于“8”字形，用下边的图单独看。如图
11、，线段 AC 与 BD 交于 O，便形成“8”字形若OAD=OBC，则可证ODA=OCB，AODBOC，连接 AB、DC，进而可证AOBCOD，如果分别延长 DA、CB相较于 P，还可证PABPCD，PACPBD。这样，大部分的问题就可以解决了。例 1，已知：如图，ABC 绕 B 点逆时针旋转 得到DBE，DE 的延长线与 AC 交于 F,连接DA、BF，若ABC ，BF=mAF，求：DF：AF 的值本题思路是：首先利用上面(四)的规律 1，得BCABED ，进而得 AC=ED，然后再利用“8”字形的规律，证明ABD=AFD=CBE，于是DFC+EBC=180，得C+BEF=180，所以，利用
12、（三）的规律，在 ED 上截取 EG=CF，连接 BG，作 BHFG 与 H，然后证明BCFBEG，8可得 BF=BG，GBF=，最后求得 DF：AF=1+2msin 。2例 2.已知：如图，ABC 中，O 点、D 点分别是 BC 边和 AB 边的中点，E 点是线段OC 上一点，ENCD 于 N，EMAB 于 M，B=求：MN：NO 的值（用含有 的式子表示）本题的思路是：连接 ED、OD，首先利用中点的规律，CD=BD=ADOD 垂直平分 BC，B=DCB=，CDA=2，接着，再利用旋转的规律 6，得NPMEPD，NM：ED=PM：PD=sin2,同样是利用这个规律还可得CEDCNO，NO：
13、ED=CN：CE=cos,最后，可得 MN：NO= sin2：cos。五巧构造等边三角形五巧构造等边三角形巧构造等边三角形，这类题很多，大多都是较难题。巧构造等边三角形，这类题很多，大多都是较难题。这里，只举几个例子。例 1， 已知：如图，ABC 中，BAC=90AB=AC=BD，ABD=30求证：AD=DC证法 1：以 BC 边为边作等边GBC，连接 AG，先证AGBAGC，得BGA=CGA=30再证BAGBDC，得BGA=BDC=309最后根据DAC=DCA=15本题可证。证法 2：以 AD 边为边作等边ADE，连接 BE。证法 3：以 AC 边为边作等边ACF，连接 DF证法 4：以 A
14、B 边为边作等边ABF，连接 DF、CF。本题中，若把“BAC=90”改为“BAC=” ，（60120，把“ABD=30”改为“ABD=120-” ，其他条件不变，以上四法都可证。例 2.已知：如图，ABC 中，A=20，AB=ACAD=BC求: CDB 的度数解法一：以 BC 边为边作等边BCE，连接 AE，首先利用边边边公理证ABEACE，得BAE=CAE=10，再证ADCCEA 得，ACD=CAE=10，本题得解CDB=30.解法二：以 AB 边为边作等边BCF，连接 CF 或以 AC 边为边作等边ACG，连接 BG。10解法三：把ABC 沿直线 AB 向左翻折得ABM，把ABC 沿直线
15、 AC 向右翻折得CAN，连接BM、CM、MN、DM，即构造了等边AMN。解法四：把ABC 沿直线 AC 向右翻折两次，得ACP、APQ，在 AD 边上截取 AK=AD，即构造了等边ADK。解法五：（例外）把ABC 沿直线 AC 向右翻折得ACP，作 ALCP 于 L，DRAL 于 R，也可解。虽然本法不属于构造等边三角形，但它真的很简单，也应该是一个好方法。总之，关于初中数学题中蕴含的规律和方法有很多，总之，关于初中数学题中蕴含的规律和方法有很多，比如，如何证明中点、如何证明角平分线、如何构造含有比如，如何证明中点、如何证明角平分线、如何构造含有特殊角的直角三角形、如何解好翻折的题、如何在平面直特殊角的
