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1、第第 4 章习题答案章习题答案4-1 判断下列系统是线性的还是非线性的，是时变的还是非时变的。（1） 1( )4 (3 )2(2) ( )( )(3) ( )( )(4) ( )( )ttty txty tx ty te x ty txd121212121212121( )( )4(3 )(3 )2( )( )=4 (3 )2+4(3 )2=4(3 )(3 )4( )( )( )( )T x tx txtxty ty txtxtxtxtT x tx ty ty tQ（）但：系统解：是非线性的000000T ()4 (3)2,()4 3()2T ()(),x ttxtty ttxttx tty
2、ttQ所以系统是时变的。1212121212122( )( )( )( )( )( )=( )( )( )( )( )( )T x tx tx tx ty ty tx tx tT x tx ty ty tQ（） 但：系统是非线性的000000T ()() ,()()T ()= (),x ttx tty ttx ttx tty ttQ所以系统是时不变的。1212121212123( )( )( )( )( )( )=( )( )( )( )( )( )tttT x tx tex tx ty ty te x te x tT x tx ty ty tQ（） 系统是线性的0() 000000T ()(
3、),()()T ()(),t ttx tte x tty ttex ttx tty ttQ所以系统是时变的。1212121211112124( )( )( )( )( )( )=( )( )( )( )( )( )ttttttT x tx txxy ty txxT x tx ty ty t Q（）d dd系统是线性的000000011100T ()()( ),()( )T ()(),tt tt ttt tt tx ttxt dx u duy ttxdx tty ttQ所以系统是时不变的。4-4 对图题 4-4(a)、(b)所示的电路列写出电流 和电压12( )( )i ti t、的微分方程 (
4、 )ov t+221H+-2( )i t1( )i t( )x t( )x t211212( )2 ( )( )( )( )2 ( )( )2 ( )( )otodi t dt i tv tx tv ti ti tiid 解方程组得：222 1122 1222222 00 022( )( )( )( )( )( )464 ( ),232 ( )( )( )( )( )232( )32 ( )d i tdi td i tdi td x tdx ti ti tdtdtdtdtdtdt d v tdv td x tdx tv tx tdtdtdtdt4-5 给定系统微分方程、起始状态及激励信号分别如
5、下，试判断系统在起始点是否发生跳变，并据此写出的值。( )(0 )ky（1） ，d ( )d ( )2 ( )3ddy tx ty ttt(0 )0y( )( )x tu t（2） ，22d( )d ( )d ( )234 ( )dddy ty tx ty tttt(0 )1y(0 )1y( )( )x tu t*（3） ，22d( )d ( )d ( )234 ( )( )dddy ty tx ty tx tttt(0 )1y(0 )1y( )( )x tt解解：(1) )(3)(2)(ttytydtd因为方程在 t=0 时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变设：代入方程 )()()()()(
6、tautytbutatydtd得：a=3,3)0(3)0(yy(2) )()(4)(3)(222 ttytydtdtydtd因为方程在 t=0 时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变1/2F( )ov t -3112( )( )( )( ), ( )( )2),2(y tty tu tyuttutt所以： 5 . 1)0(5 . 0)0( 1)0()0(,yyyy(3) )()( )(4)(3)(222 tttytydtdtydtd因为方程在 t=0 时，存在冲激和冲激偶作用，则起始点会发生跳变11( ),( ),2112( )( )( )( )( )( )224y tty tttu tuytt
7、,1(0 )(0 )2 (0 )(0 )1/4yyyy ,13(0 )(0 )22 3(0 )(0 ) 1/44yyyy 4-7 给定系统微分方程为 22d( )d ( )d ( )32 ( )3 ( )dddy ty tx ty tx tttt若激励信号与起始状态为以下二种情况时，分别求它们的全响应。并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应各分量（应注意在起始点是否发生跳变） 。（1），( )( )x tu t(0 )1y(0 )2y（2），3( )e( )tx tu t(0 )1y(0 )2y解：解：（1）)(3)()(2)(3)(22 tuttytydtdtydtd023221
8、21齐次解：tt heAeAty2 21)(特解：2/3)(typ完全解：2/3)(2 21tteAeAty因为方程在 t=0 时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变 ( )( ),( )( ), ( )( )y tty tu ty ttu t得： 3)0(1)0(1)0()0(,yyyy则：2/52 3212/3212121 AA AAAA完全解：023 252)(2teetytt设零输入响应为：t zit zizieAeAty2 21)(342)0(21)0(21 , 2121 zizizizizizi AAyAAyAA则：034)(2teetytt zi 05 . 15 . 02)()()
9、(2teetytytytt zizs自由响应：；强迫响应：1.5。ttee25 . 22（2）微分方程右边为：)()(3)()(3333ttuetetuettt原方程为：)()(2)(3)(22 ttytydtdtydtd由上述微分方程可知，t0 后方程右边没有输入，因此，系统没有强迫响应，完全响应和自由响应相同，零输入和零状态响应的形式均为齐次解形式，且零输入响应同（1） ，为： 034)(2teetytt zi零状态响应的形式为：t zst zszseAeAty2 21)(3( )( )( )( ),)( )3 ( ,( )y tty tu ttu tu ty ttu t所以：,(0 )(
10、0 ) 0 (0 )(0 )1yy yy=11 120212121 AA AzsAzsAAzszs则：0)(2teetytt zs045)()()(2teetytytytt zszi4-9 一线性时不变系统在相同的起始状态下，当输入为时，全响应为( )x t；当输入为2时，全响应为，求输入为 4(2ecos2 ) ( )tt u t( )x t(e2cos2 ) ( )tt u t时的全响应。( )x t 解：解：系统的零状态响应为：)()2cos()2cos2()2cos2()()()(12 tutetetetytytytttzs 当输入为 4x(t)时，系统的全响应为： )()2cos4(
11、)()(3)(1tuettytytyt zs)(3)()()(1tuetytytyt zszi4-10 系统的微分方程由下列各式描述，分别求系统的冲激响应与阶跃响应。（1）d ( )2 ( )( )dy ty tx tt解：解：（1）首先求阶跃响应，原方程变为：)()(2)(tutgtgdtd方程右边没有冲激作用，则起始点不会发生跳变，0)0()0(gg特征方程： 02 2齐次解：t heAtg2 1)(特解：B0.5则：，代入初始值，5 . 0)(2 1 teAtg05 . 01A系统的阶跃响应为：)()5 . 05 . 0()(2 1tuetgt系统的冲激响应为：)()()(2tuetgd
12、tdtht*4-13 一线性时不变系统， 当输入为时，零状态响应为( )x te( )tu tzs( )yt ，求系统的冲激响应。2311eee( )22tttu t( )h t解：从可以看出，zs( )yt1( )e( )2t pytu t231( )ee( )2tt hy tu t 所以特征根为，特征方程为：，122,3 2560设微分方程为： （1）22( )( )56 ( )( )d y tdy ty tAx tdtdt当时，将代入（1）式，并比较方程两边系( )( )tx te u t1( )e( )2t pytu t( )pyt数可得，这样微分方程为：1A 22( )( )56 (
13、 )( )d y tdy ty tx tdtdt设，则( )( )x tt( )( )y th t22( )( )56 ( )( )d h tdh th ttdtdt设 （2）23 12( )() ( )tth tAeA eu t因为，由奇异函数平衡法可求出：，(0 )0,(0 )0hh(0 )0,(0 )1hh代入（2）式得：，解得：，所以12120231AAAA 121,1AA 23( )() ( )tth teeu t变变换换域域求求解解法法：( )h t( )( )( )zsYsX s H s根据卷积定理有：111( )( )2(1)22(3) 1 (1)(2)(3)zszsYsL ytssssss1( ) ( )1X sL x ts( )111( )( )(2)(3)23Y sH sX sssss12311( ) ( )23tth tLeeu tss*4-15 一线性时不变系统，当激励信号为时，全响应为1( )( )x tt；当激励信号为时，全响应为。1( )( )e( )ty ttu t2( )( )x tu t2( )3e( )ty tu t求系统的冲激响应（两种激励下，起始状态相同） 。( )h t解法一：解法一：)2() 1 ()(3)()()()()()()()(21tuetydhtytuettythtyt zitt zi 式(1) 式(2)得：)(2)
