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1、第第 4 章习题答案章习题答案4-1 判断下列系统是线性的还是非线性的,是时变的还是非时变的。(1) 1( )4 (3 )2(2) ( )( )(3) ( )( )(4) ( )( )ttty txty tx ty te x ty txd121212121212121( )( )4(3 )(3 )2( )( )=4 (3 )2+4(3 )2=4(3 )(3 )4( )( )( )( )T x tx txtxty ty txtxtxtxtT x tx ty ty tQ()但:系统解:是非线性的000000T ()4 (3)2,()4 3()2T ()(),x ttxtty ttxttx tty
2、ttQ所以系统是时变的。1212121212122( )( )( )( )( )( )=( )( )( )( )( )( )T x tx tx tx ty ty tx tx tT x tx ty ty tQ() 但:系统是非线性的000000T ()() ,()()T ()= (),x ttx tty ttx ttx tty ttQ所以系统是时不变的。1212121212123( )( )( )( )( )( )=( )( )( )( )( )( )tttT x tx tex tx ty ty te x te x tT x tx ty ty tQ() 系统是线性的0() 000000T ()(
3、),()()T ()(),t ttx tte x tty ttex ttx tty ttQ所以系统是时变的。1212121211112124( )( )( )( )( )( )=( )( )( )( )( )( )ttttttT x tx txxy ty txxT x tx ty ty t Q()d dd系统是线性的000000011100T ()()( ),()( )T ()(),tt tt ttt tt tx ttxt dx u duy ttxdx tty ttQ所以系统是时不变的。4-4 对图题 4-4(a)、(b)所示的电路列写出电流 和电压12( )( )i ti t、的微分方程 (
4、 )ov t+221H+-2( )i t1( )i t( )x t( )x t211212( )2 ( )( )( )( )2 ( )( )2 ( )( )otodi t dt i tv tx tv ti ti tiid 解方程组得:222 1122 1222222 00 022( )( )( )( )( )( )464 ( ),232 ( )( )( )( )( )232( )32 ( )d i tdi td i tdi td x tdx ti ti tdtdtdtdtdtdt d v tdv td x tdx tv tx tdtdtdtdt4-5 给定系统微分方程、起始状态及激励信号分别如
5、下,试判断系统在起始点是否发生跳变,并据此写出的值。( )(0 )ky(1) ,d ( )d ( )2 ( )3ddy tx ty ttt(0 )0y( )( )x tu t(2) ,22d( )d ( )d ( )234 ( )dddy ty tx ty tttt(0 )1y(0 )1y( )( )x tu t*(3) ,22d( )d ( )d ( )234 ( )( )dddy ty tx ty tx tttt(0 )1y(0 )1y( )( )x tt解解:(1) )(3)(2)(ttytydtd因为方程在 t=0 时,存在冲激作用,则起始点会发生跳变设:代入方程 )()()()()(
6、tautytbutatydtd得:a=3,3)0(3)0(yy(2) )()(4)(3)(222 ttytydtdtydtd因为方程在 t=0 时,存在冲激作用,则起始点会发生跳变1/2F( )ov t -3112( )( )( )( ), ( )( )2),2(y tty tu tyuttutt所以: 5 . 1)0(5 . 0)0( 1)0()0(,yyyy(3) )()( )(4)(3)(222 tttytydtdtydtd因为方程在 t=0 时,存在冲激和冲激偶作用,则起始点会发生跳变11( ),( ),2112( )( )( )( )( )( )224y tty tttu tuytt
7、,1(0 )(0 )2 (0 )(0 )1/4yyyy ,13(0 )(0 )22 3(0 )(0 ) 1/44yyyy 4-7 给定系统微分方程为 22d( )d ( )d ( )32 ( )3 ( )dddy ty tx ty tx tttt若激励信号与起始状态为以下二种情况时,分别求它们的全响应。并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应各分量(应注意在起始点是否发生跳变) 。(1),( )( )x tu t(0 )1y(0 )2y(2),3( )e( )tx tu t(0 )1y(0 )2y解:解:(1))(3)()(2)(3)(22 tuttytydtdtydtd023221
8、21齐次解:tt heAeAty2 21)(特解:2/3)(typ完全解:2/3)(2 21tteAeAty因为方程在 t=0 时,存在冲激作用,则起始点会发生跳变 ( )( ),( )( ), ( )( )y tty tu ty ttu t得: 3)0(1)0(1)0()0(,yyyy则:2/52 3212/3212121 AA AAAA完全解:023 252)(2teetytt设零输入响应为:t zit zizieAeAty2 21)(342)0(21)0(21 , 2121 zizizizizizi AAyAAyAA则:034)(2teetytt zi 05 . 15 . 02)()()
9、(2teetytytytt zizs自由响应:;强迫响应:1.5。ttee25 . 22(2)微分方程右边为:)()(3)()(3333ttuetetuettt原方程为:)()(2)(3)(22 ttytydtdtydtd由上述微分方程可知,t0 后方程右边没有输入,因此,系统没有强迫响应,完全响应和自由响应相同,零输入和零状态响应的形式均为齐次解形式,且零输入响应同(1) ,为: 034)(2teetytt zi零状态响应的形式为:t zst zszseAeAty2 21)(3( )( )( )( ),)( )3 ( ,( )y tty tu ttu tu ty ttu t所以:,(0 )(
10、0 ) 0 (0 )(0 )1yy yy=11 120212121 AA AzsAzsAAzszs则:0)(2teetytt zs045)()()(2teetytytytt zszi4-9 一线性时不变系统在相同的起始状态下,当输入为时,全响应为( )x t;当输入为2时,全响应为,求输入为 4(2ecos2 ) ( )tt u t( )x t(e2cos2 ) ( )tt u t时的全响应。( )x t 解:解:系统的零状态响应为:)()2cos()2cos2()2cos2()()()(12 tutetetetytytytttzs 当输入为 4x(t)时,系统的全响应为: )()2cos4(
11、)()(3)(1tuettytytyt zs)(3)()()(1tuetytytyt zszi4-10 系统的微分方程由下列各式描述,分别求系统的冲激响应与阶跃响应。(1)d ( )2 ( )( )dy ty tx tt解:解:(1)首先求阶跃响应,原方程变为:)()(2)(tutgtgdtd方程右边没有冲激作用,则起始点不会发生跳变,0)0()0(gg特征方程: 02 2齐次解:t heAtg2 1)(特解:B0.5则:,代入初始值,5 . 0)(2 1 teAtg05 . 01A系统的阶跃响应为:)()5 . 05 . 0()(2 1tuetgt系统的冲激响应为:)()()(2tuetgd
12、tdtht*4-13 一线性时不变系统, 当输入为时,零状态响应为( )x te( )tu tzs( )yt ,求系统的冲激响应。2311eee( )22tttu t( )h t解:从可以看出,zs( )yt1( )e( )2t pytu t231( )ee( )2tt hy tu t 所以特征根为,特征方程为:,122,3 2560设微分方程为: (1)22( )( )56 ( )( )d y tdy ty tAx tdtdt当时,将代入(1)式,并比较方程两边系( )( )tx te u t1( )e( )2t pytu t( )pyt数可得,这样微分方程为:1A 22( )( )56 (
13、 )( )d y tdy ty tx tdtdt设,则( )( )x tt( )( )y th t22( )( )56 ( )( )d h tdh th ttdtdt设 (2)23 12( )() ( )tth tAeA eu t因为,由奇异函数平衡法可求出:,(0 )0,(0 )0hh(0 )0,(0 )1hh代入(2)式得:,解得:,所以12120231AAAA 121,1AA 23( )() ( )tth teeu t变变换换域域求求解解法法:( )h t( )( )( )zsYsX s H s根据卷积定理有:111( )( )2(1)22(3) 1 (1)(2)(3)zszsYsL ytssssss1( ) ( )1X sL x ts( )111( )( )(2)(3)23Y sH sX sssss12311( ) ( )23tth tLeeu tss*4-15 一线性时不变系统,当激励信号为时,全响应为1( )( )x tt;当激励信号为时,全响应为。1( )( )e( )ty ttu t2( )( )x tu t2( )3e( )ty tu t求系统的冲激响应(两种激励下,起始状态相同) 。( )h t解法一:解法一:)2() 1 ()(3)()()()()()()()(21tuetydhtytuettythtyt zitt zi 式(1) 式(2)得:)(2)