《高一数学 基本初等函数及其应用（人教版必修1）：第四章 函数应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学 基本初等函数及其应用（人教版必修1）：第四章 函数应用（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、重点列表：重点列表： 重点名称重要指数重点 1方程的根与函数的零点重点 2函数应用重点详解：重点详解： 重点重点 1 1：方程的根与函数的零点【要点解读】1.函数零点函数零点定义：对于函数，使的实数叫函数的零点.)(xfy 0)(xfx)(xfy 几个等价关系：方程f(x)0 有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2.2.函数零点的判定函数零点的判定( (零点存在性定理）零点存在性定理）：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么，函数yf(x)在区间（a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f
2、(x)0 的根3.函数零点个数的判断方法函数零点个数的判断方法直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0， 还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点4.4.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数
3、分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.5.5.二分法的概念二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法6.6.二分法的步骤二分法的步骤(1)使用二分法的前提条件是：如果函数yf(x)在选定的区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，才能用二分法去求函数的零点(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验
4、证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)；a若f(c)0，则c就是函数的零点；b若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；c若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度；即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复7.一元二次方程的实根分布一元二次方程的实根分布，是一元二次方程=0 的根，设=.1x2x2axbxc( )f x2axbxc根的分布充要条件充要条件 1充要条件 2,(,+)2x1xm且1xm2xm12122()()0()()040xmxmxm xmbac 22 40 ( )0bma bac af m
5、,(-,)1x2xm且1xm2xm12122()()0()()040xmxmxm xmbac 22 40( )0bma bacaf m 1xm2x1xm2x12()()0xm xm( )0af m m1x2xnm1x2xn12()()0xm xn22 40 ( )0 ( )0bmna bac af m af n 对一元二次方程根的分别问题，结合对应函数的图像，考虑对称轴、判别式、端点函数值.【考向 1】求函数的零点【例 1】 【2017 届重庆市第一中学高三上期中】已知函数，( )3xf xx3( )logg xxx的零点依次为，则（ ）3( )log3h xxabcA B C Dcbaabc
6、cabbac【答案】B【解析】令得，令得，令得，在同一坐标系中分 0f x 3xx 0g x 3log xx 0h x 1x 别画出，如下图所示，由图象可知，点的横坐标为，点的横坐标为，3xy 3logyxyx AaBb所以，故选 B.abc【名师点睛】常用函数零点的概念转化为对应方程的解的问题，通过解方程求解函数的零点.【考向 2】判定函数零点所在的区间【例 2】 【2017 届湖北荆荆襄宜四地七校联盟高三理上联考一】函数的零点所在区间为xxxf2log)(A B1 1 4 21 1 8 4C D108112【答案】A【名师点睛】确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断
7、区间两端点对应的函数值的符号是否相反【考向 3】判定函数零点个数或方程解得个数【例 3】 【2017 届江西赣州十三县市十四校高三理上期中联考】已知函数若方程 x21,x2, f x3,x2,x1 有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）( )0f xaaA B C D(1,3)(0,3)(0,2)(0,1)【答案】D【解析】有三个不同的实数根，即与函数由 3 个不同的交点，如图，画出函数的图像，根 axfay 据图像可得，故选 D.10 a【名师点睛】判断(或求)函数的零点：(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点，就是方程f(x)0 的根，因此，判断一个函数是否有零点，
8、有几个零点，就是判断方程f(x)0 是否有实数根，有几个实数根(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解我们知道，函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程F(x)0 即方程f(x)g(x)的实数根，也就是函数yf(x)的图象与yg(x)的图象的交点的横坐标这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数【考向 4】与函数零点有关的参数范围问题【例 4】 【2016-2017 学年山西右玉一中高一上期中】已知函数，若方程 2log,04 16,42xx f xxx有三个不同的解，且，则的取值
9、范围是 . 0f xk, ,a b cabcabc【答案】9,13【思路点晴】本题考查分段函数图象与性质，考查对数函数图象变换，考查初等函数图象的画法.的图象是这样画的：先画的图象，然后把轴下方的部分关于轴对称翻折上去，就得到2log x2log xxx的图象.由于两点对应的函数值相等，对于对数函数来说，互为导数，即，再结合2log x, a b, a b1ab 一次函数图象与轴的交点，就能求得取值范围.x【考向 5】利用二分法求函数零点的近似值【例 5】 【2016-2017 学年甘肃省武威一中高一上学期第一次阶段考】若函数 f（x）x3x22x2 的一个正数零点用二分法计算，附近的函数值参
10、考数据如下：f（1）2f（15）0625f（125）0984f（1375）0260f（14375）0162f（140625）0054那么方程 x3x22x20 的一个近似根（精确度 01）为 （ ）A125 B1375 C14375 D15【答案】C【解析】由表格可得，函数 f（x）x3x22x2 的零点在（14375，140625）之间；结合选项可知，方程 x3x22x20 的一个近似根（精确度为 005）可以是 142【名师点睛】应用二分法求函数零点近似值的方法可以求某些方程的近似解或某些无理数的近似值，其方法是构造函数，转化为求函数零点近似值的问题利用二分法求方程近似解的步骤是：(1)构
11、造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n1)，nZ Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点【考向 6】一元二次方程根的分布【例 6】 【2016-2017 学年山西右玉一中高一上期中】若二次函数有一个零点小 2241f xxaxa 于-1，一个零点大于 3，求实数的取值范围.a【答案】.4 5a 【名师指导】研究一元二次方程的根的k分布，一般情况下要从以下三个方面考虑：一元二次方程根的判别式对应二次函数区间端点的函数值的正负对应二次函数图象抛物线的对称轴与区间端点的位置关系2bxa 重
12、点重点 2 2：函数应用：函数应用【要点解读】1.几类不同增长的函数模型的比较指数函数、对数函数、幂函数的增长趋势比较在区间(0，+)上，尽管函数y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度，而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当xx0，就有 logaxxnax1.函数模型的判断依据 在线性函数、指数函数、对数函数、幂函数四种递增函数中，线性函数的增长速度不变，当自变量充分大时，指数函数增长得最快，对数
13、函数增长较为平缓，幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间因此，判断一个增函数为某个函数模型的依据是函数值增长量的变化3.用已知函数模型解决实际问题用已知函数模型解决实际问题解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答解决此类型函数应用题的基本步骤是：第一步：阅读理解，审清题意读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题第二步：根据所给模型，列出函数关系式根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上
14、将实际问题转化为一个函数问题第三步：利用数学方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答4.建立函数模型解决实际问题通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据第二步：根据收集到的数在平面直角坐标系内画出散点图第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型第四步：选择其中的几组数据求出函数模型第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步来源:学.科.网 Z.X.X.K第六步：用求得的函数模型去解释实际问题5.常用到的函数模型：正比例函数模型：ykx(k0)；反比例函数模型：y(a0)；cxd axb 一次函数模型：ykxb(k0)；二次函数模型：yax2bxc(a0)；指数函数模型：ymaxb(a0，且a1，m0)；对数函数模型：ymlogaxc(m0，a0，且a1)；幂函数模型：ykxnb(k0)6.拟合函数模型的应用的解题步骤作图：根据已知数据作出散点图画散点图时，首先确定自变量和因变量，再以自变量的值为横坐标，以观察到的对应的因变量的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各点当然
