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1、数列通项公式的十种求法数列通项公式的十种求法一、公式法一、公式法例例 1 已知数列满足，求数列的通项公式。na123 2nnnaa 12a na二、累加法二、累加法例例 2 已知数列满足，求数列的通项公式。na11211nnaana，na例例 3已知数列满足，求数列的通项公式。na112 313n nnaaa ，na例例 4已知数列满足，求数列的通项公式。na1132 313n nnaaa ，na三、累乘法三、累乘法例例 5 已知数列满足，求数列的通项公式。na112(1)53n nnanaa，na例例 6 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列满足na，求的通项公式。1
2、1231123(1)(2)nnaaaaananL，na四、待定系数法四、待定系数法例例 7 已知数列满足，求数列的通项公式。na1123 56n nnaaa ， na例例 8 已知数列满足，求数列的通项公式。na1135 241n nnaaa ，na例例 9 已知数列满足，求数列的通项公式。na2 1123451nnaanna，na五、对数变换法五、对数变换法例例 10 已知数列满足，求数列的通项公式。na5 12 3nnnaa17a na六、迭代法六、迭代法例例 11 已知数列满足，求数列的通项公式。na3(1)2 115nn nnaaa ，na七、数学归纳法七、数学归纳法例例 12 已知数
3、列满足，求数列的通项公式。na11228(1)8 (21) (23)9nnnaaann，na八、换元法八、换元法例例 13 已知数列满足，求数列的通项公式。na111(14124)116nnnaaaa，na九、不动点法九、不动点法例例 14 已知数列满足，求数列的通项公式。na112124441n n naaaa，na十。特征方程法特征方程法 形如形如是常数）的数列是常数）的数列21( ,nnnapaqap q形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求112221,( ,nnnam am apaqap q得通项，其特征方程为na2xpxq若有二异根，则可令是待定常数）, 1212( ,nn n
4、accc c若有二重根，则可令是待定常数）1212()( ,n nacncc c再利用可求得，进而求得1122,am am12,c cna例例 15 已知数列满足，求数列的通项na* 12212,3,32()nnnaaaaa nNnana例例 16 已知数列满足，求数列的通项na* 12211,2,44()nnnaaaaa nNnana练习练习 1已知数列满足，求数列的通na* 12211,2,441()nnnaaaaanNna项练习练习 2已知数列满足na，求数列的通项* 12211,2,444()nnnaaaaannNna例例 17、数列满足，且求数列的通项。na15 12a 2125 4
5、 2924nnna a a na数列求和的常用方法数列求和的常用方法： 1公式法公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明特别声明：运用 等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：，1123(1)2nn n L222112(1)(21)6nn nnL.如如33332(1)1232n nnL（1 1）等比数列的前项和 S2，则nan _22 32 22 1naaaaL（2 2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢 2 进 1” ， 如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，2)1101(13212021210123那么将二进制转换成十进
6、制数是_434 21L120052)11111(个 2分组求和法分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类 项”先合并在一起，再运用公式法求和. 如如求： 1 357( 1) (21)n nSn L3倒序相加法倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项 与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也 是等差数列前和公式的推导方法）. 如如n 求证：；01235(21)(1) 2nn nnnnCCCnCnLg已知，则22( )1xf xx_111(1)(2)(3)(4)( )( )( )234fffffff4错位相减法错位相减法：如果
7、数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列 的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导n 方法）.如（如（1 1）设为等比数列，已知，na121(1)2nnnTnanaaaL11T ，求数列的首项和公比；求数列的通项公式.24T na nT（2 2）设函数，数列满足：) 1(4)() 1()(2xxgxxf，na12,()naf a (na，求证：数列是等比数列；令)()1 Nnagann1na2 12( )(1)(1)h xaxax，求函数在点处的导数，并比较与(1)n naxL)(xh38x)38(h)38(h的大小。nn 225裂项相消法裂项相消法：如果数列的
8、通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分 裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； ；111 (1)1n nnn11 11()()n nkk nnk，2211111()1211kkkk21111111 1(1)(1)1kkkkkkkkk ； ；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn11 (1)!(1)!n nnn.2122(1)2(1)11nnnnnnnnn 如（如（1 1）求和： 111 1 447(32)(31)nnL（2 2）在数列中，且 S，则 n_na11nnan6通项转换法通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法 求和。如如 求数列 14，25，36，前项和= (3)nnnnS求和： 111112123123nLL
