概率论方法的运用

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1、概率论方法的运用概率论方法的运用关键词 概率模型；恒等式；概率论方法1 引言概率论与数理统计的一些概念和简单的方法，早期主要用于赌博和人口统计模型.随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科.现在，概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中，恒等式的证明以及我们日常生活中碰到的骰子问题和福利彩票问题都与概率论方法密切相关.2 用概率论方法证明恒等式恒等式是一个含有字母的等式，其中的字母在允许取的数值范围内取任何值时都成立的等式.利

2、用概率论方法即构造一个合适的随机试验 ，通过计算某些事件的概率，再运用概率论中的公式及性质，从而可以得到一些恒等式的证明，简单明了、容易理解.例 1 证明 .分析：本题是二项式系数的重要性质，在二项式定理一节中是运用“赋值法”证明的这里通过构建二项分布模型，给出颇具新意的巧证.证明：记事件：“掷一均匀硬币出现正面向上” ，则掷 n 次硬币，即进行 n次独立重复试验中事件发生的次数服从二项分布，即 故 由分布列和的性质得.所以即例 2 证明1+ + + + = （其中 且均为正整数）分析：本题表面看来无从下手，但用古典概率中的不放回摸球问题来建立模型就会迎刃而解.证明：不妨设一个袋子中装有 个球

3、，其中有 个白球，则对其实行不放回取球，记第 次才能取到白球，则( = )= （ ） ，由于早晚取到白球的概率为 1，故有，即两边同时除以 ，即有1+ + + + = 对于我们平常遇到的恒等式的证明问题，运用概率论知识建立模型来证明未尝不是一种好方法.3 用概率论方法分析社会问题社会生活中骰子问题以及福利彩票问题都可以利用概率论方法给以很好的分析.3.1 骰子问题传统的掷骰子（色子）游戏想必绝大多数中国人都玩过，玩骰子游戏是中国人消磨时间的一种休闲方式.如果对您来说赌博游戏领域还是一个全新的领域的话，掷骰子规则可能较为复杂 .但是如果您是掷骰子的初学者，您不应该被闹哄哄的周围环境或混乱的掷骰子

4、牌桌所吓倒，因为骰子问题也可以利用所学的概率论方法得到很好的解决.例 3 抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点的横坐标，另一枚的点数为点的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点在圆 内的次数的分布列分析：先求出一次试验中，点在圆 内的概率，然后由题意可知 ，从而求出其分布列解：由题意可知，点的坐标可能有 种情况，而符合题意的点只有下列 8 个： ，那么在抛掷骰子时，点 在圆 内的概率为 由题意可知 ，所以；故得 的分布列为表 1 所示：表 10123点评：本题将分布列的计算与事件的概率结合起来，有利于我们提高分析、综合能力例 4 把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容.已知骰子的六

5、个面上分别为 16 点，那么，赌注下在多少点上最有利？分析:如表 2 所示 表 2和数 点数点数123456123456723456783456789456789105678910116789101112两个骰子朝上的面共有 36 种可能，点数之和分别可为 212 共 11种.从表中可知，它们分别出现的概率是:P(X=2)=1/36; P(X=3)=1/18; P(X=4)=1/12; P(X=5)=1/9;P(X=6)=5/36; P(X=7)=1/6; P(X=8)=5/36; P(X=9)=1/9;P(X=10)=1/12; P(X=11)=1/18; P(X=12)=1/36;卡当曾预

6、言说押 7 最好.现在看来这个想法是很简单的，可是在卡当的时代，应该说这种想法是很杰出的思想方法.在那个时代，虽然概率论的萌芽有些进展，但还没有出现真正的概率论.十七世纪中叶，法国贵族德美黑在骰子赌博中，由于有要急近处理的事情必须中途停止赌博，要靠对胜负的预测把赌资进行合理的分配，但不知用什么样的比例分配才算合理，于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教.正是这封信使概率论向前迈出了第一步.帕斯卡和当时第一流的数学家费尔玛一起，研究了德美黑提出的关于骰子赌博的问题.于是，一个新的数学分支-概率论登上了历史舞台.概率论从赌博的游戏开始，完全是一种新的数学.现在它在许多领域发挥着越来越大、十分重

7、要的作用.3.2 福利彩票问题福利彩票是由中国福利彩票发行管理中心通过电视开奖节目、彩票网站、彩票报刊、短信及声讯服务等不同方式向社会广泛发布的一种彩票 .随着人们生活水平的提高，越来越多的人加入到购买福利彩票的行列.对于福利彩票中（以三十五选七为例）的如何选购彩票、中一等奖分析以及单注获奖概率问题，都可以运用概率论方法进行分析.3.2.1 如何选购彩票由于购买彩票的目的大多数是投资，因此如何选购就是个很重要的问题.又由于一等奖的奖金实行累积制，因此可能出现一等奖的奖金累积的很多，几千万元，甚至几亿元.又因从 35 个号码中取 7 个的组合数只有 个不相同的组合数，每个组合数为一注彩票的号码，

8、每注彩票 2 元，所以只需花 2 元，即 13449040 元就可以买到所有可能（号码）的彩票.如果一等奖的奖金不封顶，且累积到 2 元以上，则对于大户彩民（资本超过 2 元的彩民）来说，买下所有可能（号码）的彩票将百分之百的赚钱.不过，这里还有个具体的操作问题.选购一注（号码）彩票一般要 5 秒钟，购买 注不同号码的彩票共需5 秒，即 9339.6 个小时.如果一个售票点每天工作 10 小时，且该售票点只为该彩民一个人服务，购买 注彩票，则需 934 天.如果 7 天一期彩票，则需要派 134 个人到 134 个售票点（这 134 个售票点均只为该彩民服务）连续工作 7 天才能购买到 注彩票

9、，这是件很困难的事情.此外，35 选 7 的 个不同组合号码逐一打出来也要很多事件，不过这可在购买彩票之前先准备好.以上这些意见仅供大户彩民用户们参考.那么一般小户彩民应该如何选购彩票呢？小户彩民购买彩票大多数是独立的随机的，这不利于提高中奖率.针对小户彩民如何选购彩票，我提出两点建议，仅供参考.（1）联合选购从理论上说， 注彩票中平均（注意：平均不意味着一定）有一注中一等奖.但是，在实际中，虽然每期售出的彩票接近或不少于 注，然而却会有连续多期未出现一等奖，这是为什么呢？主要原因是各个彩民选购彩票的独立性、随机性.其实若干个小户彩民可以组织起来联合选购.比如 10 个彩民，每期每人拿出 20

10、 元（拿出的钱不能影响日常生活）购买彩票，总共 100 注，这 100 注彩票的号码各不相同，获得的奖金 10 个人平分.这比每个人各自购买获奖的概率将大得多.（2）根据以往的信息选号码很多彩民购买彩票选取号码是随机的，这不能提高中奖率.我们说抽奖机和球使用前必须经过随机性检验（有的福彩中心未必这样做） ，随机性不好的抽奖机和球不能用来抽奖.但是这个随机性（检验）仅是相对的，不是绝对的.这是因为抽奖机和球是工厂生产的，工厂生产的产品仅是相对的合格，没有绝对的合格，总有误差.这样抽奖机抽出的球就有一定程度的非随机性，即每个号码出现的频率就不同.所以，选取彩票的号码不能随机地选，而应根据该福彩中心

11、以往抽出的号码频率来选取号码，即选取出现频率大的号码.这样才能减少（破坏）随机性，增加中奖率.3.2.2 中一等奖分析无论对彩民还是对福彩中心来说，一等奖是大家非常关注的事情，如果连续很多期都没出现一等奖，则将影响彩民的积极性；如果连续多期都出现一等奖，或一期出现多个一等奖，在保底的情况下，福彩中心将会得不到多少盈余，尤其在一期销售彩票很少时，甚至会亏本.因此，对一等奖的分析不得不引起每个彩民的重视.设 X 表示一期卖 n 注彩票中一等奖的注数，在彩民选购每注彩票互不影响的情况下，则 XB（n，p） ，其中 p1/ ，即 P（X=k）Cnkpk（1-p）n-k，k=0,1,n,也即，当一期销售

12、 n 注彩票时，其中有 k 注中一等奖的概率为 Cnkpk（1-p）n-k，显然，这个概率依赖于 n，当 n 取不同值时它将取不同值.具体情况分析如表 3 所示:表 3中奖概率 销售0123456300 万0.64010.28560.06370.00950.00110）个白球.现不放回从袋中摸 M 个球，求摸出的 M 个球中恰有 i 红球，j 个黄球的概率，i0，1，M；j0，1，L.记此摸球模型为 C(N,M,L).解：设Ai“摸出的 M 个球中恰有 i 个红球” ，i0，1，M；Bj“摸出的 M 个球中恰有 j 个黄球” ，j0，1，L；则从 N 个球中不放回摸出 M 个球其中恰有 i 个

13、红球，j 个黄球的概为：P(AiBj)=P(Ai)P(Bj|Ai)=( / )( / )=CMiCLj / （i=0,1,，M; j=0，1，L） ，注意：当 nk 时，有 0.本游戏是 N35，M=7,L=1 的模型 C(N,M,L)的特殊情形.这时，组和数 6724520，上式变为：P(AiBj)= ,i0，1，7；j0，1.由此式可得单注中 k 等奖的概率 pk，k1，2，7，它们分别为p1P（A7B0）=1.487095*10-7 p2P（A6B1）=1.0409665*10-6p3P（A6B0）=2.810061*10-5p4P（A5B1）=8.4318*10-5p5P（A5B0）=

14、1.0961737*10-3p6P（A4B1）=1.826896*10-3p7P（A4B0）+ P（A3B1）=3.0448269*10-2从而单注中奖的概率为 p1p2p3+ p4+ p5+ p6+ p7=0.033485.4 结论由以上分析可知，利用概率论方法，可以对一些恒等式进行很好的证明，容易理解、耐人寻味；也可以对骰子问题和福利彩票问题进行分析，引人入胜、受益匪浅.这样一门由赌徒们掷骰子这样有趣的事件而引发的学问，学生从一开始接触就会产生一种学寓于乐的好感，易于激发学习概率论乃至整个数学学科的兴趣.参考文献1梁之舜，邓集贤等，概率论及数理统计第三版（上册） ，高等教育出版社，2004.2严士健，概率论基础，科学出版社,1999.3孙荣恒，趣味随机问题，科学出版社出版社，2004.4茆诗松，程依明，濮晓龙，概率论与数理统计教程，高等教育出版社，2004.