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1、高一数高一数-1.4-1.4 含绝对值的不等式解法含绝对值的不等式解法14 含绝对值的不等式解法学法导引学习本节，首先要理解好绝对值的意义，其次记好不等式的基本性质，再次要注意不等式的等价转换如对 d|axb|c 型不等式可转化为不等式组，知识要点精讲1绝对值的意义和性质意义：在数轴上|a|表示 a 对应的点到原点的距离，|ab|表示 a点与 b 点之间的距离，代数上规定绝对值为：2不等式的基本性质(1)若 ab，则 acbc；(2)若 ab，c0，则 acbc；(3)若 ab，c0，则 acbc3|x|a(a0)的解集为x|axa，几何意义是表示数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合；从数轴
2、上看，是a 与 a 之间的部分|x|a(a0)的解集为x|xa 或 xa，几何意义是表示数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合；从数轴上看，是a 的左侧 和 a 的右侧部分4对于|axb|c 或|axb|c(c0)型的不等式，在具体求解时，可以先将 axb 看作一个整体，直接在|x|a 或|x|a(a0)型不等式的解集进行替换，转化成一元一次不等式，再根据不等式的性质求解5解集的巧记方法|x|a 与|x|a(a0)的解集巧记方法为“小于找中间，大于找两边” 解释：不等式对应方程为|x|a(a0)，根为a，|x|a(a0)的解集在两根之间，|x|a(a0)的解集在两根的两边6含有多个绝对值符号的
3、不等式的解法方法 1：利用绝对值的几何意义如解不等式|x1|x2|3方法 2：利用“零点”进行分段讨论，最后求并集如上例，可分 x1，1x2，x2 三段分别去掉绝对值符号，然后求解思维整合【重点】 |x|a 与|x|a(a0)型不等式的解法；以及对|axb|c(c0)转化为caxbc，|axb|c(c0)转化为axbc 或 axbc 的理解|x|a(a0)的解集应写成x|xax|xax|xa，或xa此处符号“”与“或”意义相同精典例题再现【解析重点】例 1 解不等式：(1)|2x5|8；(2)|23x|7解析 利用绝对值意义将绝对值不等式转化成不等式组例 2 解不等式：3|x2|9解析 解题的
4、关键是去掉绝对值，可用绝对值的代数意义或几何意义求解 原不等式的解集为x|7x1，或 5x11解法 2 原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集不等式组()的解集为x|5x11不等式组()的解集为x|7x1 原不等式的解集为x|7x1 或 5x11解法 3 不等式 3|x2|9 的几何意义是表示在数轴上到2 的距离大于或等于 3 小于 9 的点的集合如图 141 所示 原不等式的解集为x|7x1 或 5x11点拨 含绝对值的双向不等式的解法，关键是利用绝对值的意义去掉绝对值在变形过程中要特别注意保证同解，同时还要注意步骤的简捷与表达的明晰；区别“并”还是“交”的关键是“或”还是“且” ，同时
5、还要分清端点是否包括在内例 3 解不等式：|x1|4|2解析 先把|x1|4 看作一个整体，按|x|a(a0)的模式求出|x1|，然后按同法解出 x 的值解得：5x1，或 3x7所以，原不等式的解集为x|5x1，或 3x7点拨 最后一步的解，可画出如图 142 的数轴得到【剖析难点】例 4 解不等式：|x2|2x10解析 本例不等号两边均有未知数 x，虽不能直接运用最简绝对值不等式，但解题的关键仍是去掉绝对值，因而可采用分段讨论的方法解法 1 (1)当 x2 时，不等式转化为：x22x10，得x8 2x8(2)当 x2 时，不等式转化为：2x2x10，得 x4 x2综合(1)、(2)得原不等式
6、的解集为x|x8解法 2 用图象法解答如下：令 y|x2|，y2x10在同一坐标系中作出两个图象，如图 143 所示，两个图象的交点是由 yx2 与 y2x10 的交点确定，因而交点的横坐标为x8，故所求不等式的解集为x|x8例 5 解不等式：|x1|x2|5解析 这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为不含绝对值符号的不等式，要对未知数 x 进行分类讨论，即用“零点划分法”将实数分成 x2，2x1 和 x1 三个部分进行讨论解法 1 用“零点划分法”将实数分类：令 x10 得 x1，x20 得 x2(1)当 x2 时，原不等式化为：x1x25，即x3， 3x2(2)当2x1 时，原
7、不等式化为：x1x25，即 35恒成立 2x1 也是原不等式的解集(3)当 x1 时，原不等式化为：x1x25，即 x2， 1x2综合(1)、(2)、(3)可知：原不等式的解集为：x|3x2解法 2 不等式|x1|x2|5 表示数轴上与点 A 和点 B两点距离之和小于 5 的点的集合，而 A、B 间距离为 3，因此，线段AB 上每一点到 A、B 的距离之和等于 3如图 144 所示要找到与 A、B 距离之和为 5 的点，只需由点 B 向左移 1 个单位(此时距离之和增加 2 个单位)，即移到点 B1，或由点 A 向右移 1 个单位，移到点 A1可以看出，数轴上点 B1 向右和点 A1 向左之间
8、的点到A、B 距离之和小于 5 原不等式的解集为x|3x2点拨 解这类含两个绝对值符号，且绝对值符号里是一次式的不等式，一般解法有三种，分别是“零点划分法” 、 “利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图象法” 错解分析 上两类错解说明本题有较好的区分度在解不等式时，不要随意将分母去掉，即使去分母，也要在等价思想的指导下去运作能力升级平台【综合能力升级】本节知识常与函数的定义域、值域、求参数的取值范围等内容综合出题在考查这些知识点时，常渗透考查分类讨论、数形结合、等价转换等数学思想例 7 如果不等式|x2|2x3|a 恒成立，求 a 的取值范围解析 注意不等式左边的最小值求法例 8 解关于 x
9、的不等式|2x3|1a(aR)解析 解含参量的绝对值时要进行分类讨论解 不等式可化为|2x3|a1 当 a10，即 a1 时，由式得a12x3a1，点拨 对参变量 a 进行讨论，最后的结论不能合并【应用创新能力升级】本节知识常在集合、函数、方程、解析几何等章节中应用，解题时要灵活运用数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想，以使解题直观、简便解析 为了求出同时满足三个条件的集合 C，可选择其中一个条件入手，求出满足这个条件的 C，再根据另外两个条件逐步缩小解的范围，直至最后求出满足三个条件的 C解 依题意，有 Ax|2x1|3x|1x2，Bx|x2|1x|3x1 C(AB)Zx|1x2x|3x1
10、Zx|3x2Z2，1，0，1，2 同时满足三个条件的 C 为2，1，0，2，1，1，2，1，2，2，0，1，2，0，2，2，1，2点拨 涉及条件多，求解时，应兼顾到任何一个条件，否则会出错解如由(3)得2C，若疏漏，则会出1，0，1等的错解例 10 解关于 x 的不等式：a|x1|2a解析 不等式中含有字母 a，在求解不等式时，需对 a 进行分类讨论高考热点点拨绝对值是一个重要概念，在高考中是常考内容，绝对值不等式大多是以中档要求的题出现，考查去掉绝对值的能力例 11 (2002 年，全国)不等式(1x)(1|x|)0 的解集是( )Ax|0x1Bx|x0 且 x1Cx|1x1Dx|x1 且 x1解析 关键是去掉绝对值 原不等式的解集为x|x1 且 x1，故选 D解法 2 当 x0 时，原不等式可化为：(1x)(1x)0，解得 0x1；当 x0 时，原不等式可化为：(1x)(1x)0，解得 x0 且x1综上，原不等式的解集为x|x1 且 x1
