船舶静力学讲义

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1、1船舶静力学讲义船舶静力学讲义1预备知识1.1 平面形状的面积、形心和惯性矩1.1.1 面积和面积形心面积和面积形心对于任意平面形状，其面积可用二重积分进行计算：(1.1)10)(xxdu SdxyydxdyA形心位置(1.2)10)(11xxdu ScdxyyxAxdxdyAx(1.3)1010)(2111122xxduxxyy ScdxyyAydydxAydxdyAyduxyx0x1ydyu图 1.1 平面形状的面积其中(1.4)10)(xxdu SoydxyyxxdxdyM为平面形状关于 oy 轴的一阶矩；(1.5)10)(2122xxdu SoxdxyyydxdyM为平面形状关于 ox

2、 轴的一阶矩。一阶矩通常也称为静矩。从力学的角度来将，相当于密度为 1/goyM的均质板在沿 oy 轴的重力作用下，重力关于坐标原点的矩。21.1.2 平面形状的惯性矩平面形状的惯性矩考虑图 1 所示形状的均质板绕 y 轴旋转时的动力学问题，若平板所受的力矩为 M，角加速度为 ，则有(1.6)oy SIdxdyxM2其中(1.7)10)(22xxdu SoydxyyxdxdyxI为平面形状关于 oy 轴的二阶矩或惯性矩。 同样，平面形状关于 ox 轴的惯性矩为(1.8)1010)(313322xxduxxyy SoxdxyydyydxdxdyyIud1.1.3 惯性矩的平行轴定理惯性矩的平行轴

3、定理xyxcx0110图 1.2 平行轴定理0-0 轴过形心且平行于 y 轴，1-1 轴为平行于 y 轴，其横坐标为 x0，平面形状关于 1-1 轴的惯性 矩为(1.9)SdxdyxxI2 011)(关于 0-0 轴的惯性矩为：(1.10)ScdxdyxxI2 00)(由于2 0022 02 0)()(2)()()(xxxxxxxxxxxxxxcccccc代入(1.9)式得(1.12)ScScc SdxdyxxdxdyxxxxIdxdyxxI2 00002 011)()(2)(03由于 xc为平面形状的形心横坐标，因此有0)(AxAxdxdyxxdxdydxdyxxcc Sc SSc代入(1.

4、12)式得：(1.13)AxxIIc2 00011(1.13)式就是惯性矩的平行轴定理，对于平行于 ox 轴的情况，有(1.14)AyyIIc2 000111.1.4 组合图形面积、形心和惯性矩的计算组合图形面积、形心和惯性矩的计算组合图形的面积为各子图形面积 Ak的和：(1.15) NkkAA1形心(1.16) NkckkcxAAx11(1.17) NkckkcyAAy11为各子图形的形心。),(ckckyx在计算惯性矩时应利用平行轴原理，首先过每个子图形的形心作平行于系统轴的中和轴（过形心 的轴） ，计算图形关于自身中和轴的惯性矩 Ik，在利用平行轴原理计算图形关于系统轴的惯性矩，求和 后

5、得到整个图形系关于系统轴的惯性矩。(1.18) NkkkckrAII12)(上式中 rk为第 k 个子图形的中和轴到系统轴的距离。 如果要计算整体组合图形系关于组合图形中和轴的惯性矩，在组合图形形心位置未知的情况下，应设 置一平行于中和轴的参考轴，计算组合图形关于参考轴的惯性矩，然后在计算出形心位置和关于参考 轴的惯性矩后，利用平行轴原理得到关于组合图形中和轴的惯性矩。(1.19)2122)(cNkkkckccArrAIArII 其中 rc为参考轴到中和轴的距离。例题 1.1：求图 0.3 所示图形的面积、形心和关于过形心且平行于 x 轴或 y 轴的轴的惯性矩。4xyoABCDEFGHIJKL

6、15m15m5m3m3m6m4m4m5m7m图 0.3 某船水线面图分析分析：该图形可以看做是几个简单图形的组合，其中一种组合形式是在长方形 AFKL 上割去三角 形HGK，IJL 和长方形 BCDE。图形 1：长方形 AFKL面积：2 13001030mA形心：011 yx关于自身中性轴的惯性矩：4325001030121mIcxx43225003010121mIcyy图形 2：三角形 HKG面积：2 293621mA形心：mymx4335;13361512关于自身中性轴的惯性矩：435 . 436361mIcxx431836361mIcyy图形 3：三角形 IJL面积：2 393621mA

7、形心：mymx4)335(;13361533关于自身中性轴的惯性矩：5435 . 436361mIcxx431836361mIcyy图形 4：长方形 BCDE面积：2 41472mA形心：0;5 .11271544ymx关于自身中性轴的惯性矩：43667. 427121mIcxx43167.5127121mIcyy原图形（图形 2，3，4 是去掉的部分，在求和是应取相反数）面积：2268799300mAAk形心：mAxAxkk c272. 0268)5 .11(71391390300027507)4(9490300 AxAykk c面积关于 x 轴的矩： 42233.21980667. 424

8、95 . 4)02500(myAIIkkcxx面积关于 y 轴的矩： 422233.175135 .1114167.51213918)022500(mxAIIkkcyy关于过形心切平行于 x 轴的矩4233.2198033.2198mAyIIcxT关于过形心切平行于 y 轴的矩42245.17493)272. 0(26833.17513mAxIIcyL1.2 体积和体积形心的计算对于任意形状的连续三维形体，体积和形心可用三维积分计算6xyz(x,y0,z0)dxAyoz图 1.4(1.20A) dxdydzV(1.20B) xdxdydzVxc1(1.20C) ydxdydzVyc1(1.20

9、D) zdxdydzVzc1在实际计算时，可按三个维度上的依次进行积分，例如可先在 y 方向和 z 方向进行积分，计算垂 直于 x 轴的截面和体积截交面的面积和形心，最后计算体积和形心。具体步骤如下：(1.21)udududzzduxzxzzxyzxy xSsdzyydydzdydzxA)()()()(),(),( )(1.22)()()(),(),()()(xSzzduxzxzzxyzxyxoyudududdzyyzdyzdzzdydzxm(1.23)(22)()(),(),()(21)(xSzzduxzxzzxyzxyxozudududdzyyydydzydydzxm，(1.24)sxoz

10、Amy/0sxoyAmz/0(1.25)RdRdxxsxx xSdxxAdydzdxdxdydzV)()(1.26)ududxxsxx xSyozdxxxAdydzxdxxdxdydzM)()(7(1.27)udududxxsxxxozxx xSxozdxxAxydxxmydydzdxydxdydzM)()()(0 )(1.28)udududxxsxxxoyxx xSxoydxxAxzdxxydzdxzdxdydzM)()()(0 )(，(1.29)VMxyoz cVMyxoz cVMzxoy c其他积分次序也可获得类似的结果。 组合形体的体积和形心可按下面的公式计算(1.30A) NkkVV

11、1(1.30B) NkckkcxVVx11(1.30C) NkckkcyVVy11(1.30D) NkckkczVVz11其中为第 k 个形体的体积，为对应形体的形心位置。kV),(ckckckzyx1.3 重量、重心的计算对于连续介质的重量计算方法和连续体积的计算方法基本相同。(1.31A) gdxdydzW(1.31B) gxdxdydzWxg1(1.31C) gydxdydzVyg1(1.31D) gzdxdydzVzg1对于离散的重量系统，重量和体积的计算可按如下公式进行(1.32A) NkkWW18(1.32B) NkgkkgxWWx11(1.32C) NkgkkgyWWy11(1.

12、32D) NkgkkgzWWz11其中为第 k 个重量子系统的重量，为对应重量子系统的重心位置。kW),(gkgkgkzyx1.4 船体形状的描述见教材1.5 数值积分1.5.11.5.1 梯形法梯形法y0y1y2y3yNyx图 1.5 如图 0.5 所示，曲线和 x 轴之间的面积可用积分表示：(1.33)40xxydxA在曲线方程位置的情况下，不能直接通过积分的手段获得精确的面积，只能采用数值的方法来得 到面积的近似解。 在已知曲线上有限个离散点坐标，可将整个面积看作若干个梯形的组合。若离散点的 x 坐标是均 匀分布的，相邻两点的间距为 l，各节点依次编号为 0，1，2， ，N。各节点对应的

13、 y 坐标为： y0，y1，y2，,yN。梯形组的面积和为：(1.34)lyyylyyANNikNkkk T 2200119将曲线下面积近似成梯形组的面积，曲线下面积(1.35)lyydxANikxx 040其中为修正量，为虽有节点纵坐标的和。20Nyy Niky01.5.21.5.2 辛普生法辛普生法梯形法采用一系列梯形的面积和来近似曲线下的面积，该方法误差较大，为了提高计算精度，可 以用高阶曲线来代替原曲线，用高阶曲线下的面积来近似原曲线下的面积。 新普生法采用高阶抛物线来代替原曲线。其中采用二次抛物线的称为辛普生第一法，采用三次抛 物线的称为新普生第二法。1.5.2.1 新普生第一法新普

14、生第一法新普生第一法采用二次抛物线代替原曲线，二次抛物线方程为：(1.36)cbxaxy2含有三个待定系数，因此需要连续三个节点的坐标值来确定抛物线方程的三个系数。若节点分布是等间距的，节点间距为 l，取任意三个连续的节点，其纵坐标分别为，设抛物线1, 1iii11,iiiyyy方程为：(1.37)112)()(iiiixxxcxxbxxay抛物线下的面积为：(1.38)cllaxxcxxbxxadxcxxbxxaAiiiixxiiixxii232)()(2)(3)()(32321111 根据三个节点的纵坐标值，可得到如下方程(1.39A)cblalyi2 1(1.39B)cyi(1.39C)cblalyi2 1根据（1.39）式可得(1.40A)11222iiiyyyal(1.40B)112iiyybl10(1.40C)iyc 将(1.40)式带入（1.38）式得：(1.41)lyyylylyyyAiii iiii 342321111由于新普生第一法一次计算三个连续节点间两块曲边梯形的面积，一般要求曲线的等分数为偶数 2N。 对于图 0.5 所示的连续曲线，曲线下面积(1.42) )42.2424(334.34 342