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1、问问题 同余定理一、余数等式的应用一、余数等式的应用余数关系式：被除数除数商余数由此关系式可以演变出两个有关余数的基本考点：(1)在余数问题中，余数的范围是(0余数除数)，这是一个非常重要的考点；(2)被除数余数除数商，这个公式常结合整除的方法来解题。真题一：真题一：四位数 5122 除以一个两位数得到的余数是 66，求这个两位数。( )A. 80 B. 79 C. 64 D. 67【答案及解析】本题答案选 B。此题涉及余数问题的两个基本考点，可以借助排除法和代入法来快速求出结果。根据考点(1)，可知这个两位数一定大于 66，故答案 C 排除；根据考点(2)5122665056，这个结果应该是
2、这个两位数的整数倍，将其余 3 个选项带入，发现只有 B 符合。故答案选 B。二、同余定理的考察二、同余定理的考察定理证明：假设正整数 A 分别被 5、6、7 去除，余数为以下几种情况，求 A 的值。(1)余数均为 1。则可知：(A1)能同时被 5、6、7 整除，因此(A1)可以表示为5、6、7 的公倍数 210n，所以 A210n1；由此可以总结：若被除数一样，且余数也一样，则“被除数除数的公倍数余数”。(2)余数分别为 3、2、1。则可知：(A3)是 5 的倍数，(A35)仍然是仍然是 5 的倍数的倍数，故(A8)是 5 的倍数；同理(A8)也是 6 和 7 的倍数，所以 A210n8；由
3、此可以总结：若被除数一样，且除数和余数的和一样，则“被除数除数的公倍数(除数余数)”。(3)余数分别为 1、2、3。则可知：(A1)是 5 的倍数，(A15)仍然是 5 的倍数，故(A4)是 5 的倍数；同理(A4)也是 6 和 7 的倍数，所以 A210n4；由此可以总结：若被除数一样，且除数和余数的差一样，则“被除数除数的公倍数(除数余数)”。根据以上证明出来的结论，下面我们结合一些真题来进行练习。真题二：真题二：自然数 P 满足下列条件：P 除以 10 的余数为 9，P 除以 9 的余数为 8，P 除以 8 的余数为 7。如果：100P1000，则这样的 P 有几个？ ( )2005 年
4、浙江真题A。不存在 B.1 个 C.2 个 D.3 个【答案及解析】本题答案选 C。因为题干中各除数和余数的差均为 1，且 8、9、10 的最小公倍数是 360。根据上述结论(3)可知 P360n1，因此在 100 和 1000 之间 P 可以取两个值：当 n1 时，P 为 359；当 n2 时，P 为 719。真题三：真题三：学生在操场上列队做操，只知人数在 90110 之间。如果排成 3 排则不多不少；排成5 排则少 2 人；排成 7 排则少 4 人；则学生人数是多少人？( )2009 年江西真题A. 102 B. 98 C. 104 D. 108【答案及解析】本题答案选 D。本题属于余数
5、相关问题。由“排成 5 排则少 2 人，排成7 排则少 4 人”；相当于“排成 5 排则多 3 人，排成 7 排则多 3 人”根据上述结论(1)，人数可以表示为：35n3，因为 9035n3110，解得：n3。学生人数是 3533108。三、相关问题的延伸三、相关问题的延伸有时候，一些试题并非以余数的面目出现，但是我们可以将之转化为余数问题来求解。真题四：真题四：三个字母“A、B、C”和六个文字“行测数学运算”分别依次循环出现，一个字母和一个文字对应一组，见下表：组别12345678910。字母ABCABCABCA。文字行测数学运算行测数学。上表中第 1 组为(A，行)，则第 89 组是什么？
6、(D )A。(A，测) B。(B，数) C。(C，学) D。(B，运)【答案与解析】本题答案选 D。如果按照上面的方法一个个排列出来，显然很费时，考虑到每组都是一个字母和一个文字组成的，而且字母是每 3 个为一组，文字是每 6 个为一组，因此可以用除法运算的余数来求解。893292，896145，所以第 89 组字母为 B，文字为运。 【例 1】一个数被 3 除余 1，被 4 除余 2，被 5 除余 4，这个数最小是多少?【华图公务员考试研究中心解析】题中 3、4、5 三个数两两互质。则4，5=20;3，5=15;3，4=12;3，4，5=60。为了使 20 被 3 除余 1，用 202=40
7、;使 15 被 4 除余 1，用 153=45;使 12 被 5 除余 1，用 123=36。然后，分别乘以他们的余数：401+452+364=274，因为，27460，所以，274-604=34，就是所求的数。【例 2】一个数被 3 除余 2，被 7 除余 4，被 8 除余 5，这个数最小是多少?在 1000 内符合这样条件的数有几个?【华图公务员考试研究中心解析】题中 3、7、8 三个数两两互质。则7，8=56;3，8=24;3，7=21;3，7，8=168。为了使 56 被 3 除余 1，用 562=112;使 24 被 7 除余 1，用 245=120;使 21 被 8 除余 1，用
8、215=105;然后，1122+1204+1055=1229。因为，1229168，所以，1229-1687=53，就是所求的数。再用(1000-53)/168 得 5, 所以在 1000 内符合条件的数有 5 个。【例 3】一个数除以 5 余 4，除以 8 余 3，除以 11 余 2，求满足条件的最小的自然数。【华图公务员考试研究中心解析】题中 5、8、11 三个数两两互质。则8，11=88;5，11=55;5，8=40;5，8，11=440。为了使 88 被 5 除余 1，用 882=176;使 55 被 8 除余 1，用 557=385;使 40 被 11 除余 1，用 408=320。
9、然后，1764+3853+3202=2499，因为，2499440，所以，2499-4405=299，就是所求的数。【例 4】有一个年级的同学，每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人，每 5 人一排多2 人，问这个年级至少有多少人 ?【华图公务员考试研究中心解析】题中 9、7、5 三个数两两互质。则7，5=35;9，5=45;9，7=63;9，7，5=315。为了使 35 被 9 除余 1，用 358=280;使 45 被 7 除余 1，用 455=225;使 63 被 5 除余 1，用 632=126。然后，2805+2251+1262=1877，因为，1877315，所以，18
10、77-3155=302，就是所求的数。对剩余定理问题进行直接套用的方式是解决此类题目最快的方法，华图公务员考试研 究中心希望考生记住解题步骤，进行相关问题的解决。在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。被除数(a)除数(b)=商(c)余数(d)，其中 a、b、c 均为整数，d 为自然数。其中，余数总是小于除数，即 0d一、同余两个整数 a、b，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a、b 对于 m 同余。例如，3 除以 5 的余数是 3，18 除以 5 的余数也是 3，则称 23 与 18 对于 5 同余。对于同一个除数 m，两个数和的余数与余数的和同余，两
11、个数差的余数与余数的差同余，两个数积的余数与余数的积同余。例如，15 除以 7 的余数是 1，18 除以 7 的余数是 415+18=33，1+4=5，则 33 除以 7 的余数与 5 同余18-15=3，4-1=3，则 3 除以 7 的余数与 3 同余1518=270，14=4，则 270 除以 7 的余数与 4 同余【例题】a 除以 5 余 1，b 除以 5 余 4，如果 3ab，那么 3a-b 除以 5 余几?A.0 B.1 C.3 D.4【思路点拨】此题为很明显的余数问题，因此可以直接利用同余的性质解出问题。【解析】a 除以 5 余 1，则 3a 除以 5 余 3 (两个数积的余数与余
12、数的积同余)b 除以 5 余 4，则 3a-b 除以 5 余-1 (两个数差的余数与余数的差同余)因为余数大于 0 而小于除数，-1+5=4，故所求余数为 4。所以正确答案为 D。二、剩余在我国古代算书孙子算经中有这样一个问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是，一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7余 2，问这个数最小是多少?这类问题在我国称为“孙子问题”，也称为剩余问题。关于这一问题的解法，国际上称为“中国剩余定理”。以此题为例，下面华图教育专家为大家介绍一种常规的解题方法。我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被 3 和 5 整除，但除以 7 余 1，即 15;第二个数能同时被 3 和 7 整除，但除以 5 余 1，即 21;第三个数能同时被 5 和 7 整除，但除以 3 余 1，即 70;然后将这三个数分别乘以被 7、5、3 除的余数再相加，即：152+213+702=233。最后，再减去 3、5、7 最小公倍数的若干倍，即：233-1052=23。
