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1、 习题解答9-3 两个相同的小球质量都是m，并带有等量同号电荷q，各用长为l的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于图 9-9 所示的位置。如果角很小，试证明两个小球的间距x可近似地表示为.解解 小球在三个力的共同作用下达到平衡，这三个力分别是重力mg、绳子的张力 T 和库仑力f。于是可以列出下面的方程式,(1),(2)(3)因为角很小，所以, .利用这个近似关系可以得到,(4). (5)图 9-9将式(5)代入式(4)，得,由上式可以解得.得证。9-4 在上题中， 如果l = 120 cm，m = 0.010 kg，x = 5.0 cm，问每个小球所带的电量q为多大？解解 在上题的
2、结果中，将q解出，再将已知数据代入，可得.9-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r0 = 5.291011m。质子的质量M = 1.671027kg，电子的质量m = 9.111031kg，它们的电量为 e =1.601019C。(1)求电子所受的库仑力；(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？(3)求电子绕核运动的速率。解解 (1)电子与质子之间的库仑力为.(2)电子与质子之间的万有引力为.所以.(3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以,从上式解出电子绕核运动的速率，为.9-6 边长为a的立方体，每一个
3、顶角上放一个电荷q。(1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为. (2) F的方向如何？解解 立方体每个顶角上放一个电荷q，由于对称性，每个电荷的受力情况均相同。对于任一顶角上的电荷，例如B角上的qB，它所受到的力 、 和 大小也是相等的，即.图 9-10首先让我们来计算 的大小。由图 9-10 可见， 、 和 对 的作用力不产生x方向的分量；对 的作用力f1的大小为,f1的方向与x轴的夹角为45。对 的作用力f2的大小为,f2的方向与x轴的夹角为0。对 的作用力f3 的大小为,f3的方向与x轴的夹角为45。对 的作用力f4 的大小为,f4的方向与x轴的夹角为， 。于是.所受合力的大小为.(2
4、) F的方向：F与x轴、y轴和z轴的夹角分别为、和，并且,.9-7 计算一个直径为 1.56 cm 的铜球所包含的正电荷电量。解解 根据铜的密度可以算的铜球的质量.铜球的摩尔数为.该铜球所包含的原子个数为.每个铜原子中包含了29个质子，而每个质子的电量为 1.6021019 C，所以铜球所带的正电荷为.9-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度E，我们就把一个带正电的试探电荷 q0 引入该点，测定F/q0。问F/q0是小于、等于还是大于该点的电场强度E？解解 这样测得的F / q0是小于该点的电场强度 E 的。因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探
5、电荷的方向移动， q0受力F减小了。9-9 根据点电荷的电场强度公式,当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？解解 当r 0时，带电体q就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。9-10 离点电荷50 cm处的电场强度的大小为2.0 NC1 。求此点电荷的电量。解解 由于,所以有.9-11 有两个点电荷，电量分别为5.0107C和2.8108C，相距 15 cm。求：(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；(2)作用在每个电荷上的力。解解 已知 = 5.010
6、7C、 = 2.8108C，它们相距r = 15 cm ，如图 9-11 所示。(1) 在点B产生的电场强度的大小为,方向沿从A到B的延长线方向。在点A产生的电场强度的大小为,方向沿从B到A的延长线方向。(2) 对 的作用力的大小为,方向沿从B到A的延长线方向。对 的作用力的大小为.方向沿从A到B的延长线方向。9-12 求由相距l的 q电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：(1)轴的延长线上距轴心为r处，并且r l；图 9-11(2)轴的中垂面上距轴心为r处，并且r l。解解 (1)在轴的延长线上任取一点P，如图 9-12 所示，该点距轴心的距离为r。P点的电场强度为.在
7、r l的条件下，上式可以简化为.(1)令,(2)这就是电偶极子的电矩。这样，点 P 的电场强度可以表示为.(3)(2)在轴的中垂面上任取一点Q，如图 9-13 所示，该点距轴心的距离为r。Q点的电场强度为也引入电偶极子电矩，将点Q的电场强度的大小和方向同时表示出来：.9-13 有一均匀带电的细棒，长度为L，所带总电量为q。求：图 9-12图 9-13 (1)细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且aL；(2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且aL。解解 (1)以棒中心为坐标原点建立如图 9-14 所示的坐标系。在x轴上到O点距离为a处取一点P，在x处取棒元dx，它所带电荷
8、元为dx ，该棒元到点P的距离为a x，它在P点产生的电场强度为.整个带电细棒在P点产生的电场强度为,方向沿x轴方向。(2)坐标系如图 9-15 所示。在细棒中垂线(即y轴)上到O点距离为a处取一点P，由于对称性，整个细棒在P点产生的电场强度只具有y分量Ey。所以只需计算Ey就够了。仍然在x处取棒元dx，它所带电荷元为dx，它在P点产生电场强度的y分量为.整个带电细棒在P点产生的电场强度为图 9-14图 9-15,方向沿x轴方向。9-14 一个半径为R的圆环均匀带电，线电荷密度为。求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a的一点的电场强度。解以环心为坐标原点，建立如图 9-16 所示的坐标系。在
9、x轴上取一点P，P点到盘心的距离为a。在环上取元段dl，元段所带电量为dq = dl，在P点产生的电场强度的大小为.由于对称性，整个环在P点产生的电场强度只具有x分量Ex。所以只需计算Ex就够了。所以.9-15 一个半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电场强度。解解 取盘心为坐标原点建立如图 9-17所示的坐标系。在x轴上取一点P，P点到盘心的距离为a。为计算整个圆盘在P点产生的电场强度，可先在圆盘上取一宽度为dr的圆环，该圆环在P点产生的电场强度，可以套用上题的结果，即,图 9-16图 9-17的方向沿x轴方向。整个圆盘在P点产生的电场强度，
10、可对上式积分求得.9-16 一个半径为R的半球面均匀带电，面电荷密度为。求球心的电场强度。解解 以球心O为坐标原点，建立如图 9-18 所示的坐标系。在球面上取宽度为dl的圆环，圆环的半径为r。显然,圆环所带的电量为.根据题 9-14 的结果，该圆环在球心产生的电场强度为,方向沿x轴的反方向。由图中可见， , 将这些关系代入上式，得.所以,E的方向沿x轴的反方向。图 9-189-19 如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面S内的电荷，其量用q表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为E，另一类是处于高斯面S外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为 E ，显然高斯面上任一点的电场强度
11、E = E + E。试证明：(1) ；(2) 。解解 高斯面的电通量可以表示为.显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。高斯定理表述为“通过任意闭合曲面S的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以0，而与S以外的电荷无关。”可见，高斯面S以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为. (1)所以，关系式 的成立是高斯定理的直接结果。因为,于是可以把高斯定理写为.将式(1)代入上式，即得. (2)9-20 一个半径为R的球面均匀带电，面电荷密度为。求球面内、外任意一点的电场强度。解解 由题意可知，电场分布也具有球对称性，可以
12、用高斯定理求解。在球内任取一点，到球心的距离为 r1，以r1为半径作带电球面的同心球面S1，如图 9-19 所示，并在该球面上运用高斯定理，得,由此解得球面内部的电场强度为.在球外任取一点，到球心的距离为 r2，以r2为半径作带电球面的同心球面S2，如图 9-19 所示，并在该球面上运用高斯定理，得,即.由此解得,图 9-19E2的方向沿径向向外。9-21 一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。解解 显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外，可以用高斯定理求解。在圆柱体内部取半径为r1、长度为l的同轴柱面S1(见图
13、9-20)作为高斯面并运用高斯定理.上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为,于是得,方向沿径向向外。用同样的方法，在圆柱体外部作半径为 r2、长度为l的同轴柱面S2，如图 9-20 所示。在S2上运用高斯定理，得.图 9-20根据相同的情况，上面的积分可以化为,由上式求得,方向沿径向向外。9-22 两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为 ，两板相距d。当d比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。(1)求两板之间的电场强度；(2
14、)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过 1.5108 s的时间撞击在对面的正电板上，若d = 2.0 cm，求电子撞击正电板的速率。解解 (1)在题目所说情况下，带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器，并且电场都集中在两板之间的间隙中。作底面积为S的柱状高斯面，使下底面处于两板间隙之中，而上底面处于两板间隙之外，并且与板面相平行，如图 9-21所示。在此高斯面上运用高斯定理，得,由此解得两板间隙中的电场强度为.图 9-21(2)根据题意可以列出电子的运动学方程,.两式联立可以解得.9-24 一个半径为R的球体均匀带电，电量为q，求空间各点的电势。解解 先由高斯定理求出电场强度的分布，
15、再由电势的定义式求电势的分布。在球内： ，根据高斯定理，可列出下式,解得,方向沿径向向外。在球外： ，根据高斯定理，可得,解得,方向沿径向向外。球内任意一点的电势：, ().球外任意一点的电势：, ().9-25 点电荷+q和3q相距d = 1.0 m，求在它们的连线上电势为零和电场强度为零的位置。解解 (1)电势为零的点：这点可能处于+q的右侧，也可能处于+q的左侧，先假设在+q 的右侧x1处的P1点，如图9-22 所表示的那样可列出下面的方程式.从中解得.在+q左侧x2处的P2点若也符合电势为零的要求，则有.解得.图 9-22(2)电场强度为零的点：由于电场强度是矢量，电场强度为零的点只能
16、在 +q的左侧，并设它距离+q为x，于是有.解得.9-26 两个点电荷q1 = +40109C和q2 = 70109C，相距 10 cm。设点A是它们连线的中点，点B的位置离q1 为8.0 cm，离q2 为6.0 cm。求：(1)点A的电势；(2)点B的电势；(3)将电量为2510-9C 的点电荷由点B移到点A所需要作的功。解解 根据题意，画出图 9-23。(1)点A的电势：.(2)点B的电势：.(3)将电荷q从点B移到点A，电场力所作的功为,图 9-23电场力所作的功为负值，表示外力克服电场力而作功。9-27 一个半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电势，再由电势求该点的电场强度。解解 以盘心为坐标原点、以过盘心并垂直于盘面的轴线为x轴，建立如图 9-24 所示的坐标系。在x轴上任取一点P，点P的坐标为x。在盘上取半径为r、宽为dr的同心圆环，该圆环所带电荷在点P所产生的电
