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1、1 第 2 章测量误差理论基本知识2.1 观测及其分类测量进行的过程就是两个同名量相比较的过程，测量结果都是未知量与作为计量单位的同名已知量之比。测定未知量的过程称为观测，就是观测者使用一定的仪器和工具，采用一定的方法和程序， 在一定的环境条件下测定未知量与计量单位之比的过程。任何观测都要涉及如下三类不同性质的量：做为求算对象的称为未知量，做为被测对象的称为观测量，做为计量单位的称为已知量。一、按观测量与未知量之间的关系分直接观测：直接测定未知量的观测称为直接观测；例如；用水准仪铡定两点间的高差，用经纬仪观测一水平角、用钢尺丈量一段水平距离、用罗盘仪测定一条边的磁方位角等，均属直接观测。直接观
2、测中，二者之间的关系最简单：观测量就是未知量。间接观测：未知量是由直接观测量推算而来的观测称为间接观测。例如在视距测量中，直接观测量是斜视距和高度角，而间接求算的未知量却是立尺点到测站的水平距离和高差。间接观测中，未知量均为观测量的函数。二、按观测量之间的关系分独立观测：若干个观测量理论上不受任何条件约束的观测称为独立观测。例如在测角交会中仅观测两个水平角， 只观测平面三角形的任意两个内角等，均属独立观测，独立观测中，观测值就是观测量的最或是值。条件观测：若干个观测量理论上应满足一定条件的观测称为条件观测。例如平面三角形的的三个内角观测值之和应等于180、闭合水准路线若干段高差观测值之和应为零
3、等，均属于条件观测。条件观测中，观测量之间所2 受约束的条件不仅是观测值正确与否的检核，而且只有在满足这些条件的前提下，通过对观测值进行一定的处理，才能求得观测量的最或是值。三、按观测时所处的条件分等精度观测：一列观测值在相同条件下获得，称为等精度观测，该列观测值称做等精度观测值。在相同条件下进行的一组观测值，如果它对应着同一种确定的误差分布，那么就称该组观测值为一列等精度观测值。该组观测值中的每一个观测值都应看成是等精度的。如同一观测者使用同一台经纬仪、采用测回法、在一个时间段内对某水平角观测九个测回，则该水平角的九个测回值为一列等精度观测值。不等精度观测：一列观测值在不同条件下获得，称为不
4、等精度观测，该列观测值称为不等精度观测值。例如沿三条互不相同的水准路线测定未知点B 相对于已知点 A 的高差，则三个观测就是一列不等精度观测值。四、按观测量在观测过程中的状态分静态观测：观测量在观测过程中处于相对静止状态称为静态观测。生产实践中的测量课题多属静态观测。动态观测：观测量在观测过程中处于运动状态称为动态观测。天文测量和卫星测量中所观测的天体和人造天体均处于运动状态。动态观测中，观测量是变化的，且均为时间的函数。2.2 观测误差的分类对某一个量进行多次观测时，无论所使用的仪器多么精密、所采用的方法多么完善、所处的环境多么有利、观测者多么仔细，观测成果之间总有差异。这种在观测过程中所产
5、生的差异叫作观测误差。误差是伴随着观测过程的进行而产生的，最终包含于观测结果之中，并表现为多次观测值之间的矛盾。3 一、按照误差产生的来源分类按照观测误差产生的来源，观测误差可分为下面四种：（一）观测者操作误差观测过程中无论观测者工作多么熟练、仔细，由于其感觉器官的鉴别能力不能绝对完善无误， 故在安置仪器、 瞄准目标、 读数等方面都会产生误差。（二）仪器误差观测时所使用的仪器、工具，其各部分结构，尺寸不满足设计时的理论要求，经过检验、校正，仍残留一定的误差，因而在观测时对观测值产生一定的误差。（三）方法误差由于方法和程序引起的误差。知识的不足、研究的不充分、对方法的不适当简化等都会引起误差。（
6、四）条件误差由环境条件引起的误差。 观测时所处的外界条件， 如气温、 气压、湿度、风、阳光、大气折光等自然条件的影响，对观测值产生一定的误差。二、按照观测误差的性质分类根据观测误差的性质，观测误差可分为两类：系统误差，偶然误差。（一）系统误差在一定的观测条件下作一系列的观测，如果观测误差在大小和正负上表现出一致性或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。例如，测距仪的工作频率与标准频率不一致，水准尺的 1m 刻划与 1m 真长不相等，水准仪的视准轴与水准轴不平行，大气折光对测角的影响，观测人员的不良观测习惯对观测结果的影响等等，均属于系统误差。在测量作业中，应通过校正测量仪器、采取一定的作业方法
7、或者对观测值进行改正等尽量将系统误差削弱至最小。（二）偶然误差4 1偶然误差的概念在相同观测条件下，做一系列观测，如果观测误差的大小和符号均呈现出偶然性，即从表面现象看，误差的大小和符号没有规律性，但统计分析的结果却具有一定的统计规律性，则称这种误差为偶然误差。产生偶然误差的原因很多，而且往往是不固定的和难以控制的，如仪器本身构造不完善而引起的误差、观测者的估读误差、照准目标时的照准误差等。不断变化着的外界环境，温度、湿度的忽高忽低，风力的忽大忽小等，也会使观测值产生偶然误差。有的教材把粗差也纳入到误差的分类当中，认为观测误差可分为三类，系统误差，偶然误差，粗差。笔者的观点认为在讨论测量误差和
8、测量平差问题时，假设所处理的观测值是不包含粗差的，在观测当中，粗差已经经过观测的各种检验手段得到剔除。在测量上，通常把观测中的错误称为粗差。例如水准测量时读错一个5cm的分格，或读数之前未使水准气泡居中；测角时瞄错目标，计算时弄错符号和小数点等等，其原因主要是工作中的粗枝大叶造成。在观测结果中是绝不允许出现错误的，这就要求作业人员加强工作责任感，认真细致地工作，同时应采取检测、验算等方法，及时发现错误，把粗差从观测值中剔除。必要时还应改变观测方法和观测条件。2偶然误差的统计规律性由于测量平差的研究对象是含有偶然误差的观测值，因此，有必要进一步了解偶然误差的性质。从表面看偶然误差的大小和符号没有
9、任何规律，呈现出一种偶然性，但是通过大量实际测量数据分析，这种偶然性本身总是服从如下几点特性。 定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出一定的界限；对值大的误差比绝对值小的误差出现的可能性小；绝对值相等的正误差与负误差出现的可能性相等；偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋向于零。5 即：0lim nn。表示真误差，表示1+2+n。2.3 衡量精度的标准在相同条件下如果进行n次观测，得到一列等精度的直接观测值，每个观测值的真误差的大小、符号各不相同，怎样来评定该列观测值的精度呢？从一列观测值具有同一种误差分布的情况出发，精度的评定， 对于等精度观测列中的每一个单个的观测值来说，应该是统
10、一的，所取的标准应该是能表示出测量时一切条件的综合量。如果分布较为密集，即小误差出现的个数较多，则表示观测质量较好， 亦即观测精度高； 反之，如果分布较为离散，则表示观测精度低。衡量精度的标准应以全面研究整个误差列为基础，从中得出一个既能代表整个观测列的观测条件又能代表观整个观测列的测量精度的综合量。反映精度高低的具体数值，称为衡量精度的标准。一、精度、准确度、精密度的含义（一）精度精度是指在一定观测条件下，一组观测值与其观测值真值接近和离散的程度。精度是一个泛指性的概念，即表明了观测值与真值之间的接近程度，又表明了观测值自身的密集程度。观测值与其高低是用误差来衡量的，且为误差的反意词，即误差
11、大，精度低；误差小，精度高。在测量过程中，通过选择精度高的测量仪器、 熟练的观测员、 好的观测条件来提高观测值的精度。（二）准确度准确度是指观测值的理论平均值与观测值真值的接近程度。偏离程度越大，准确度越低。当观测值中含有系统误差时，虽然观测值具有较高的精密度但其准确度不一定高，准确度能够突出地表明系统误差对观测值的影响程6 度。在测量过程中，可以通过检校仪器和规范操作来提高观测值的准确度。（三）精密度精密度是指一组观测值中， 由偶然误差引起的各观测值之间的离散程度。观测值之间越密集，精密度越高，观测值之间越离散，精密度越低。精密度主要表明了偶然误差对观测值的影响程度。射击打靶的例子能形象直观
12、地说明准确度和精密度的含意。四名射手各打 10 发子弹，其成绩分别为如图中的(a)、(b)、(c)、(d)，靶心相当于真值，弹孔到靶心的距离相当于观测误差。显然，图（ a）表明射手精密度较高，但准确度较低；图（b）表明准确度较高，但精密度较低；图（c）表明准确度和精密度均较高；图（d）表明射手准确度和精密度均较低。对于一列观测值来说，仅精密度高，可能包含较大的系统误差；仅准确度高，包含的偶然误差不一定小。精度既包括精密度的含义，同时也包含准确度的含义，在测量工作中，只精密度和准确度都高，才能说精度高，才表明观测是高质量的。二、衡量精度的常用标准（一）平均误差由于误差分布较密集，说明小误差出现的
13、比例大，整列误差绝对值的平均值则小，反映出观测质量就较高；反之，误差分布较离散，小误差出现的比例小，整列误差绝对值的平均值则较大，反映出的观测质量就较低。 所以，可以用一组误差的平均值大小来作为衡量精度高低的标准。在一定的观测条件下，偶然误差绝对值的算术平均值的极限，称为平均7 误差。一般用表示，即有：nn lim其中表示真误差。（二）中误差在一定观测条件下， 偶然误差平方之平均值的极限，称为中误差的平方（也称为方差）。中误差一般用m来表示。即： nm n lim2其中表示真误差。实际上的观测个数n 不可能无限增多，所以在实用上取下列公式来计算中误差，即：nm表示21+22+2n上式也可描述为
14、等精度偶然误差平方的平均值的平方根称为中误差（又称均方误差）。（三）或然误差将一列误差按绝对值的大小排列，取其居中的一个来作为衡量精度的指标，若观测次数为偶数，则去中央的两个误差的平均值。这样的一个衡量精度的指标称为或然误差，用表示。根据概率理论可以证明，平均误差、中误差 m、或然误差 之间有如下关系：2345m当观测次数很多时，用上述三个标准中的任何一个来评定观测精度是同8 样可靠的。但是当观测次数n 不多时，中误差能够明显的反映出测量中较大误差的影响，用中误差来衡量观测精度就比较可靠，因此，测量中多以中误差作为衡量精度的指标。（四）极限误差对于观测结果中读错、记错、算错等明显错误，我们易于
15、判别，并能把它从观测结果中剔除。但是，对于由一些不显著的不良条件所引起的误差就难以判断该误差在相应的条件下是可以避免的还是不可避免的。因而需要确定一个偶然误差在一定的观测条件下可能达到的极限值，以便定量判别那些误差是可接受的，那些是不可接受的。根据误差理论及大量实践证明：在大量等精度观测的一列误差中，绝对值大于 m（为常数， m 为中误差）的偶然误差值，其出现的概率性如下表：偶然误差出现的可能性偶然误差值（m）超出 m 的误差出现的概率(%) 可能产生一个等于m 的误差的观测数0 100 - 0.5 61.7 - 1.0 31.7 3 1.5 13.4 8 2.0 4.6 22 2.5 1.2
16、 83 3.0 0.27 370 3.5 0.05 2000 4.0 0.0065 15300 从上表可以看出， 100 个等精度观测中约有5 个偶然误差可能大于两倍中误差，在 22 个观测中可能出现一个等于两倍中误差的偶然误差；1000 个等精度观测中约有3 个偶然误差可能大于三倍中误差，在370 个观测中可能9 出现一个等于三倍中误差的偶然误差。理论上，由于实际工作中观测次数不可能太多，所以认为大于三倍中误差的偶然误差实际上是不大可能的。因此，可取三倍中误差作为测量中偶然误差的极限值，称为极限误差（或容许误差），简称限差，以限表示。在实际生产中，为了确保观测成果的质量，现行的测规提出了更高的要求，通常取二倍中误差作为极限误差，则有：m2限在测量工作中，如果某误差超出了极限误差，数据处理时就认为它是粗差（错误） ，应该从观测成果中剔除不用。由此可知， 极限误差是生产中规定的剔除粗差的一个标准， 也是测量作业中判定测量成果是否合格的一个标准，因此，极限误差在生产中具有很重要的意义。（五）相对误差真误差、平均误
