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1、牛顿迭代法与 KOCH 分形曲线实验学号：200921070432姓名：何传燕专业：检测技术与自动化装置一、牛顿迭代法收敛区域问题牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method） ，是一种在 实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。将方程 中函数线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解，是牛顿迭0)(xf)(xf 代法的基本思想。为了研究牛顿迭代法的收敛区域问题，可以用于求解复数方程z n + 1 = 0，例如对z6 + 1 = 0，该方程在复平面上六个根分别是，i21 23-z1iz21 23-2iz3，iz4iz21 23 5iz21 23 6
2、选择中心位于坐标原点，边长为 4 的正方形内的任意点作初始值，进行迭代，将不收敛的 点定义为第一类，给它们标一种颜色；再把收敛到六个根的初值分为六类，并分别标上不 同颜色。对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图。 前三个根的收敛域彩色图：后三个根的收敛域彩色图：1MATLAB 相关命令介绍 绘伪彩色图命令 pcolor() 该命令主要用于绘制矩阵色图，根据矩阵中元素数据的大小不同绘不同颜 色。常常与命令 shading interp 结合使用效果会更好。 在 MATLAB 命令窗口中键入 help pcolor，可获得英文帮助信息。2.相关程序如下：t1=-sqrt(3
3、)/2+i*.5;t2=-sqrt(3)/2-i*.5;t3=i;t4=-i;t5=sqrt(3)/2+.5i;t6=sqrt(3)/2-.5i;h=0.02;N=1+4/h; z0(N,N)=0;z1=z0;z2=z0;z3=z0;z4=z0;z5=z0;z6=z0t=(-2:h:2)+eps;x,y=meshgrid(t); z=x+y*i;for k1=1:Nfor k2=1:Np0=z(k1,k2);for k=1:10p0=p0-(p06+1)/(6*p05);endif abs(p0-t1)0.01z1(k1,k2)=1;elseif abs(p0-t2)0.01z2(k1,k2)
4、=1;elseif abs(p0-t3)0.01z3(k1,k2)=1;elseif abs(p0-t4)0.01z4(k1,k2)=1;elseif abs(p0-t5)0.01z5(k1,k2)=1;elseif abs(p0-t6)0.01z6(k1,k2)=1;elsez0(k1,k2)=1;endendendzz=z0+2*z1+3*z2+4*z3;ss=z0+2*z4+3*z5+4*z6;figure(1)pcolor(x,y,zz),shading interpfigure(2)pcolor(x,y,ss),shading interp二、KOCH 分形曲线实验1、提出问题由 F
5、igure1 中两个基本生成元生成的 KOCH 曲线Figure 1（a) (b) 2、程序设计(a)function kochsqur(ax,ay,bx,by,n)%定义函数，其中 ax 为起始点横坐标，ay 为 起始点纵坐标，bx 为终点横坐标，by 为终点纵坐标，n 为迭代次数 clf; p=ax ay;bx by;m=1%将输入转为矩阵 a=cos(pi/2) -sin(pi/2);sin(pi/2) cos(pi/2); for k=1:nj=0;for i=1:mq1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;%共需设置四个点j=
6、j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*a;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*a+d;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;end m=5*m;clear pp=r;q2; end plot(p(:,1),p(:,2) (b)function kochsqur(ax,ay,bx,by,n)%定义函数，其中 ax 为起始点横坐标，ay 为 起始点纵坐标，bx 为终点横坐标，by 为终点纵坐标，n 为迭代次数 clf; p=ax ay;bx by; m=2; a=cos(pi/4) -sin(pi/4);sin(pi/4) cos(pi/4); for k=
7、1:nj=0;for i=1:2:m%取一个线段q1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;%共需设置 10 个点j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*a;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d+d*a;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;j=j+1;r(j,:)=q1+3*d;endclear p;p=r;%重置 pm=5*m; end plot(p(:,1),p(:,2)3、运行图形 （a)输入：kochsqur(0,0,120,0,6)（b)输入：kochtree(0,0,120,0,6)
