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1、微专题深度分析 19 重庆一中李红林 微专题深度分析 19 重庆一中李红林 第 1 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 极值点偏移 极值点偏移 -重庆市 2017 届一诊导数试题(21)解法及背景探究 -重庆市 2017 届一诊导数试题(21)解法及背景探究 编者按编者按众所周知，函数( )f x满足定义域内任意自变量x都有( )(2)f xfmx，则函数( )f x关于直线xm对称；可以理解为函数( )f x在对称轴xm两侧， 函数值变化快慢相同， 且若( )f x为单峰函数， 则xm必为( )f x的极值点.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数( )f x的极值点为m，且函数(
2、)f x满足定义域内xm左侧的任意自变量x都有( )(2)f xfmx或( )(2)f xfmx， 则函数( )f x极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数( )f x定义域内任意不同的实数12,x x满足12()()f xf x，则12 2xx与极值点m必有确定的大小关系. 若12 2xxm，则称为极值点左偏；若12 2xxm，则称为极值点右偏； (重庆市 2017 届一诊文 21)已知函数( )(0,)xf xxa eb abR （）求函数( )f x的最大值； （）若函数( )f x有两个不同的零点12,x x，求证：122lnxxa ； (重庆市 2017 届一诊理 21)已知函数(
3、)ln(0,)f xxaxb abR有两个不同的零点12,x x （）求函数( )f x的最值； （）求证：1221xxa； 一文理导数 21 题等价性分析：设lntxtxe ，则函数tyta eb ， 故理科试题条件转化为：函数tyta eb 有两个不同的零点1122ln,lntx tx， 理科试题目标转化为：12121221lnln2ln2lnxxxxattaa ，则文科理科试题是等价的； 二解法探究(以重庆市 2017 届一诊文 21 为例)： （）( )1(0)xfxa e a ；则( )0lnfxxa ，函数( )f x有最大值( ln )ln1faab （如图） （）证明加强命题：
4、已知函数( )(0,)xf xxa eb abR，若任意不同的实数12,x x满足12()()f xf x，求证：122lnxxa 思路一（对称性消元）思路一（对称性消元）消参数2x12(ln)xax 12212ln2lnxxaxax 函数( )f x在 ln ,)a上为减函数 原式21()( 2ln)f xfax12()()f xf x微专题深度分析 19 重庆一中李红林 微专题深度分析 19 重庆一中李红林 图难于其易， 为大于其细 图难于其易， 为大于其细 第 2 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 11( )( 2ln)f xfax11( )( 2ln)0f xfax，构造函数(
5、)( )( 2ln),(, ln )g tf tfat ta ，则( )( )( 2ln)g tf tfat2ln2ta taeae12(),(, ln )ttaeetaa ，则由均值不等式显然可得12ttaeea（当且仅当lnta 时取等号） ，故( )0( )g tg t在(, ln )a 为减函数，则( )( ln )0g tga，证毕. 思路二（齐次化消元）思路二（齐次化消元）消参数a，因1212 121212()()xxxxf xf xxa ebxa ebxa exa e 则 1212 xxxxaee，故1212 122 1212 12122ln2ln()xxxx xxeeeexxa
6、xxexxxx 方案一（差为自变量） ：方案一（差为自变量） ：原式11221222 2 122()xxxxxxeeexxe12212 12()2xxxxxxee，则令12txx，原式22220ttttteeeet，设( )tg te22( )2tttetg teet( )20ttg tee， 则( )g t在(,0)为增函数， 又(0)0( )0gg t， 则( )g t在(,0)为减函数， 则0t 时，( )g t有最小值(0)0g，故( )0g t 220tteet，证毕. 方案二（商为自变量） ：方案二（商为自变量） ：令12 121122,ln,lnxxueuexu xu，原式212
7、 12 12()lnlnuuu uuu2 2212212221121111212()(ln)lnln0uuuuuuuuu u uuuuuuu u，则令21utu，设1( )lng tttt211121(1)( )02222tttg tttt tt tt t ，则( )g t在(1,)为减函数，则1t 时，( )g t有最大值(1)0g，故( )0g t 1ln0ttt，证毕. 点评：1. 对称性消元及解答程序化.点评：1. 对称性消元及解答程序化. 1:S单峰函数( )f x极值点m及函数( )f x的单调性，由12()()f xf x，不妨可设12xmx； 2:S构造对称函数( )( )(2
8、),g tf tfmt tm，并证明( )( )(2)g tf tfmt恒正或恒负； 3:S由( )g t符号可得：11()(2)f xfmx或11()(2)f xfmx21()(2)f xfmx或21()(2)f xfmx； 4:S由( )f x单调性可得：122xxm或122xxm； 若函数( )f x在极值点m的一侧图像按照极值点所在直线xm对称的图像都在( )f x在极值点m的另一侧图像的上方（或下方）表示函数( )f x在极值点所在直线xm的两侧变化快慢不同. 极值点左右两侧变化快慢可分为以下四种： 微专题深度分析 19 重庆一中李红林 微专题深度分析 19 重庆一中李红林 第 3
9、页 共 4 页 第 3 页 共 4 页 左快右慢（极值点左偏左快右慢（极值点左偏12 2xxm） ） 左慢右快（极值点右偏左慢右快（极值点右偏12 2xxm） 左快右慢（极值点左偏） 左快右慢（极值点左偏12 2xxm） 左慢右快（极值点右偏左慢右快（极值点右偏12 2xxm） ） 总之，极值点向变化较快的那侧偏移；波峰函数变化较快的一侧图像按照极值点对称所得图像在另一侧图像下方；波谷 函数变化较快的一侧图像按照极值点对称所得图像在另一侧图像上方； 2.齐次化消元及解答程序化. 2.齐次化消元及解答程序化. 1:S单峰函数( )f x极值点m及函数( )f x单调性，由12()()f xf x
10、，不妨可设12xmx； 2:S由12()()f xf x可以消去参数，分析目标不等式，转化为12,x x的齐次式，化为以12txx或12xtx为自变量的函数式( )g t（指数化为差的形式，对数化为商的形式） ； 3:S证明函数( )g t恒正或恒负； 与指数或对数有关的极值点偏移问题最终都基于对数均值不等式：任意不等正数, a b，都有lnln2abababab，此不等式证明技巧就是构建以bta为自变量的函数： 不妨设0ab，则(1,)atb，故lnln2abababab2()lnabaab abbab2(1)1ln1ttttt微专题深度分析 19 重庆一中李红林 微专题深度分析 19 重庆
11、一中李红林 第 4 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 (重庆市 2017 届一诊理 21)已知函数( )ln(0,)f xxaxb abR，若任意不同的实数12,x x满足12()()f xf x，求证：1221xxa； 由12 121122 12lnln()()lnlnxxf xf xxaxxaxaxx，则12 12122 121 lnlnxxxxxxxxa；证毕 也可弱化为：已知函数( )ln(0,)f xxaxb abR，若任意不同的实数12,x x满足12()()f xf x，求证：12 122 2xxxxa1212lnlnxx xx，证毕3.3.总之，无论哪种处理思路都是消元与目标分析的基础上，转化为相同的结构，从而构造适当的函数来解决.
