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1、第 1 页抛物线单元测试题 班级：_；姓名：_号数：_.成绩：_ 一、选择题：（每题 5 分，共 60 分） 1、过抛物线的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是2y4x p，q，则（ ）A、B、C、D、与 1 的大小关系不确定111pq111pq111pq11 pq2、过抛物线的焦点作直线交抛物线于和两点，若2y2px p011A x , y22B x , y，则等于（ ） 。12xx3pABA、B、C、D、2p4p6p8p3、抛物线的顶点在椭圆上，这样的抛物线的条数为（ ） 。2yx2xsin122x4y1 A、1B、2C、3D、4 4、抛物线上有、
2、三点，F 是它的焦点，若2y2px p011A x , y22B x , y33C x , y、成等差数列，则（ ） 。AFBFCFA、成等差数列B、成等差数列123x , x , x123y ,y , yC、成等差数列D、成等差数列132x , x , x132y , y , y5、抛物线与有共同的焦点，则之间的关系是（ ） 。2y2px2y2q xhp , q , hA、B、C、D、2hpqpq2hqphpqh6、抛物线上离点最近的点恰好是顶点的充要条件是（ ） 。2x2yA 0 , aA、B、C、D、a01a2a1a27、在抛物线上有点 M，它到直线的距离为。如果点 M 的坐标为，2y4
3、xyx4 2a , b，则的值为（ ） 。a , bRa bA、B、C、1D、221 28、P 是抛物线21xy12上的动点，点 A 的坐标为0 ,1，点 M 在直线 PA 上，且点 M分所成的比为 2:1，则点 M 的轨迹方程是（ ） 。PAuuu rA、B、C、D、211xy63211yx63211xy3321xy13 9、已知抛物线上一定点和两动点 P、Q，当时，点 Q 的横坐标的2xy1A1, 0PAPQ取值范围是（ ） 。 A、B、C、D、(,3 1,) 3,1(,31,) U10、以曲线上任意一点 P 为圆心作圆与轴相切，则这些圆必过定点（ ） 。2y38 x2yA、B、C、D、2
4、 , 34 , 33, 33, 011、对于每个自然数，抛物线与 x 轴交于两点，以n22ynn x2n1 x1nnA , B第 2 页表示该两点间的距离，则等于（ ） 。nnA B1122nnA BA BA BLA、B、C、D、n1 nn1 nn1 n1 n n1 12、一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是。在杯内放入一个2x2y 0y20玻璃球，要使球触到酒杯底部，则玻璃球的半径 的范围为（ ）r A、B、C、D、0r10r10r20r2 二、填空题：（每题 4 分，共 16 分） 13、已知，抛物线的焦点在直线上滑动。若对称轴作平行移动，当抛2x2py p0yx2物线的焦点移到时
5、，则此抛物线的方程是_。2t , 4t214、平移抛物线，使顶点在以和为端点的线段上运动，则抛物线截直线2yx1, 00 , 2所得的线段长的最大值是_。yx15、若直线（t 为参数）与抛物线相切，则_。x22tcos y4tcos 2y4xcos cos 16、ABC 的三个顶点都在以原点为焦点，x 轴为对称轴的抛物线上。若 A 点的坐标为 ，且ABC 的重心在原点，则直线 BC 的方程是_。6 ,8三、解答题：（共 74 分） 17、求与纵坐标轴相切，且与圆外切的圆心的轨迹方程。(14 分)22xy4x018、已知抛物线内有一点，B 是抛物线上任意一点。若动点 M 分线段的比2x8yA 1
6、, 2ABuuu r为 1:2，求点 M 的轨迹方程。 （14 分）第 3 页19、已知:。22y2x6ysin9cos8cos90 （1）证明：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线，并求出这个椭圆方程；（2）问为何值时，抛物线在直线上截得的弦最长，并求出这弦的长。 （14 分）x1420、如图，设点 A 和 B 为抛物线上原点以外的两个动点，已知，2y4px p0OAOB，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 （14 分）OMAB AOBM第 4 页21、已知抛物线上有两动点 A、B 及一定点，F 是抛物线的焦点，2y2px p000M x , y且，成等差数列。AFMF
7、BF（1）求证：线段 AB 的垂直平分线经过定点；0Q xp , 0（2）若，（O 是坐标的原点） ，求此抛物线的方程。 （18 分）MF4OQ6第 5 页抛物线单元测试题（参考答案） 一、选择题：（共 60 分）题号123456789101112答案BBDABCDADBDA二、填空题：（共 16 分）13、 ；14、 ；15、 ；16、 2x48 y43 2212 4xy80三、解答题：（共 74 分） 17、求与纵坐标轴相切，且与圆外切的圆心的轨迹方程。22xy4x0解：设所求圆心，已知圆的圆心为 C，M x , y动圆与圆外切并与 y 轴相切22xy4x0，即：，整理得：22MCr2x2
8、yr2rxrx22x2yx2；2y4x4 x当时，；当时，。x02y8xx0y018、已知抛物线内有一点，B 是抛物线上任意一点。若动点 M 分线段的比2x8yA 1, 2ABuuu r为 1:2，求点 M 的轨迹方程。 解：设，11B x , y, M x , yM 分线段的比为，解得：，B 在抛物线上，ABuuu r1 2111x2x112 112y2y112 11x3x2y3y4 ，从而得点 M 的轨迹方程为：，即2 11x8y23x28 3y42284xy33319、已知:。22y2x6ysin9cos8cos90 （1）证明：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线，并求出这
9、个椭圆方程；（2）问为何值时，抛物线在直线上截得的弦最长，并求出这弦的长。x14解：（1）配方得：2y3sin2 x4cos设抛物线顶点，则，消去，得00P xy，00x4cosy3sin 22xy1169（2）22y2x6ysin9cos8cos90x14代入，得2 12y3sin288cosy3sin288cos, y3sin288cos第 6 页L，当时，4 72cos2kmaxL1220、如图，设点 A 和 B 为抛物线上原点以外的两个动点，已知，2y4px p0OAOB，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。OMAB解：设直线 OA 的方程为，则直线 OB 的方程为ykx1yx
10、k 由得，2ykxy4px 11x0y0 2224pxk 4pyk 24p4pA,kk同理：，直线 AB 的斜率为：2B 4pk ,4pk22 24p4pkkk 4p1k4pkk 从而得 AB 的方程为：，整理得：2 2ky4pkx4pk1k2ky4pxk1直线 OM 的斜率为，直线 OM 的方程为：2k1 k2k1yxk动点 M 的坐标即满足，又满足，得：，整理得2yx 4px222x2py4p所求动点 M 的轨迹方程为：，222x2py4px0所求轨迹为以为圆心，2p 为半径的圆，去掉原点。P 2p , 021、已知抛物线上有两动点 A、B 及一定点，F 是抛物线的焦点，2y2px p00
11、0M x , y且，成等差数列。AFMFBF（1）求证：线段 AB 的垂直平分线经过定点；0Q xp , 0（2）若，（O 是坐标的原点） ，求此抛物线的方程。MF4OQ6解：（1）设，11A x , y22B x , y，成等差数列，AFMFBF2 MFAFBF012ppp2 xxx2220122xxxA、B 在抛物线上，两式相减得：22 1122y2px , y2px121212yyyy2p xx，AB 的中垂线方程：121212xxyy yy2p121212yyyyxxyx22p2 令，此时，命题得证。y00xxp（2）依题意，可得：，MF4OQ600px42 xp6 AOBM第 7 页，从而，抛物线方程为p40x22y8x。1双曲线的焦距为（ ）22 1102xyA3 B4 C3D422332 “双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（ ）22 1916xy9 5x A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件
