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1、第七章 习题四 二阶常系数非齐次线性微分方程 班级 学号 姓名69习题四习题四 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 一、填空题解：1. 方程对应齐次方程，特征方程为1222 xyy02 yy，特征根.非齐次方程自由项，即，022 rr2, 021rr12)(2xxf0恰为特征单根，所以设特解为.)(2cbxaxxyp2. 方程对应齐次方程，特征方xxyyy22e ) 12(44 044 yyy程，特征根.非齐次方程自由项，0442 rr221 rrxxxf22e ) 12()(即，是特征重根，所以设特解为.2x pcbxaxxy222e )(3. 方程对应齐次方程，特征方
2、程12232 xyyy023 yyy，特征根.非齐次方程自由项，即0232 rr2, 121rr12)(2xxf，不是特征根，所以设特解为. 0cbxaxyp24. 由非齐次方程通解结构定理，微分方程的通解为)(xfyqypy .21yyy5. 由非齐次方程解的叠加原理，微分方程的解为yqypy )()(21xfxf.21yyy二、多步填空题解：,.12232 xyyy432xxyp三、解：方程对应齐次方程，特征方程，xxyye44 04 yy042 rr特征根 ，所以齐次方程的通解为；, 01r42rx cCCy4 21e第七章 习题四 二阶常系数非齐次线性微分方程 班级 学号 姓名70再求
3、非齐次方程的特解，自由项，即，不xxyye44 xxxfe4)(1是特征根，所以设原方程的特解为，代入方程，整理有：x pBAxye )(，从而得 解得：xBAxA4)(32 ， 03243 BAA，9834BA即原方程的特解为 .x pexy)98 34(所以原方程的通解为 .xx pcxCCyyye )98 34(e421则 ,xxxxCye )98 34(e34e44 2由,有 解得00xy10xy ，198 344098221CCC，36134521CC所以原方程满足初始条件的特解为 .xxxye )98 34(e3613 454四、解：1.原方程对应齐次方程，特征方程，044 yyy
4、0442 rr特征根，所以齐次方程的通解为.221 rrx cxCCy2 21e )(再求非齐次方程的特解，自由项，xyyy2e44 xxxf22e ) 12()(即是特征重根，所以设特解为，代入方程，得，即原2x pAxy22e1A方程的特解为.x pxy22e所以原方程的通解为：.xxx pcxxCCxxCCyyy22 21222 21e )(ee )(则 ,xxxxCCxCy22 212 2e )(2e )2(第七章 习题四 二阶常系数非齐次线性微分方程 班级 学号 姓名71由条件有解得1)0(, 0)0(yy ， 120121 CCC ，1021 CC所以原方程满足初始条件的特解为.x
5、xxy22e )(2.方程对应齐次方程，特征方程，特征根xyysin2 02 yy022r，所以齐次方程的通解为：.i 22, 1rxCxCyc2sin2cos21再求非齐次方程的特解，辅助方程为，设特解为xyysin2 xyyie2 ,代入方程，有，即，所以辅助方程的特解为x pAyie1)21(A1A，于是原方程的特解为.xxyx psinicoseixypsin所以原方程的通解为 ,xxCxCyyypcsin2sin2cos21则 ,xxCxcCycos2cos22sin221由条件，有解得1)0(, 0)0(yy ， 112021 CC ， 0021 CC所以原方程满足初始条件的特解为.xysin
