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1、1第 2 章 质点力学的运动定律 守恒定律一、选择题一、选择题 1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(C)，9(B)，10(C)，11(D)，12(A)，13(D)二、填空题二、填空题 (1). 2=12rad/s，A=0.027J (2). 290J (3). 3J (4). 18 Ns(5). (SI)jtitvv2323(6). 16 Ns， 176 J(7). 16 Ns ，176 J(8). ，Mkl/0Mk nmMMl 0(9). jivv5(10). mv， 指向正西南或南偏西 452三、计算题三、计算题1. 已知一质量为 m 的质点在 x 轴
2、上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离 x 的平方成反比，即，k 是比例常数设质点在 x=A 时的速2/ xkf 度为零，求质点在 x=A /4 处的速度的大小 解：根据牛顿第二定律 xmtx xmtmxkfdd dd dd dd2vvvv 4/2 02dd,ddAAxmxk mxxkv vvvvkmAAAmk3)14(212v )/(6mAkv2. 质量为 m 的子弹以速度 v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度 成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求： (1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度 解：(1
3、) 子弹进入沙土后受力为v，由牛顿定律 tmKddvv vvvv vv0dd,dd0t tmKtmK2 mKt/ 0evv(2) 求最大深度解法一： tx ddvtxmKtded/ 0vtxmKttx ded/000v )e1 ()/(/ 0mKtKmxvKmx/0maxv解法二： xmtx xmtmKdd)dd)(dd(ddvvvvv vdKmdxvvdd000max Kmxx Kmx/0maxv3. 一物体按规律 xct3 在流体媒质中作直线运动，式中 c 为常量，t 为时间设媒质对物 体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为 k，试求物体由 x0 运动到 xl 时，阻力所作的 功解：由 xc
4、t3可求物体的速度： 23ddcttxv物体受到的阻力大小为： 343242299xkctkckf v 力对物体所作的功为： = = WWdlxxkc 03432d97273732lkc4. 一质量为 2 kg 的质点，在 xy 平面上运动，受到外力 (SI)的作用，t = 0jtiFvvv2244 时，它的初速度为 (SI)，求 t = 1 s 时质点的速度及受到的法向力.jivvv430vnFv解： jtimFavvvv2122/ tad/dvvvtjtid)122(d2vvvvvvvvvv0dt tjti02d)122(vv jti tvvvv3 042vvjtitjti tvvvvvv
5、)44()23(4233 0vv当 t = 1 s 时， 沿 x 轴 ivv51v3故这时， jaaynvvv12 (SI) jamFnnvvv245.一辆水平运动的装煤车，以速率 v0从煤斗下面通过，每单位 时间内有质量为 m0的煤卸入煤车如果煤车的速率保持不变， 煤车与钢轨间摩擦忽略不计，试求： (1) 牵引煤车的力的大小； (2) 牵引煤车所需功率的大小； (3) 牵引煤车所提供的能量中有多少转化为煤的动能？其余部分用于何处？ 解：(1) 以煤车和t 时间内卸入车内的煤为研究对象，水平方向煤车受牵引力 F 的作用，由动量定理： 000)(vvMtmMtF求出： 00vmF (2) 2 0
6、00vvmFP(3) 单位时间内煤获得的动能： 2 0021vmEK单位时间内牵引煤车提供的能量为 PE 50 21/ EEK即有 50的能量转变为煤的动能，其余部分用于在拖动煤时不可避免的滑动摩擦损耗 6.一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下 垂一段的长度为a设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为令链 条由静止开始运动，则 (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？ (2)链条刚离开桌面时的速率是多少？ 解：(1)建立如图坐标. 某一时刻桌面上全链条长为 y,则摩擦力大小为glymf摩擦力的功 00dd alalfygylmyfW= = 02 2alylmg2)(
7、2allmg(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 W 2 02 21 21vvmm其中 W = W PWf ，v0 = 0 WP = laxPdlalmgxxlmgla2)(d22x y a la v0 a la 4由上问知 lalmgWf2)(2所以 222221)(22)(vmallmg lalmg得 21222)()(alallgv7. 如图所示，在中间有一小孔 O 的水平光滑桌面上放置一个用绳子连结的、质量 m = 4 kg 的小块物体绳的另一端穿过小孔下垂且用手拉住开始时物体以半径 R0 = 0.5 m 在桌面上转动，其线速度是 4 m/s现将绳缓慢地匀速下拉以 缩短物体的转动半径
8、而绳最多只能承受 600 N 的拉力求绳刚被拉断 时，物体的转动半径 R 等于多少？解：物体因受合外力矩为零，故角动量守恒 设开始时和绳被拉断时物体的切向速度、转动惯量、角速度分别为 v0、J0、0和 v、J、则 JJ00 因绳是缓慢地下拉，物体运动可始终视为圆周运动式可写成 RmRRmR/2 002 0vv整理后得： vv /00RR 物体作圆周运动的向心力由绳的张力提供 RmF/2v再由式可得： 3/12 02 0)/(FmRRv当 F = 600 N 时，绳刚好被拉断，此时物体的转动半径为 R = 0.3 m 8.设两个粒子之间相互作用力是排斥力，其大小与粒子间距离 r 的函数关系为，3
9、rkf k 为正值常量，试求这两个粒子相距为 r 时的势能 （设相互作用力为零的地方势能为 零 ） 解：两个粒子的相互作用力 3rkf 已知 f0 即 r处为势能零点, 则势能 rrPPrrkWEdd3rfrr)2(2rk四四 研讨题研讨题1. 汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力能使汽车前进吗？使汽 车前进的力是什么力？参考解答： 汽车发动机内气体对活塞的推力以及各种传动部件之间的作用力都是汽车系统的内力， 内力只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。使 汽车前进的力只能是外力，这个外力就是地面给汽车的摩擦力。粗略分析如下：当汽车发O5动机
10、内气体对活塞的推力带动传动部件使主动轮（ 一般为汽车的后轮）绕轮轴转动时，使 主动轮与地面的接触部分相对地面有向后滑动的趋势，从而使地面对汽车施以向前的摩擦 力，使汽车整体向前加速运动。由于汽车前进使从动轮（汽车的前轮）相对地面有向前的 运动趋势，因此从动轮受到地面施以的方向向后的摩擦力，该摩擦力对从动轮轴的力矩使 从动轮滚动起来。所以汽车的运动最终靠的是地面施加的摩擦力。2. 冲量的方向是否与冲力的方向相同？参考解答：冲量是力对时间的积累，由动量定理：PPPtFIttvvvvv1221d所以，冲量的方向和动量增量的方向相同，不一定与冲力的方向相同。PvFv3. 一物体可否只具有机械能而无动量
11、？一物体可否只有动量而无机械能？试举例说明。参考解答： 机械能是系统作机械运动的动能和势能的总和.动能与物体相对参考系的运动速度有关， 势能则属于保守力系统，一物体具有的势能，是相对势能零点而言的。若取保守力系统， 物体相对参考系静止，那么物体的动能为零，物体的动量也为零。该系统的机械能就是物 体相对系统势能零点所具有的势能.所以，一物体可以有机械能而无动量。例如：一质量为 m 的物体（例如一气球）静止在相对于地面为h的高处，此时对于物体和地球系统，具有 的机械能为重力势能，其值为 mgh。由于此时物体静止，故其动量为零。 在保守力系统中，若一物体运动至某一位置时所具有的动能值，恰等于该位置相
12、对势 能零点所具有的负的势能值，则该物体的机械能为零，而因物体具有动能，因而动量不为 零。所以，一物体也可以有动量而无机械能。例如：物体自离地面高为h处自由下落，取 物体和地球为系统，并取下落处为重力势能零点.初始时刻系统的机械能 E0=0，下落至地 面时，物体具有速度的大小为 v，动能为 mv 2/2，动量的大小为 mv，系统的机械能为 E =mv2/2 mgh = E0=0.4. 在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件，则在相对于上述惯 性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否一定也满足机械能守恒条件？请举例 说明 参考解答： 不一定满足守恒条件 例如在水平面上以速度匀速直线行驶的车厢顶上悬挂一小球以车厢为参考系，0vv小球摆动过程中绳子张力对小球不作功，则小球地系统机械能守 恒若以地面为参考系，
