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1、分析数学物理方程及其基本任务中山大学工学院动力工程专业学号：11250906 姓名：卢振威摘要摘要：在经典数学物理方程中，以二阶线性偏微分方程为主要研究对象。二阶线性偏 微分方程从数学上的分类，在物理上的对应过程及其方程的标准形式。 数学物理方程 有两大基本任务：导出定解问题和求解相应的定解问题。关键词关键词：经典数学物理方程；二阶线性偏微分方程；两大基本任务一、一、 二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程在经典数学物理方程中，以二阶线性偏微分方程为主要研究对象。（一）二阶线性偏微分方程从数学上的分类（一）二阶线性偏微分方程从数学上的分类弦振动方程、热传导方程与拉普拉斯方程，这三类方程的形状很特
2、殊，它们是二 阶线性偏微分方程的三个典型代表。一般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差 异，往往可以从对这三类方程的研究中得到。 我们先研究两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类问题。一维热传导方程、弦 振动方程和二维拉普拉斯方程都是两个自变量的二阶线性偏微分方程。不过它们的形 式特殊，若用(x,y)记自变量，一般的二阶线性方程总可以写成如下的形状：它关于未知函数及其一、二阶偏导数都是线性的，其中u都是自变量的已知函数，假设它们的一阶偏导fucbbaaa，21221211yx,数在某平面区域内都连续，而且不全为 0 。D221211aaa，若方程的主部系数在区域 中某一点(x0，y0)满足，则
3、称方程在点(x0，y0)是双曲型双曲型的；则称方程在点(x0，y0)是抛物型抛物型的；则称方程在点(x0，y0)是椭圆型椭圆型的。（二）二阶线性偏微分方程在物理上分别对应的过程（二）二阶线性偏微分方程在物理上分别对应的过程如果方程在所讨论的区域 D 内每一点都是双曲型的，那么我们就称方程在区域内 是双曲型的。同样，如果方程在所讨论的区域 D 内每点均为抛物型或椭圆型，那么方 程在区域 D 内就称作是抛物型或椭圆型的。由于方程的系数是连续函数，若方程在点(x0，y0)是双曲型的；若221211aaa，) 1 (221221211fcuububuauauayxyyxyxx, 022112 12aa
4、a , 022112 12aaa , 022112 12aaa方程在点(x0，y0)是椭圆型的，则在点(x0，y0)的领域内也是椭圆型的；但方程在点 (x0，y0)是抛物型的，就不一定在点(x0，y0)的领域内也是抛物型的。 由上述定义，显然 弦振动方程是双曲型的；弦振动方程是双曲型的； 一维热传导方程是抛物型的；一维热传导方程是抛物型的； 二维拉普拉斯方程和珀松方程都是椭圆型的。二维拉普拉斯方程和珀松方程都是椭圆型的。 由于弦振动方程描述的是波的传播现象，它具有对时间是可逆的性质； 热传导方程反映了热的传导、物质的扩散等现象，这些现象总是由高到低，由密 到疏的，因而是不可逆的； 而拉氏方程所
5、描述的是稳定和平衡状态。 这三种方程所描述的自然现象的本质完全不同，所以它们的类型也不相同。 三类典型方程在数学性质上的差异往往是相应的物理现象的本质差异在数学上的 表现。对于一般的变系数方程，情况更复杂一些，但类似结论仍然成立。 对于不同类型的方程来说，解的光滑性可以很不相同。对于弦振动方程来说，如 果初始条件中高阶的导数不存在，那么解的高阶导数也就不存在；对于热传导方程， 只要初始条件是有界的，那么其解是无穷可微的；对于拉普拉斯方程，它的解的光滑 性更好，其解在定义域内都是解析函数。热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理，但它们所采取的形式是有区别的。 拉普拉斯方程解的极值只可能存在于边界
6、。至于热传导方程，区域内部的最大值不能 超过区域初始时刻和边界面上的最大值。双曲型方程通常不存在极值原理，这是因为 波在叠加时可以出现扰动增大的情况。 从影响区和依赖区来看，三类方程也有很大区别。波动方程的扰动是以有限速度 传播的，因而其影响区和依赖区是锥体状的。对热传导方程而言，其扰动传播进行的 十分迅速，某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面，依赖区是整个初始值区间。 拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态，因此不存在扰动传播的问题。（三）各类方程的标准形式（三）各类方程的标准形式变换是研究微分方程的一个有效手段，通过适当的变换往往可以把复杂的方程转 化为简单的，把不易求解的方程转化为容易求
7、解的。 方程(1)的二阶导数项称为它的主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主部可以得到简化。 设(x0,y0)是区域 内一点，在该点的邻域内对方程(1)进行简化。为此我们作下 面的自变量变换在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微的，且雅可比行列 式在(x0,y0)点不为零，那么在点(x0,y0)的邻域内，变换(4.3)是可逆的，也就是存在)2(2221211yyxyxxuauaua)3(),(),(yxyx)4(),(),(xxyx yxDDJ逆变换也就是说，方程(1)可以采用新的自变量 , 表示为运用复合函数的求导法则2 22122 11222yyxxaaaa2 22
8、122 11112yyxxaaaa(7)的第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果我们能选择到方程的两个函数无关的解 1(x,y)和 2(x,y)，那么，将变换取为 =1 (x,y)和=2 (x,y)，方程(6)的系数 这样就达到了简化方程(1)的主部的目的。 方程(8)的求解可以转化为下述常微分方程在(x,y)平面上的积分曲线问题：设 1(x,y)=c 是方程(9)的一族积分曲线，则 z=1(x,y)是方程(8)的一个解。称方 程(9)的积分曲线为方程(8)的特征线，方程(9)有时也称为方程(8)的特征方程。 显然方程(9)可以分解为两个方程这样根据 的符号不同，我们可以选取相应的变换代入
9、方程(6) ，从而得到不同的化简形式)5(),(),(yyxx)6(221221211fucububuauaua)7 ()(22121112yyxyyxxxaaaa)8(022 22122 11yyxxaaa002211aa；)9(02)(22122 11adxdyadxdya)11(/ )()10(/ )(1122112 12121122112 1212aaaaadxdyaaaaadxdy22112 12aaa , 022112 12aaa)12(1111DuCuBuAuu, 022112 12aaa)13(1111DuCuBuAu)14(DCuBuAuuu, 022112 12aaa这三个
10、方程分别称为二阶线性偏微分方程的标准形式二阶线性偏微分方程的标准形式。二、二、 数学物理方程数学物理方程数学物理方程有两大基本任务：导出定解问题和求解相应的定解问题。（一）定解问题的定义（一）定解问题的定义数学物理方程所要讨论的内容：将物理问题表述成数学方程，然后用各种方法来 求解方程。具体地说，包括以下两个方面的内容： 1、写出定解问题将物理问题表述成数学方程 在我们将要讨论的物理问题中，物理量除了随着时间变化，还在空间中有一定的 分布。也就是说，自变数除了包括时间 ，还包括空间坐标。例如，一根绳子上各trv点位移随时间的变化；平面上各点温度随时间的变化；某种物质在空( , )u x t(
11、, , )u x y t间各点浓度随时间的变化。对于这类问题，常微分方程将变成偏微分方程。( , , , )u x y z t相应地，由于引入了空间变量，因此求解方程除了需要初始条件以外，还需要边界条 件。这就是数学物理定解问题。 定解问题由泛定方程和定解条件组成。泛定方程是描述物理问题的偏微分方程本 身。定解条件包括反映研究区域边界状况的边界条件，和反映初始状态的初始条件。 在给定的定解条件下，求解偏微分方程，就称为数学物理定解问题。泛定方程偏微分方程定解问题定解条件初始条件，边界条件一般来讲，从物理问题中导出的数学物理方程既可以是微分方程，也可以是积分 方程，或者微分积分方程。这门课程仅限
12、于二阶线性偏微分方程。 偏微分方程：含有未知多元函数及其偏导数的方程。 方程的阶：偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数。 线性方程：偏微分方程中对于未知函数及其所有偏导数都是一次的，就称为线性 方程，高于一次以上就称为非线性方程。 例如 ut = 4 uxx; 二阶线性，x2uyy = y3uxx; 二阶线性，(ux)2 + (uy)2 = 1; 一阶非 线性 为什么要强调线性呢？这是因为只有线性方程，才可以应用叠加原理（或独立作 用原理） ；而对于非线性方程，线性叠加原理不再适用，处理起来十分复杂。叠加原 理：如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作几个部分的线性 叠加，只要
13、这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应线性叠加正好是原来的 泛定方程和定解条件。 2、求解定解问题求出满足方程和定解条件的解 虽然我们要求解的方程是偏微分方程，但可以通过分离变量法，将方程中关于时 间微分和空间微分的部分分离开来，分别讨论。 其中，定解问题的求解是主要内容。在研究方程求解之前，我们先看看数学物理 方程是如何从物理问题中导出来的。（二）定解问题的基本要素（二）定解问题的基本要素定解问题的基本要素泛定方程和定解条件。 定解问题包括泛定方程和定解条件两部分。前面讨论了三类泛定方程的导出，接下来， 我们讨论定解条件，即初始条件和边界条件。对于每一类泛定方程而言，正是由于定解条 件
14、的不同，才会出现解的不同。 对于初始条件导致解的不同比较容易理解。如在篮球场上，正是球员给球的初始速度 决定球的运动轨迹。又如夏天，你从太阳暴晒的户外进到屋子里面，你会觉得很凉爽，因 为你的体温正从一个高温水平下降低温水平，但若是你从一个空调屋子走到没有空调的屋 子，你就会觉得很热，这是因为体温经历的是一个上升过程，这就是由于初始条件所导致 的温度变化的不同。 由于边界条件导致的解的不同也不难理解。如握住绳的一端抖动，绳的另一端固定或 者自由这两种不同的边界条件下，其振动轨迹将完全不同。又如冬天的屋子里有暖气，将 窗户关上和将窗户打开这两种不同的边界条件下，室内温度也将完全不同。 我们下面就来
15、具体介绍各种定解条件。1、初始条件 ，0|tu0|ttu（1） 振动过程 对于振动过程(弦、杆、膜的振动，较高频率交变电流沿传输线传播，声振动和声波， 电磁波)，初始条件包括初始“位移”u (x, y, z, t)| t = 0 = (x, y, z), 和初始“速度”ut (x, y, z, t)| t = 0 = (x, y, z), 其中， (x, y, z)和 (x, y, z)都是已知函数。 注意 初始条件应当给出整个系统的初始状态，而不仅是系统中个别地点的初始状态。 例 一根长为 l 而两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离 h，然后放手任其振动。 写法：，02,0/2 ( , )|2(),/2thxxllu x thxllxll 0|0,0ttuxl（2）输运过程 对于输运过程(扩散、热传导)，初始状态指的是所研究的物理量 u 的初始分布(初始浓 度分布、初始温度分布)。因此，初始条件是u (x, y, z, t)| t = 0 = (x, y, z), 其中， (x, y, z)是已知函数。 （3）稳恒运动 稳定场 如果振动过程或输运过程受到周期性外源或外力的作用，讨论时间足够长以后的振动 或输运过程，可以忽略初始条件的作用，形成所谓的稳恒运动。为什么
