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1、刚体力学基础基础奥赛力学中学生物理奥赛理论集训(1)武汉大学徐斌富运动的守恒定律刚体力学基础天体运动牛顿运动定律物体的平衡质点运动学流体力学基础机械振动机械波刚体力学基础基础5.6 .6 刚体的平面平行运动5.2 刚体定轴转动的描述.2 刚体定轴转动的描述5.3 转动定律.3 转动定律5.1 质心运动定理5.4 角动量角动量定理.4 角动量角动量定理专题5刚体力学基础专题5刚体力学基础5.5 刚体定轴转动动能定理.5 刚体定轴转动动能定理5.7 .7 进动刚体力学基础基础5.1 质心运动定理.1 质心运动定理5.1.1 质心若刚体原来静止，当外力作用线通过一个特殊点若刚体原来静止，当外力作用线
2、通过一个特殊点 C 时，刚体只作平动；当外力的作用线不通过该点加速运动外，整个刚体还绕它刚体的质量中心，简称时，刚体只作平动；当外力的作用线不通过该点加速运动外，整个刚体还绕它刚体的质量中心，简称质心质心5.1 质心运动定理转动，刚体的这一特殊点称为时，则除了该点沿力的方向作转动，刚体的这一特殊点称为时，则除了该点沿力的方向作FrFrcc1m2mcc质心质心质心质心 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理1.定义定义:质点系中各质点间质点系中各质点间 的距离始终不变的距离始终不变刚体力学基础基础2. 刚性双原子分子质心位置的计算实验指出，刚性双原子分子质心位置的计算实验指出，C 位于
3、位于m1和和m2的连杆上，的连杆上，C 具有力矩平衡点的性质，在具有力矩平衡点的性质，在 rt 中中2122112122112122122211,( ( )()(mmymymymmxmxmxrtxxxx yyyyxxgmxxgmcccccc+=+=相似）两个力矩平衡）1mxyo cx1x2xcy1y2mc2y质心质心质心质心 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理5.1 质心运动定理刚体力学基础基础3. 计算公式计算公式11d ci icVirm rrr mMM=rrrr分立；连续例例1: 一细杆弯成半圆环，其半径为一细杆弯成半圆环，其半径为R，求质心位置。，求质心位置。000,dd
4、dsin1d12sindsin dccxmlRyyRyy mM RRRRR =解：几何对称性设细杆质量线密度为取其轴坐标为xyodmd质心质心质心质心 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理5.1 质心运动定理刚体力学基础基础5.1.2 质心运动定理质心运动定理FFaMpvMpvmvMrmrMrmrMiiciiciiiiiciiiciiicrrrdd=+=+cIrmxymIrmxym()1 1dmoz o z质心在O系的坐标2222 111;rxyrxy=+=+垂直距离的5.3 转动定律刚体力学基础基础4.正交轴定理适用于薄板、平面一类刚体4.正交轴定理适用于薄板、平面一类刚体zxy
5、III=+例例7 求一质量为求一质量为 m，半径为，半径为 R 的圆盘对其直径的转动惯量。的圆盘对其直径的转动惯量。解:()22222dddd=+=+=+ zyxIrmxymxmymII例例6 利用平行轴定理解例利用平行轴定理解例3.3(b)22 22( )1223cmllmlIImlm=+=+=解：解：yddmx roz222211dd,224=Qz zxyIIrmrrdrmRIImR力矩力矩力矩力矩 转动定律转动定律转动定律转动定律转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量5.3 转动定律刚体力学基础基础1.引入力的作用必须有垂直于轴的分量1.引入力的作用必须有垂直于轴的分量;2.定义力的大小与力臂
6、的乘积FrMrrr= sinrFFdM=3.变力对某一转轴的力矩变力对某一转轴的力矩FrFr rrMro Pd力的作用线必须与轴有一定的距离力的作用线必须与轴有一定的距离改变刚体的转动状态5.3.2 力矩力矩力矩力矩力矩 转动定律转动定律转动定律转动定律转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量5.3 转动定律刚体力学基础基础求环受到的摩擦力对转轴Oz 的力矩。方向转动,环与平面间的摩擦系数为，例8 质量为 m，半径为 R 的细圆环在水平面上绕中心竖直轴Oz 沿逆时针 解：vrofrxdmz()dddmlRfv=rr沿环分布，与 反向 沿切向2220ddddddddzzzdfg mg RMR fg Rm
7、MMg RmgR =Q各所受的同向对整个圆环顺时针力矩力矩力矩力矩 转动定律转动定律转动定律转动定律转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量5.3 转动定律刚体力学基础基础( ).iiiibmrFfrr， ， ；( ).aMrr， ， ；(1).假设条件( ). iiicFfmrr，都在iFrirroimz iiifr(2).应用牛顿第二定律应用牛顿第二定律112 112sinsinsinsin . ( )iiiiiiiiiiiii ii iiiii i iFfmaFfmarFr fmrarFrfmrr+=+=+=+ =rrrrrrrr切向式矢量式式中5.3.3 转动定律, ,iiiiiiF rf r
8、=rrrr所在平面内力矩力矩力矩力矩 转动定律转动定律转动定律转动定律转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量1.推导5.3 转动定律刚体力学基础基础0iiM=uu r内2iii i iiiMMmr+=uu ruu rr 外内(3).求和求和iiMI=rr外21fr2rrzo1rrd2m1m12fr121122212112122112sinsin;0rrdMrfrf MrfrfMM= = +=rr力矩力矩力矩力矩 转动定律转动定律转动定律转动定律转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量的证明：1221,ffrr 的作用线重和5.3 转动定律刚体力学基础基础列方程求解；( )4 .取逆2.解题思路(1)基本问题
9、：, , ( )IMrr或、等(2)解题思路例9 在竖直平面内,飞轮绕轴逆时针转动,已知飞轮对转轴的转动惯量为 I，初角速度为，经 t 秒后停转，求轮子所受Mf解：0描写状态特点；确定研究对象；隔体受力分析；( )00 05 .ffIMItMItt=+= ro力矩力矩力矩力矩 转动定律转动定律转动定律转动定律转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量规定转动正向；( )( )2 ., ;3 .;ffMr恒定(1)飞轮时针方向为转动正向5.3 转动定律刚体力学基础基础( )()22 2213 .22mRgthaRhatIh=( )1 .mgTma=3.综合问题(系统=平动+转动)例例10 测量刚体转动惯量
10、的悬挂法实验装置如图，令 m 从静止开始下落, 此时m 作初速度的匀加速直线运动,飞轮R作的匀角加速度定轴转动，测得 m下落高为 h 时所用的时间为 t , 求飞轮绕00=00=分别确定对象分别应用定律 利用角线量关系解：中心轴的转动惯量 I .RargMrth,gmr1TrNr2Tr力矩力矩力矩力矩 转动定律转动定律转动定律转动定律转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量( )2 .RTI=5.3 转动定律刚体力学基础基础5.4.1 冲量矩与角动量1.定义：作用于定轴转动的物体的力矩与作用时间的乘积；2.计算公式描写力矩对时间积累作用的物理量21( )dttMttr冲量矩与角动量冲量矩与角动量角动量
11、定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律 解题方法解题方法3.冲量矩的效果物体转动状态变化的一种量度物体转动状态变化的一种量度5.4 角动量角动量定理5.4 角动量角动量定理刚体力学基础基础tm4.角动量角动量描写转动状态的物理量描写转动状态的物理量LI=rr例11 有一质点在水平面内绕竖直轴1212ttrr，解：22211121d( )ddd()dttttM t tItIIt=rrrrrrrr2rr1vmro2vmr1rr上例结果可表示为：上例结果可表示为：2121( )dttM ttLLL= rrrr冲量矩与角动量冲量矩与角动量角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律 解题方法解
12、题方法求质点在内所受的冲量矩I作园周运动,己知转动惯量为,当5.4 角动量角动量定理刚体力学基础基础5.4 角动量角动量定理例12 考虑一质量为的质点以不变速度作匀速直线运动。点与运动直线距离为,如图所示。求质点 相对于点的角动量.xvrm O Om0rrO000sinkk,sinkkrprpxmvrprpxmv = =rrrr rrr r即为恒量,方向垂直于平面向上。m解：研究对象研究对象m,水平面上作水平面上作匀速直线运动,则水平面上不受外力.选择点与运动直线构成的平面,在此平面内运动,设初态位矢为末态位矢为,初末两态对点的角动量分别为角动量分别为rrO0LLxmv=Omvrxrr0rr
13、?刚体力学基础基础5.4.2 角动量定理5.4.2 角动量定理1.单质点的角动量定理21( )d, ddttM ttLLILMt= =rrrrrr式中微分形式2()LImrkr mv krpkrp=rrrr rrr冲量矩与角动量冲量矩与角动量角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律 解题方法解题方法质点角动量的线量表示dprrrdprrror5.4 角动量角动量定理刚体力学基础基础2.质点组的角动量定理例13矩内所受内外力矩的冲量在试求双质点后转动经定轴的作用下绕分别在组构成质点己知双质点矩内所受内外力矩的冲量在试求双质点后转动经定轴的作用下绕分别在组构成质点己知双质点ttttozMM
14、MMmm=.,222112111221122121rrrrrrrr()()21211112122212ddttttmMMtLmMMtL+= += rrrrrr：解：21fr2rrzo1rr2m1m12fr1Fr()2112211212dttMMMMtLLL+= += rrrrrrr:21mm+冲量矩与角动量冲量矩与角动量角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律 解题方法解题方法5.4 角动量角动量定理2Fr刚体力学基础基础3.刚体的角动量定理iiirmL rr2= 式中式中21d, = =rrrrttMtLLI外式中12 1122 2212iiiiiirmLrmLLLLrrrrrrr=
15、, 式中式中:点组，推论对于多个质点构成的质点组，推论对于多个质点构成的质21dttMtL= rr外02112=+MMrrQ()2112dttMMtL+= rrr冲量矩与角动量冲量矩与角动量角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律 解题方法解题方法为常量I5.4 角动量角动量定理刚体力学基础基础5.4.3 角动量守恒定律1.角动量守恒定律角动量守恒定律21II=rr恒矢量0=Lr守恒定律守恒定律恒矢量对于质点组恒矢量对于质点组=12 122 2iiiiiirmrmrrijiiMMtMrrr=或）（守恒条件0 冲量矩与角动量冲量矩与角动量角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律 解题方法解题方法对于刚体5.4 角动量角动量定理刚体力学基础基础当时,定轴刚体: 一定,当I=r恒矢量，Ir定轴非刚体（考虑物体上各质点的的角量相同，定轴非刚体（考虑物体
