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1、1浅议常量与变量的大小比较马乾凯、雷添淇（沈阳市数学会，辽宁马乾凯、雷添淇（沈阳市数学会，辽宁 沈阳沈阳 110044110044）常量与变量的大小比较问题之所以能成为每年高考的必考题目，究其原因，主要是鉴 于学生 12 年数学学习，对量的大小识别是最学生应具备的基本数学素养之一。因此，如何 深挖此类问题的本原结构，总结出解决此类问题一般的方法，对高三备考来说，至关重要。 本文将以几道典型试题为例，对常量与变量的大小比较归结出几种方法。 在高中数学必修 5 不等式一章中，我们学习了比较大小的最基本方法做差比较法. 当比较的两数同号时，有时我们也可以用坐商比较法。以上两种方法是我们确定数量大小
2、关系的最基本的方法。但这两种方法均具有局限性，对于变量而言，只有形式相似即可以 在作差时提取公因式或进行相除运算时可约分者方可采用这两种方法进行判断；或形式相 同(变量相同)可以先进行作差整理成函数，而后利用函数的单调性，进而进行判断。而对 于形式相似的常量，则可直接采用此法。一一 常量的大小比较常量的大小比较例例 1 试用比较法说明 1 与 2 的大小关系。. 1 210,12 Q或1，2 同正且，Q11 21212 评析：对于形式相同的常量，可以进行减法运算或除法运算的，可以用作差法与作商 法进行比较。例例 2 试比较 1.72.5 与 1.73的大小。法一：。2.531.71.7法二：1
3、.72.5与 1.73的形式相同，为同底数指数形式，因此可以借助指数函数单调性考虑。因为指数函数1.7xy 在 R 上是增函数，且 2.53，所以，2.531.71.7评析：形式相同，当不可直接进行做差比较法时，可以考虑借助某个单调函数，利用该函数的单调性来解决问题。但如果形式不同，以致不可以进行运算，又当如何处理呢？2例例 3 3 （20102010 全国卷全国卷 I I）设则（ ）1 2 3log 2,ln2,5abcA B. C. D. abcbcacabcba首先，我们考虑把待比较的数变形，划归为形式相同我们可以比较的形式.因为、为同类的常量，因此可变形为相同形式，即， ab3ln2l
4、og 2ln3a 。ln2ln2ln21lnbe，Qln2ln20ln3ln0e，即ln2ln2 ln3lneab但与、类型不同，无法划归为形式形同可以比较的形式，此时该如可处理呢？cab 先看如下例题：例例 4 已知，则、的大小关系是（ ）2log 3a 0.78b16sin5cabcA B. C. D. abcacbbaccba 此题中、虽都是常量，但没有一个可以在事先不利用计算设备情况下，将常abc 量的精确值或近似值人工的计算出来，并且也无法划归为相同形式进行比较。 此时，作差 法与作商法均已失去效能，那问题又应如何处理？ 物理学科中有这样两个名词“参照系”与“参照物” 。其定义为：由
5、于一切物体都在 运动，在研究一个物体的运动时，首先要确定物体的运动是相对哪一个物体来说的， 被 选来作为参考标准的物体或物体系 ，叫做参照物或参照系。这给了我们一定的启迪.。如果我们找到某个“参照物” ，该“参照物”就可以与题目中、进行大小比较，那么abc 我们就可以将其作为“媒界”利用不等关系的传递性，便可判断出、之间的大小abc 关系。或者找到数学中的某个“参照系” ，把题目中的三个常量安置其中，根据每个“参照系”在数轴的具体位置，即可判断出、相应的大小关系. abc 在数学中，常量的“参照物” 、 “参照系”是什么呢？其实，在比较大小最基本的方法 作差比较法和作商比较法已经给我们提供了两
6、个“参照物”. 作差与“0”比较大小； 作商与“1”比较大小. 因此， “0”与“1”自然成为我们首先考虑的“参照物”或“媒界 点”. ，即；，即；22log 3log 21a Q1a 0.700881b01b，即.15sinsin065c 0c ，即.01cba cba 故选 D.而对应的参照系应是参照物所在系统，即数轴。因此，对于此类常量无法事先得知其 精确值或近似值，又无法化归为相同形式进行比较的问题时，可以用一个区间估计其大小 （区间越小则估计越精确）. 但这个区间必须得是一个，即每个变量的估计区间彼此无交 集。这时，就可以在数轴上标出各个量的大概位置，即将所有常量纳入到该“有效参照系
7、” （数轴）内，根据各“有效参照系”在数轴上的位置，即可判断出常量间的大小关系。3前面利用“0”和“1”作为“参照物”解决问题的实质是用、(,0)(0,1)这三个区间来估计、的范围，然后在数轴上表示出来，即判断出、(1,)abcab的大小关系. c 现在，接着来思考例例 3.首先考虑的自然应是把简化：c1 2155c再来思考找到两个区间来分别估计、和的范围，如果两个区间无交集，那么便abc 可以通过数轴来判断出其大小关系.，Qln2ln21 ln3ln42a ln2ln21lnln2be112ab又Q111 542c ，即112cabcab至此，例 3 求解完毕，选 C. 评析：当待比较大小的
8、量的形式不同，首先考虑是否可以划归为形式相同的量进而用 法（一） 、法（二）来解决问题。当无法划归为形式相同的量时，可考虑用区间估计法来解 决问题。优点：此法可解决所有的常量比较大小的问题；局限：如何合理的找到相应的区 间来估计各个常量成为关键。前面是对常量的大小比较的基本方法总结。下面来看变量间的大小比较。二二 变量间的大小比较：变量间的大小比较：变量与变量比较有二种类型： （1）双元变量之间可以进行作差运算，然后对差式进行因式分解，变形为积的形式 或是利用均值不等式以及简单线性规划等手段.根据条件，判断各因子的正负，进而判 断差后整体的正负（与“0”比较大小） ，从而到变量间的大小关系.
9、此外，对于四个 选项均是确定的大小关系的选择题，用赋值法求解也不失为一种方法. （2）在单元变量间的大小比较问题中，较为简单的可直接利用函数单调性或某类函 数的图象进行比较；较为复杂的问题如可等价的转化为两基本初等函数解析式的大小 比较问题，可利用图像法直接画出草图，进而判定。上述方法失效时，则可先进行作 差运算，再将差后结果整理成一函数，进而利用导数法确定函数的单调性及零点（画 出草图） ，从而问题得以解决。例例 5 已知已知，试比较与的大小.0a 0b ab baab两变量为同类型可以进行运算，因此利用做差法即可.4()()ababba通分，原式 a ab ba bb a ab0,0abQ
10、分解因式、整理，得，原式= ()()aabbab ab= 2()()abab ab0故ab baab评析：对于形式相同的变量，可以进行减法运算或除法运算的，可以用作差法与作商 法进行比较。例例 6 （20082008 江西卷江西卷）若，则下列代数121212120,01aabbaabb, 且式中值最大的是（ ）A B C D 1 122aba b121 2a abb1 22 1aba b1 2本题只要根据条件分别赋给、满足条件的值，然后分别计算出选项中1a2a1b2b四个变量此时对应的值，从而使变量问题常量化，那么得到的最大（小）常量其对应的变 量便为最大（小）变量，这也是特殊代替一般的数学思
11、想，淘汰法的应用. 且Q,12120,0aabb12121aabb令=，=，1a1b1 32a2b2 3因此，；.1 1225 9aba b121 24 9a abb1 22 14 9aba b=Q4 94 91 25 9最大1 122aba b故选 A. 评析：在高考中比较大小的问题往往以选择题的形式出现，因此，需灵活运用数学的 解题思想。特殊与一般的数学思想是高考重点考查的一种数学思想。当四个选择支都是唯 一确定的时候，可以考虑使用特殊带一般，淘汰法来进行求解。这同时也是对简易逻辑中5充分、必要条件的理解与应用。练习：练习：若，则下列不等式中总成立的是（ ）0abA B C D 1 1bb
12、 aa11abab11abba2 2aba abb例例 7 已知，01a，则（ ）log2log3aax 1log 52ay log21log3aaz A. B. C. D.xyzzyxyxzzxy解析：解析：由题意可知，log6ax log5ay log7az ，故选.Q01ayxzC评析：当变量的形式相同时，且为某个单调函数模型时，可直接利用函数单调性来解决问题。练习：练习：设偶函数在上单调递增，则与( )logaf xxb(0,)(2)f b的大小关系（ ）(1)f a A. B.(2)(1)f bf a(2)(1)f bf aC. D.不能确定 (2)(1)f bf a例例 8 ，试比
13、较与的大小。(0,)x 2x3x方法一（图像法）方法一（图像法）：利用指数函数图象，在同一直角坐标系下画出函数与2xy 的图象如图，3xy 方法二（作商比较法）：方法二（作商比较法）： ，.22(0,),( )133x x xx Q23xx方法三（函数法）：方法三（函数法）：利用幂函数的性质，当时，在第一象限内为增yx0yx函数，故.23xx6引申思考：引申思考：，试比较与的大小。(,0)x 2x3x此时法一、法二均可解决此题，而法三从表面上看，却显现出一定的局限性。法三是否 真的完全失效了呢？答案当然是否定的。设，则，由例 8 的结论可得，故。(,0)x (0,)x 23xx32xx例例 9
14、 已知已知分别为方程的根，则试比较123,x x x3ln,lg,log(0)xaxaxa a的大小。123,x x x在同一坐标系下画出的图象。3ln ,lg ,logyx yx yx故。231xxx评析：当变量的形式相同时，且为某类函数模型时，可利用该类函数图象来解决问题。练习：练习：已知实数满足，则下列关系式中可能成立的有（ ）, a b01ba； ； 123ab223loglogab323ab个 个 个 个.0A.1B.2C.3D例例 1010 （2009 宁夏宁夏/海南卷）海南卷）用表示三个数的最小者，min , , a b c, ,a b c，则的最大值为（ ）( )min2 ,2
15、,10(0)xf xxxx( )f x.7A.6B.5C.4D分析：对于，三者中存在不同类的函数，因此进行大小比较只能借助2x2x 10x于函数图象，利用数形结合的数学思想，从而求解，如图：7其中直线为还是尤为值得关注. 易知两直线的交点为，而对于函数10yx1l2l(4,6)来讲，当时，故为.2xy 4x 16y 10yx2l因此易知如图所示：( )f x故，选 B.max( )(4)6f xf评析：当变量的形式不相同时，但均为简单的基本初等函数模型时，可利用函数草图来解 决问题。练习：练习：设不等式组表示的平面区域为 D.若指数函数的图象上存在110, 330, 5390xy xy xy
