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1、小学数学奥数基础教程小学数学奥数基础教程(四年级四年级)本教程共 30 讲加法原理（一）加法原理（一）例例 1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天 中火车有 4 班，汽车有 3 班，轮船有 2 班。问：一天中乘坐这些交通工 具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？分析与解：分析与解：一天中乘坐火车有 4 种走法，乘坐汽车有 3 种走法，乘坐轮 船有 2 种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：432=9（种）不同走 法。例例 2 旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各 一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？分析与解：分析与解：根据挂信号
2、旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一 面信号旗，有红、黄、蓝 3 种；第二类是挂两面信号旗，有红黄、红蓝、 黄蓝、黄红、蓝红、蓝黄 6 种。所以一共可以表示出不同的信号36=9（种）。以上两例利用的数学思想就是加法原理。加法原理：如果完成一件任务有加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有类方法，在第一类方法中有 m1 1种不同种不同 方法，在第二类方法中有方法，在第二类方法中有 m2 2种不同方法种不同方法 在第在第 n 类方法中有类方法中有 mn n种种 不同方法，那么完成这件任务共有不同方法，那么完成这件任务共有N=m1+m2+mn种不同的方法。种不同的方法。乘法原
3、理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定 要注意它们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可， 所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成 一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以 完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。例例 3 两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？分析与解：分析与解：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或 者两数都是偶数。因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有 33=9（种）情况； 同理，两数都是偶数的也有 9 种情况。根据加法原理，两次出现的数字 之和为偶数的情况有 9
4、918（种）。例例 4 用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的 区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？分析与解：分析与解：本题与上一讲的例 4 表面上十分相似，但解法上却不相同。 因为上一讲例 4 中，区域 A 与其它区域都相邻，所以区域 A 与其它区域 的颜色都不相同。本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻，如果从 区域 A 开始讨论，那么就要分区域 A 与区域 E 的颜色相同与不同两种情 况。当区域 A 与区域 E 颜色相同时，A 有 5 种颜色可选；B 有 4 种颜色 可选；C 有 3 种颜色可选；D 也有 3 种颜色可选。根据乘法原理，此时 不同的染色方法
5、有5433180（种）。当区域 A 与区域 E 颜色不同时，A 有 5 种颜色可选；E 有 4 种颜色 可选；B 有 3 种颜色可选；C 有 2 种颜色可选；D 有 2 种颜色可选。根 据乘法原理，此时不同的染色方法有54322240（种）。再根据加法原理，不同的染色方法共有180240=420（种）。例例 5 用 1，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续 三位是 1 的五位数有多少个？分析与解：分析与解：将至少有连续三位数是 1 的五位数分成三类：连续五位是 1、恰有连续四位是 1、恰有连续三位是 1。连续五位是 1，只有 11111 一种；中任一个，所以有 336（种
6、）；34433333（种）。由加法原理，这样的五位数共有163340（种）。在例 5 中，我们先将这种五位数分为三类，以后在某些类中又分了 若干种情况，其中使用的都是加法原理。例例 6 右图中每个小方格的边长都是 1。一只小虫从直线 AB 上的 O 点出 发，沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到 AB 上（不一定回到 O 点）。如果小虫爬行的总长是 3，那么小虫有多少条 不同的爬行路线？分析与解：分析与解：如果小虫爬行的总长是 2，那么小虫从 AB 上出发，回到 AB 上，其不同路线有 6 条（见左下图）；小虫从与 AB 相邻的直线上出发， 回到 AB 上，其不同路线有 4
7、条（见右下图）。实际上，小虫爬行的总长是 3。小虫爬行的第一步有四种情况：向左，此时小虫还在 AB 上，由上面的分析，后两步有 6 条路线；同理，向右也有 6 条路线；向上，此时小虫在与 AB 相邻的直线上，由上面的分析，后两步有 4 条路线；同理，向下也有 4 条路线。根据加法原理，共有不同的爬行路线664420（条）练习练习 20201.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有 20 班火车、6 班飞机、8 班汽车和 4 班轮船，那么共有多少种不同的走 法？2.光明小学四、五、六年级共订 300 份报纸，每个年级至少订 99 份 报纸。问：共有多少种不同的订法？3.将 10
8、 颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？5.用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻 的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？6.用 1，2，3 这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至 少有连续两位是 2 的有多少个？7.下图中每个小方格的边长都是 1。有一只小虫从 O 点出发，沿图 中格线爬行，如果它爬行的总长度是 3，那么它最终停在直线 AB 上的不 同爬行路线有多少条？答案与提示练习练习1.38 种。2.10 种。提示：没有年级订 99 份时，只有三个年级各订 100 份一种订法；只 有一个年级
9、订 99 份时，另外两个年级分别订 100 份和 101 份，有 6 种订 法；有两个年级订 99 份时，另外一个年级订 102 份，有 3 种订法。3.8 种。4.45 个。提示：两个数码都是奇数的有 55（个），两个数码都是 偶数的有 45（个）。5.420 种。解：如右图所示，按 A，B，C，D，E 顺序染色。若 B，D 颜色相同， 则有54313=180（种）；若 B，D 颜色不同，则有54322=240（种）。共有不同的染色方法 180+240=420（种）。6.21 个。提示：与例 5 类似，连续四位都是 2 的只有 1 种，恰有连续三位是 2 的有 4 种，恰有连续两位是 2 的有 16 种。7.10 条。提示：第一步向下有 5 条，第一步向上有 1 条，第一步向左或向右 各有 2 条。
