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1、蒙特卡罗方法概述 8.2 引例：蒲丰投针问题在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用概率模型进行描述由于这类模型 含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难有的模型难以作定量分析， 得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用在这种情况下， 可以考虑采用 Monte Carlo 方法。下面通过例子简单介绍 Monte Carlo 方法的基本思想 Monte Carlo 方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城摩纳哥的 蒙特卡洛，其历史起源于 1777 年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周的方法随机 投针法，即著名的蒲丰投针问题。这一方法的步骤是：
2、 1)1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为 d 的平行线，见图 8.1(1)2)2) 取一根长度为)(dll的针，随机地向画有平行直线的纸上掷 n 次，观察针与 直线相交的次数，记为 m3）计算针与直线相交的概率 由分析知针与平行线相交的充要条件是sin21x其中0 ,20dx建立直角坐标系),(x,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，见图 8l（2） 由几何概率知(*)22sin210 dl ddGgp的面积的面积4）经统计实验估计出概率,nmP 由(*)式即?2dl nmMonte Carlo 方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型 的参数或其他有
3、关的特征量然后通过模拟一统计试验，即多次随机抽样试验（确定 m 和 n） ，统计出某事件发生的百分比只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概 率这实际上就是概率的统计定义利用建立的概率模型，求出要估计的参数蒙特卡洛 方法属于试验数学的一个分支 * 提示提示：设 x 是一个随机变量，它服从区间，d/2是的均匀分布，同理，是一个随机变量，它服从区间, 0上的均匀分布。按照某种抽样法，产生随机变量的可能取值，例如进行 n 次抽样，得到样本值nixii, 2 , 1),(L，统计出满足不等式iidxsin2的次数 m(mn),从而可以计算出 p 的估计值nmp/ *使用 MATLAB 语言编程实
4、现(simu4.m) l=1d=2；m=0；for kl：nxunifmd（0，d2） ；punifmd（0，pi） ；if )sin(15 . 0yxm=m1elscendendp=m/npi_m=1/p 运行，取 n=1000,simu4 回车，即得结果 * 想：想：1）在上述的程序中任意调整 n 的取值，会发现什么规律？ 2）参数 l，d 的不同选择，会导致什么结果？ *蒙特卡洛方法适用范围很广泛，它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以 及科学研究中的理论问题例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算定积分，即产生数值积 分问题任意曲边梯形面积的近似计算任意曲边梯形面积的近似计算 一个古
5、老的问题：用一堆石头测量一个水塘的面积应该怎样做呢？测量方法如下： 假定水塘位于一块面积已知的矩形农田之中如图 82 所示随机地向这块农田扔石头使 得它们都落在农田内被扔到农田中的石头可能溅上了水，也可能没有溅上水，估计被 “溅上水的”石头量占总的石头量的百分比试想如何利用这估计的百分比去近似计算该 水塘面积？结合图 82 中的图形(1)分析，只要已知各种参数及函数（a，b，H，f(x)） ，有以下两种 方法可近似计算水塘面积 1随机投点法1）赋初值：试验次数 n=0，成功次数 m=0；规定投点试验的总次数 N；2）随机选择 m 个数对,1 ,miyxii，其中Hybxaii0 ,，置 nnl；3）判断Nn ，若是，转 4，否则停止计算；4）判断条件)(iixfy (表示一块溅水的石头)是否成立，若成立则置 m=m+1，转2，否则转 2；5）计算水塘面积的近似值NmabHS/)( 2平均值估计法1）产生a,b区间的均匀随机数;, 2 , 1,NixiL2) 计算;, 2 , 1),(NixfiL3）计算 NiixfNabS1)()(。该方法的特点是估计函数 f(x)在a,b上的平均值，面积近似等于该平均值乘以(b-a) * 做做：用 MATLAB 软件编制程序实现，并对以上两种方法进行比较
