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1、华中师范大学硕士学位论文加权P-harmonic方程解的整体分支结构姓名：胡松申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：邓引斌20060501项士学位论文 M A S T E R l ST H E S I S中文摘要本文研究了加权p 一 口r 聊n 耙算子。u = 。( 1 。u r 2 。u )在N 枷e r 边值条件( 即u = “= o ，霉a n ) 下的整体分支现象上式中记埘t = d t k ( V 埘u ) ，乳u = ( 老“ 柏，是”轴，老o ( 。) ) 对于任意的附。( n ，”) n 2 一( o ) ，定义上”( 1 ”训”2 u u ) u 如2 上I ”u l ”
2、2 ”“ 如，其中”( z ) = 挑( z ) ) 为向量值函数，嚼一( Q ，”) 表示加权索伯列夫空间( 具体定义将在第二节给出) 假设n 为舻中的有界区域，其边界勰是光滑的任取p ( 1 ，) ，考虑如下非线性特征值问题I 。( I ”u I 一2 “ 札) = l u l 9 2 札，Q ，( 1 1 )lt 工= = o ，z a n 本文证明了( I 1 ) 存在着一个最小的、正的特征值 - = A l ( p ) ，且 。( p ) 是单重的、孤立的更进一步，我们证明了( 1 1 ) 相对应于特征值A 。( p ) 的特征函 数u - = u ( p ) 严格正且满足等 l ，
3、函数g = g ( 。，A ，s ) 表示( 1 2 ) 的高阶项，且满足适当的增长性条件即对任意给定的有界区间JcR ，存在一指数口( 鼽矿) ，使得对任意的s o ，总存在一个常数G o ，使得1 9 ( z ，A ，s ) I l s | 9 - 1 + G “ _ 1对几乎处处的。Q 且对所有的A J 及s 冗都成立其中小l 盎2 p I【o o ，n 2 p 则问题( 1 2 ) 的所有非平凡解构成的解空间的闭包r 中包含着一个极大子闭联集T ，且( A l ( p ) ，o ) T ，满足( ) 闭联集T 在R 咏一( Q ，t l ，) n “，2 ，P ( n ) 中无界，或者
4、( t ) 存在( E k ) ，的另一个特征值A 。，且A 。( p ) A 。( p ) ，使得( k ( p ) ，o ) T 本文结构如下：第一节为引言；第二节我们将给出加权索伯列夫空闻的一些性质；第三节我们将给出一些辅助性结果；第四节我们将利用 1 2 】中的定理1 和定理2 来证明本文的定理1 1 ；第五节我们将利用L e r 叫一s 曲d e r度理论以及【1o 】中的标准分支定理来给出定理1 2 的证明在本文中，我们约定“ c c B ”表示A 紧嵌入到B ；“A B ”表示A 强收敛到B ；“A B ”表示A 弱收敛到B 3_ 顼士学位论文 M A S T E R ST H
5、E S I S第二节加权索伯列夫空间设n 为舻m 1 ) 中的有界开集，l o ，胍 O 为固定常数，t = o ，l ，n 对于n 上满足m d 0 ) M( 2 2 )( 其中m ，盯 o 为固定常数) 的严格正的函数。扛) ，按如下方式定义带有权函数n ( 功的加权空间驴( n ，n ) 三 u = u ( z ) ：“。；护( n ) ) 在此空间中定义范数p ( n 砷；( 上) M 功哟5 进一步定义1 ( Q ，“ ) E = “( z ) ：“胪( q 蛳) ，嚣驴( n ，毗) ， = l ，2 ，一，n ) 在此空间中定义范数肛叫n ；( 上姒训9 ( 功如+ 耋上 差f
6、9 毗( z ) 如) ；( 2 3 )为了处理齐次D i “c h i e t 边值问题，我们要利用空间x i 埘。( Q ，”) 此空间为c 护( n ) 在范数( 2 3 ) 下的闭包( x ，| f f | 喇，( n ，) ) 为自反B a n a c h 空间 耐4 ( n ，叫) 的对偶空间为w p ( Q ，“ + ) ，其中旷= 畔= 越一，。) ，忙o ，1 ，珥p 2 与- 关于此空间的更多细节问题，可参考文【2 】4硕士学位论文M A S T E R S T H E S J S最后我们考虑空间y 点嘣，( Q ，”) n 却( n ) ，在其中定义范数删y ；( 加咖和
7、胁耋上I 静州蚺五吣附o ；引理2 1 ( 加权索伯列夫空间中的嵌入定理) 若u ”( n ) ( 或n 1 p ( Q ，”) ) ，其中女2 ，则( ) 当 兰时，u 伊，- ( Q ) ，其中当一兰不是整数时，m 与A 分别是一；的整数部分与小数部分；当= ；+ m + 1 ( m o ) 为整数时，A ( o ，1 ) 是任意的引理2 2 ( 加权索伯列夫空间中的紧嵌入定理) 假设lsp 1 令，= 南，我们很容易得到z = ( s ) 的充要条件为s2 妇( z ) 于是特征值问题( 1 1 ) 可等价为如下问题j w 佴( “ u = A 1 u z Q ( 3 1 )【牡= t
8、l = o ，a n 我们首先来考虑以下D i r i 出e t 边值问题f 一。= ，)。n ，( 3 2 )lu = o ，z 鲫我们利用【4 】中的方法可以类似得到( 3 2 ) 在空闻p ( n ，n ) 中存在唯一解，其中p ( 1 ，o 。) 记A ，= “，则A = ( 一。) 一1 且 ：护( n ，a ) 一嚼4 ( Q ，叫) n 轴( Q ) ，类似于【9 】中的引理2 1 ，我f f 可以得到以下引理引理3 1 ( i ) I I 川岍，G I p ( o ，其中q o 为一常数，p ( 1 ，o 。)且，护( n ，) ；( f i ) 怯，| | 一， f I ，f
9、 f 舭，其中I o 为一常数，1 ，女，p ( 1 ，o o ) 且，- 矿p ( n ) ；6( 讯) 对任意的u p ( Q ，n ) ，”( n ，。) ，有上”A u 如= 上u A ”如其中p ( 1 ，o 。) ，n + 一，p ，= 寺；( f “ ) 给定，L * ( Q ，n ) ，对任意的Q ( o ，1 ) ，我们有A ，t 。( 矗)更进一步，淞川。t ，。S 瓯I L 叫n 。) ，其中瓯 o 为一常数；( ”) 假设，G ( n ) ，o ，对任意的n ( o ，1 ) ，我们有u = A ，a ( 吼满足u o ，z n 且豢 2 时，问题( 1 1 ) 中特征
10、值与特征函数具有哪些性质8引理3 4 设A 1A l ，o ) 且p l ，则日1 ，a ，p 分别为实数，满足A l o ，B l o ，a2m n z B - 一J A l + c jJ 9 + J B l a r 2 A + B p注：证明见文【9 】中的引理2 5( 3 7 )顾士学住论文M A S T E R ST H E S l S第四节特征值问题首先我们定义泛函露，露：扩( n ，o ) 一R 如下：露( ”) = ：上川如，鬈( ”) = ：上I A ”l 很容易验证泛函露，后均为凸泛函且F r g c 鲥可微F r 曲e t 可微的凸泛函，其次微分与其F r d 曲e t 导
11、数相等( 3 ，3 ) 等价为如下形式硝( v ) = A a 鬈( 口) 我们知道每一个由此我们可以将( 4 1 )上式中等式两边同属于空间( n ，矿) ，其中a 露是泛函的次微分O = l ，2 ) ， 一= 寺，n + “接下来我们将利用【1 2 】中的定理l 和定理2 来证明我们的定理1 1 首先我们验证【1 2 】中的条件( 山) ，( ) ，( A 。) 一( e ) 在【1 2 】中，取A = a 露，B = 卵，y = p ( n ，n ) ，我们很容易验证条件( A 1 ) 一( A 3 ) ，( A 5 ) 一( A e ) ，( A t ) ( ) 均被满足，下面我们来
12、验证条件( 以。) ( i t ) 我们需要证明：对于任意的n ，w 护( n ，n ) 且对于任意的u o ，”o ，“z n都有后( m 扣，训) ) + 后( m i n 札，训) ) 后( u ) + 后( 训)( 4 2 )成立我们知道m o 。 t ，t l ，) = t + 一u ) + ，m n 扣，“ ) = t t ，一似一+ ，又因为“ 一u 似一“) + ，故由引理3 1 ( 讥) 可知A ( t J t ) + A ( t 上I u ) = A 叫一A t 再利用引理3 4 ，取A l = A “，B 1 = A “ ，q = A 一t ) + ，可得上I A “+
13、A 一“) + P 如+ 上I A ”一A 一“) + l 如五I A “I 如+ 上l A 训，如( 4 3 )故由( 4 3 ) 知条件( 月4 ) ( “) 成立1 0硕士学位论文M A S T E R S T H E S J S最后我们验证【1 2 l 中的条件( 凡) 和( A o ) 7 首先我们给出下面几个引理引理4 1 看“ 护( n ，d ) 是( 3 3 ) 的一个解，则“ G ( 吼证明：首先我们来证明这样一个结论：假设”加( n ，n ) ，则( f ) “泸( n ，吐若伽 参且p ，= 寿假设”沙( Q t 叻且珊 2 p n 可得A u p ( Q ，n ) ，如
14、( A “ ) 工盎( Q ，口) ，其中r 0 ：_ ! 墨芸紧接着由引理3 1 ( f ) 及引理2 2 可知n Z 伽A ( A u ) w 2 ，器c c 口- ( Q ，其中r t 2 瓦F 等 瓦，故我们有吩( A 略( A 口) ) 三嚣= 驴( n ，n ) 因此由( 3 4 ) 可知”p ，( Q ，o ) ，其中p 。：r 。( p 1 ) ，即三：三一堑这就证p l 协T 明了结论( 1 ) 成立假设“ 俨( Q ，n ) 且p 0 品；若舶 ；，则由引理2 1 易知“ G ( 而) 若杀 o ，使得l I I I ps e ( “) 在结论( f ) 中，若序列一舶，k
15、 h ，函数咖是( 3 3 ) 取A = A o ，p = p 0 时的解，且1 I t J 0 0 m = l ，则，魄帆一蚓b = o霉n ，则“ G 1 ( 吼且“ o ，z n ；嘉一一o o ，z 砌证阴：令= 如( u ) ，因为”扩( n ，是( 3 3 ) 的一个解且”o ，“z n ，则由引理3 1 ( ”) ，引理4 + 1 及( 3 3 ) 可知伊叩) ，。( o ，1 ) ；w o ，Q ；警 o ，z n 我们可得“ o ，z n 且由掣 o ，且( 4 1 )有正解的充要条件为A = A l ( p ) 1 2项士学位论文M A S T E R ST H E S I S由上述结论我们不难得到 。( p ) 即是问题( 目) ，的第一特征值，且u - ( p ) =A ”，( p ) 是相对应于特征值A ，( p ) 的特征函数再由引理3
