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1、- 1 -實驗實驗 4 電學耦合電學耦合目的目的:觀察整個耦合振盪器間能量轉移行為及觀察系統對正弦電壓的響應情形。原理原理: (a) 簡正模式(normal mode) 在 RLC 電路實驗中,我們可以觀察到 LC 電 路(圖 1)振盪的自然頻率和強迫振盪的共振頻率均為(請參考 RLC 電路實驗)。 。LC10如果把兩個相同的 LC 電路用一個電容器耦合起來,如圖 2 所示。當左邊的電路C振盪時,的電壓會隨著振盪而帶動右邊C 的電路,反之亦然。如此一來,能量會週期 性的在左右兩個振盪器之間轉移。以表示左邊振盪器的電量和電流,11,iq以表示右邊振盪器的電量和電流,並22,iq規定電荷極性及電流
2、方向如圖 2 所示。把 KVL 環路定理應用於左邊的環路,可以得到:02111Cqq dtdiLCq以代入上式,得到 dtdqi11) 1 (0211 212 Cqq Cq dtqdL同理,從右邊的電路可以得到: 02122Cqq dtdiLCq)2(0212 222 Cqq Cq dtqdL為了找出簡正模式解,假設,(可與實驗物理tjtjeqqeqq 202101,(II)力學耦合振盪實驗相互比較),為代入 (1)式和(2)式中,解出的兩個根為as,反 1 LC反 反反 反CLCCCLL反 3 (a)反 反反 反i1-i2-CCCLL反 3 (b)反 反反 反反i1-i2-CCCLL+-q1
3、q2i1i2q1 - q2反2 反反 反反 反反蘇炯武老師修訂 98.6.1圖 3 (a)對稱模式- 2 -LCs121211CC LCa這就是 LC 耦合電路的簡正模式, 為對稱模式的振盪頻率(圖三(a),則sa為反對稱模式的振盪頻率(圖三(b)。在無外力的情況下，這個情況相當是一 個微分方程的 homogeneous 的解，對稱式頻率相當於其解。 (b) 能量的傳遞:在一般的情況下,電量並不是以簡正的模式振盪,而是以它們的線性組合方式振盪,可以表示成 tBtAqtBtAqasas coscoscoscos21都是常數,由起始條件決定。如果 B=0 則系統作對稱模式振盪;如,BA果 A=0
4、則系統作反對稱模式振盪。假設在 t=0 時,兩個環路都沒有電流,所有的電量都儲存在左邊電容器內, 也就是說,所有的能量都存在左邊電容器內,右邊的能量為零,則由這個起始條件,可以得到三個關係式(3)、(4)與(6):左邊電流為:tBtAiaasssinsin1電流為零,即)3(0sinsinBAas同理,右邊電流為零,得到)4(0sinsinBAas由(3)、(4)式可得,)5(0sinsinBA右邊電量為零:)cos()cos(2tBtAqas即)6(coscosBA由,(5)2+(6)2可得22BA 因為電路振盪絕不會有 A=B=0 的可能性,因此由(5)式,可得。0sinsin可以令,:，
5、如此可以確認起使條件及決定參數值。BA , 0ttAtAtAqasasas2cos2cos2coscos1- 3 -ttAtAtAqasasas2sin2sin2coscos2當時，圖 4 則繪製了與隨著時間 t 的振盪情形。需要強調的是,as1q2q目前計算的條件採用了特殊的起始狀況。 。一般而言,起始條件可能是與同0)0()0(, 0)0(,2)0(1221iiqAq1q2q時不為零或為零,等等。0)0(1i當時,1CC 11 CC LCa0111 2 LCCC LCsa2ba0221CC CC LC故最後可寫成 21,qqttAqcoscos201ttAqsinsin202因為,上面的可
6、以看成以頻率在振盪,只是振幅以的021,qq0低頻率在變化。由圖 4 可以看出左右兩邊能量來 回轉移的情形。若，能量轉CC 移的頻率為的兩倍。這種頻率 差的情況，與所謂的 beat 相似。故能量轉移的週期為 2ex0022TCC CCTexex 即能量轉移的週期約為自然週期的倍。CC由於兩個 LC 電路的耦合可以看到能量轉 移的形式，波峰的大小代表能量的多寡，可 以檢查在每一個時間點上兩個電容器上的電壓和相等。 (c) 強迫耦合振盪電路:如果以正弦波去推動 LC 耦合振盪電路,如 圖 5 所示,(1)式便應改寫為CC C反 5 反 反反 反反 反反 反LL圖 4 兩個電容器上的電量對時間函數圖
7、- 4 -tVCqq dtdiLCqcos02111參考力學耦合振盪原理部分(三)強迫耦合振盪的導證過程,我們知道與會1q2q與外源相同的頻率振盪,而且振幅與1D分別為2D2)()()(22 022 0022 0 1LCLVLCD2)()(22 022 00 2LCLVD對於電路系統而言,因為沒有辦法做到電阻為零的條件(例如波形產生器 本身便有 5060內阻),因此阻抗不是純虛數與(),而是較複雜的形式,LjCj因此與也不會是單純地與驅動訊號同向或反向,這一點在與附近特1q2qsa別明顯,實驗中可以注意觀察。儀器儀器: 示波器，波形產生器(Function Generator)，DMM(三用電
8、表)，麵包板，可變電阻 1 個，1K電阻 1 個，18mH 電感 3 個，0.01F 電容(103)3 個，0.1F 電容 (104)3 個，0.005F 電容(502)3 個，小起子 1 支。步驟步驟: A.能量的轉移 1.改用方波推動圖 7 的振盪電路。觀察並記錄記錄在左右兩振盪器間的能量轉移情形,並測量能量轉移的週期exT 和振盪的週期。是否近似於。0T 0TTex CC2.將從 0.005F 改成 0.01F 或產生更小的exT ，比較其關係並記錄記錄。C3.利用數位示波器 FFT 功能，讀取和電路實驗值並記錄。sa4.將數位示波器結果以原始數據*.csv 儲存於磁片後，以 Mathe
9、matica 讀取數據並進行特性方程式擬合(fitting)，找出和實驗擬合參數值。saB.正弦電壓的響應(簡正模式): 1.以正弦波推動圖 7 的電路。記錄記錄振盪電路的頻率響應曲線,找出共振頻率 和與由 L,C 值計算所得作比較。sa圖 6 電容器上振幅與頻率的關係- 5 -2.在與地線間串聯一個 100的電阻,觀察並記錄記錄在和附近的頻率響Csa應與前一步驟做比較。 3.改用其他多組電容器值取代,重複上述步驟並記錄記錄。CCh1+-Ch2+-CCC反 7 反 反反 反反 反LL18mH18mH0.005F0.001F0.001F反 反反CLCLL+-q1q2i1i2i1 - i2反8 反
10、反 反反 反反 反反18mH18mH18mH0.01F0.01FC.其它耦合振盪電路: 1.以方波驅動圖 8 的電路,觀察並記錄記錄能量轉移的情形。 2.改用電感器作為耦合元件如圖 8 所示,如圖 7 之電路接法，以函數產生器正弦波輸入去推動電路,記錄記錄並繪出電路的頻率響應曲線,並決定與。sa問題問題: 1. 圖 8 感應耦合電路,試求其自然頻率。其振盪模式是否一為對稱模式, 一為 反對稱模式?2. 在步驟 A.中,若以觀察或附近頻率的 Lissajous 曲線,會看eyxmodSa到何種圖形?為什麼? 3. 你的兩個電容器如果 C 值不相同(或者兩個電感器 L 值不同),對實驗結果會 有何影響?試說明之。4. 圖 7 的裝置為何需要一個 100的電阻?可以選用更大的電阻,例如 1k或 10k的電阻嗎?為什麼?參考文獻參考文獻: 1. J.B. Marion: Classical Dynamics of Particles and Systems,2nd ed.,(歐亞書局, 台灣版,1985).420.418., 513ppch2. K.U.Ingard: Fundamentals of Waves and Oscillation(Cambridge University Press,1988)Chap.5,p.13p.149.3. 清華大學物理系實驗物理講義。
