《一些算子及其交换子的有界性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一些算子及其交换子的有界性（140页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、B o u n d e d n e s s o f S o m e O p e r a t o r s a n d T h e i r C o m m u t a t o r s一些算子及其交换子的有界性摘 要本文 共九章 ， 主要研究五个方面的内 容: M a r c i n k i e w i c z 积分与L i p s c h i t z 函 数 生成的高阶交换子的有界性; 多线性M a r c i n k ie w i c z 积分的有界性; 广义分数次 积分算子与B M O函数或L ip s c h i t : 函 数生成的高阶交换子的有界性; 由 广义分 数次积分算子 ， 具非光
2、滑核的奇异积分算子与B M O函 数或L i p s c h i t : 函 数生成 的T o e p li t z 型算子的有界性; 具非光滑核的奇 异积分算子及 其交换子的向 量值类 似.行文结构安排如下:第一章介绍文章的研究背景及主要结果. 第二章和第三章主要讨论当 H没有 任何光滑性或满足较弱的 光滑性条 件时 ， M a r c in k i e w i c z 积分与L i p s c h it z 函 数生 成的高 阶交换子藤 在L e b e s g u e 空间 ， 某 类H a r 勿空间 和齐次H e r z 型H a r d y 空 间的 有界性， 实现了 对已 有结果
3、的推 广.第四 章 和 第 五 章 继 续 研究多 线 性M a r c i n k i e w i c z 积 分碌及 其 变 形麟在 上 述 空间的有界性.第六章将 讨论 广义分数次 积分算 子与B M O函 数或L i p s c h it z 函 数生 成的 高 阶 交换子 在L e b e s g u e 空间的 有界 性.设L 是护( R n ) 上的 线 性 算子 . e e L 是由L生 成的 解析 半 群 ， 且 其 核P t ( x , 功 满足G a u s s i a n上界条件.设0 _ 2 ) e q u i p p e d w it h t h e n o r m
4、 a l i z e d L e b e s g u e m e a s u r e d a =d a 润) . L e t 5 2 E L ( S “ - ) b e h o m o g e n e o u s o f d e g r e e z e r o a n d s a t i s f y t h e c a n c e l a t i o n c o n d i t i o n 五 一: 52(x ) da (x ， 一 。 ，( 1 . 1 )w h e r e x =x / Ix I f o r a n y x 54 0 . T h e n t h e Ma r c i n k
5、 ie w i c z i n t e g r al o f h i g h e r i s d e fi n e d饰一 (了)(卜 ( 一 、 ，:(了)(x )!2 dt M X) _ lo I F0,xcf)(x)I2 f ) 1/2 w h e r e F n ,t (f ) (x ) 一 a f x - v l 0 s u c h t h a t p n ( f ) ( x ) 0 s u c h t h a t p n ( f ) ( x ) 1 , S 2 E ，( ，一 ， ) ， t h e i n t e g r a l m o d u l u s w . ( 8 ) o
6、 f c o n t i - n u i t y o f o r d e r q o f 5 2 i s d e fi n e d b yw s ( a ) =s u pio i1 , 。E L 9 ( S “ - ) i s h o m o g e n e o u s o f d e g r e e z e r o o n R “ a n d s a t i s fi e s t h e c a n c e l a t i o n c o n d i t i o n ( 1 . 1 ) , e x c e p t f o r t h e s p e c i a l e l u c i d a
7、 t i o n. A n d r e p r es e n t t h e s i m il a r c o n d i t i o n a s f o l l o w s :1 1 w 0( a ) (1 + I lo g 6 l)0 d 5 2 ,。1 .4o 6 、 一”一 。 一 1，- - 一，-一 ，、 “ 少C h a p t e r 1 : I n t r o d u c t i o n，砚 N伪( ii ) 11a h 9 IB Ir / s - 1 / p ; ( i ii ) 扬a ( x ) x 0 d x=0 , f o r a ll a=( a 1 , . . .
8、 , a n ) 。w i t h 0 _ 1 , 衅( R “ ) is a s u b s p a c e o f H n ( R “ ) ; w h e n m = 1 , 衅( R “ ) 一 H p ( R “ ) . L e t u s n o w f o r m u la t e o u r r e s u lt s .T h e o r e m 3 .1 S u p p o s e 0 _ m a x r , n / ( 。 一 a ) I s u c h th a t 。 。 L q ( ， 一 ) s a t isf y in g ( 1 .1 ) a n d ( 1 .5
9、 ) , th e n t en is b o u n d e d fr o m 1 1 b (H 2 0 ) t o L r ( R 0 ) .Wh e n p =1 , ( 1 . 5 ) c a n b e w e a k e n e d b y ( 1 .3 ) a n d w e c a n t a k e 0 _ n / ( 。 一 ,3 ) s u c h t h a t 。 。 L Q ( S ” 一 ) s a tisf y in g ( 1 . 1 ) a n d ( 1 .3 ) , th e n W n is b o u n d e d f ro m 玛 (R n )
10、t o L n / (n - W ) (R n ) .3 . 1 . 2 Pr o o f s o f Th e o r e m 3 . 1 a n d Th e o r e m 3 . 2B y a s t a n d a r d a r g u m e n t , i t i s s u ffi c e t o s h o w t h a t t h e r e e xi s t s a c o n s t a n t C0 s u c h t h a t f o r e a c h (p , o o , b ) a t o m 。 ， Ila n ( a ) IIL r _ r 1 ,户
11、侧，幻幻 弓d八 J口.、r几!汇 _。 :， 十;:。 (一 )!月 “ : C (2“+ l)n/IIQ I，一A n d , w e a l s o h a v e11 a I1 L 1 二 一 x 0 1 十 2 1 -!二 一 x 0 卜!， 一 二 0 1 2_1二 一 Y 1. S o , 勿 t h e c a n cel l a t i o n c o n d i t i o n o f a , w e h a v e II I.1 .1+2111 1-m 一 !f mix7 xoj+211f.n ( x 一 ， ) 2a 1 一 。 I” 一 n(b i (x )一 、 (
12、y)a(y) dyl2 is Jn(b i (二 )一 、 (y)a(y) dyl2 t3 J“ 一 b i ( y ) ) a ( y ) 即( 厂 d t 1/273 J I s - s o 什川 /仕(x 勿乌 11问。11Q ( x 一 ， ) Ix 一 Y 1n - 1 。 ( 二 一 ， ) Ix 一 Y 1n - 1一b i ( y ) ) a ( y ) d y1 ix 一 x 0 I 十 2 1r了九曲了九=( IIx - yl 1 - 太 。(五 髻 恿 I(吞( )+ L.)(zs). U b xj=1 oECj-l b j (x ) 一 (x o ) lla ( y )
13、 l丫 1 1 / 面 !d xlI x一x o l +1 1一 /一 ( x o ) ) o l一y ) Ix 一 y 1” 一 Q ( x 一 x 0 ) 二 一 x o ln - 1，丁且月一X卜佗!0l ( b ( y ) 一b ( 二 。 ) ) d a ( y ) l 】二 一 x o l + 2 1dy if司 八. f f Rx 一 ， ) 十 仁 J (z s )_ a + n ( 1 / q 一1 ) . A f u n c t i o n a ( 二 ) i s c a l l e d t o b e a c e n t r a l ( a , q ) , a t o m
14、 , if( 1 ) s u p p a C B ( 0 , r ) = 二 E R “ : I- I 0 ;( 2 ) 11a h a _ a + n ( 1 / q 一 1 ) . T h e n f E H K 9 p ( R n ) if a n d o n ly if f c a n b e e x p r e s s e d a s f ( x ) = E :_ - _ a ;a i ( x ) i n S ( R “ ) , w h e r e e a c h a ; i s 。 ce n t ra l ( a , q ) , a t o m s u p p o r t e d
15、o n B i a n d E 0 0 _ 二 A i lp 0 ;( 2 ) IIa IIL 9 IB I- a i “ ;( 3 ) 几 。 a ( x ) b o ,( x ) d x =0 , f o r a n y 。 =( - j . . . . , o ? ) 。 嗽， o =1 1 . . . ， 。 。 a n d j =1 , ， m.D e fi n it i o n 3 .9 L e t 1 m a x q 2 , n / ( ” 一 /3 ) s u c h t h a t S I E L g ( ， 一 ) s a t is f y in g ( 1 .1 )a n
16、 d ( 1 .5 ) , th e n p is b o u n d e d f ro m H I C 0 R “9 b b ( ) “ K , 0 (R 0 ) , w h e re “ 0 a n d q m a x g 2 , n / ( n - ,Q ) 。 。 L g ( ， 一 ， ) s a t i sf y i n g ( 1 . 1 ) a n d ( 1 .6 ) , th e n k n . b o u n d e d f r o m 。 姗 一 ，l a ,).n (R 0 ) , w h e r e 0 1 , H K 0 (1- 1s 1),n (R 0 )9,6F h r t h e r m o r e , w h e n p =1
