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1、普通高等学校招生全国统一考试数学普通高等学校招生全国统一考试数学(理科理科)（北京卷）（北京卷）第第卷卷一选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。（1）设全集是实数集 R，M=x|-2x2，N=x|xac （B）c(b-a)0 （C）cb20) 上一定点 P(x0, y0) (y00)，作两条直线分别交抛物线于 A(x1,y1)，B(x2,y2).（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点 F 的距离；2P（II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数。021 yyy （18）
2、 （本小题满分 14 分）f(x)是定义在0，1上的增函数，满足 f(x)=2f()且 f(1)=1，在每个区间2x（i=1，2，）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数 k 的直线的一部分。121,21ii（I）求 f(0)及 f()，f()的值，并归纳出 f()（i=1，2，）的表达式；21 41i21（II）设直线 x=，x=，x 轴及 y=f(x)的图象围成的梯形的面积为 ai (i=1，2，)，i21121i记 S(k)=(a1+a2+an)，求 S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值。 nlim（19） （本小题满分 12 分）某段城铁线路上依次有 A，B，C 三站，AB=5k
3、m，BC=3km.在列车运动时刻表上，规定 列车 8 时整从 A 站发车，8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟，8 时 12 分到达 C 站。在实际 运行时，假设列车从 A 站正点发车，在 B 站停留 1 分钟，并在行驶时以同一速度 v km/h 匀速行驶，列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站 的运行误差。 （I）分别写出列车在 B，C 两站的运行误差； （II）若要求列车在 B，C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟，求 v 的取值范围。（20） （本小题满分 13 分）给定有限个正数满足条件 T：每个数都不大于 50 且总和 L=1275.现将这
4、些数按下列要求 进行分组，每组数之和不大于 150 且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得 150 与这组数之和的差 r1与所有可 能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时 的余差为 r2；如此继续构成第三组（余差为 r3） 、第四组（余差为 r4） 、，直至第 N 组 （余差为 rN）把这些数全部分完为止。 （I）判断 r1，r2，rN的大小关系，并指出除第 N 组外的每组至少含有几个数； （II）当构成第 n（n；1150 nLn（III）对任何满足条件 T 的有限个正数，证明：N11
5、。参考答案 一、选择题。 1A 2C 3A 4D 5D 6C 7B 8B 二、填空题 （9） （10）x1=0 ，x2=1（11）4 1923（12）x2+(y+1)2=1 1a1+22（13）大 3（14）3 当 n 为偶数时，Sn=n；当 n 为奇数时，Sn=n25 25 21三、解答题： （15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力，满分 13 分。 解法一：sinA+cosA=cos(A45)=，222cos(A45)= 21又 00，cosA0 )代入得kAB=，所以 kAB是非零常数。212 yyp 0yp（18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考
6、查分析问题和解决问题的能力，满分 14 分。 解：（I）由 f(0)=2f(0)，得 f(0)=0.由 f(1)=2f()及 f(1)=1，得 f()=f(1)= .21 21 21 21同理，f()=f()=.41 21 21 41归纳得 f()=(i=1，2，).i21i21（II）当时， （*）式变形为 7+112，11480 v300 v480解得.4195 11480v综上所述, v 的取值范围是39, . (12 分)4195（20）本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问 题的能力，满分 13 分。解: () r1r2rN. 除第 N 组外的每组至少含有个数.350150() 当第 n 组形成后,因为 n11,即第 11 组形成后,还有数没分完,由()和() 可知,余下的每个数都大于第 11 组的余差 r11,且 r11r10,故 余下的每个数 r11r10).(5 .3710127511150因为第 11 组数中至少含有 3 个数,所以第 11 组数之和大于 37.53=112.5. 此时第 11 组的余差 r11=150第 11 组数之和37.5 矛盾,所以 N11.
