《2017届高三数学一轮复习第十一篇计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件理(一)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017届高三数学一轮复习第十一篇计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件理(一)（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十一篇 计数原理、概率、随机变量及其分布(必修3、选修23)六年新课标全国卷试题分析第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识链条完善考点专项突破易混易错辨析知识链条完善 把散落的知识连起来【教材导读】 1.分类加法计数原理中,各类中方法都能独立完成一件事吗?提示:都能.2.计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理?提示:如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事,用分类加法计数原理;如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分,用分步乘法计数原理.知识梳理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理原理异同点 分类类加法计计数原理分步乘法计计数原理定义义完成一件事有两
2、类类不同方 案,在第1类类方案中有m种不 同的方法,在第2类类方案中 有n种不同的方法.那么完 成这这件事共有N=m+n种不同 的方法完成一件事需要两个步骤骤,做 第1步有m种不同的方法,做第2 步有n种不同的方法,那么完成 这这件事共有N=mn种不同的方 法区别别各种方法相互独立,用其中 任何一种方法都可以完成 这这件事各个步骤骤中的方法互相依存, 只有各个步骤骤都完成才能做完 这这件事夯基自测1.乘积(a1+a2)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4)(d1+d2+d3+d4)的展开式中共有不同的项的个数为( )(A)16(B)24(C)48(D)96解析:2344=96.D2.如
3、图,一条电路由A到B接通时,有不同的线路的种数为( )(A)3(B)7(C)8(D)12解析:3+1+22=8.C3.4名学生参加三个体育运动项目的比赛,每名学生可以参加任何一项比赛,每个项目产生一名冠军,则各项冠军获得者的不同情况种数为( )(A)81(B)64(C)32(D)27解析:第一个项目的冠军获得情况有4种,同理第二、三个项目的冠军获得情况各有4种,故各项冠军获得者的不同情况有444=64(种).B4.从一个小组的10名同学中产生一名组长、一名学生代表,则组长和学生代表不允许重复和允许重复的选法分别有 种、 种. 解析:不允许重复时,组长选法有10种、学生代表选法有9种,根据分步乘
4、法计数原理,得选法有109=90(种);如果允许重复,则组长和学生代表的选法均为10种,根据分步乘法计数原理,得选法共有1010=100(种).答案:90 1005.用1,5,9,13中的任意一个数作分子,4,8,12,16中的任意一个数作分母,可构成 个不同的分数,可构成 个不同的真分数. 解析:由于1,5,9,13是奇数,4,8,12,16是偶数,所以以1,5,9,13中的任意一个为分子,都可以与4,8,12,16中的一个构成分数,因此可以分两步构成分数:第一步,选分子,有4种选法,第二步,选分母,也有4种选法,共有分数44=16(个);真分数分四类:分子为1时,分母可以从4,8,12,1
5、6中选一个,有4个;分子为5时,分母可以从8,12,16中选一个,有3个;分子为9时,分母可以从12,16中选一个,有2个;分子为13时,分母只能选16,有1个.所以共有真分数4+3+2+1=10(个).答案:16 10考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 分类加法计数原理【例1】 某单位有甲乙丙丁四个部门,甲部门有工作人员8名、乙部门有工作人员10名、丙部门有工作人员12名、丁部门有工作人员15名,现从该单位选派一名志愿者参加社会公益活动,共有多少种不同的选派方法.解:从甲部门选派有8种不同的选派方法、从乙部门选派有10种不同的选派方法、从丙部门选派有12种不同的选派方法、从丁部门选派有15
6、种不同的选派方法.根据分类加法计数原理,共有不同的选派方法数8+10+12+15=45(种).反思归纳 本题是分类加法计数原理的直接应用,解题时首先把问题分类(不重复也不遗漏),确定每类中的方法数,最后按照分类加法计数原理得出结果.【即时训练】 x,y是两个正整数,则满足x+y10的数对(x,y)有多少个? 解:当x=1时,y=1,2,3,4,5,6,7,8,9,有数对9个; 当x=2时,y=1,2,3,4,5,6,7,8有数对8个; 同理可得当x=3,4,5,6,7,8,9时分别有数对7,6,5,4,3,2,1个. 根据分类加法计数原理可得,共有数对9+8+2+1=45(个).考点二分步乘法
7、计数原理【例2】 (1)某单位有甲乙丙丁四个部门,甲部门有工作人员8名、乙部门 有工作人员10名、丙部门有工作人员12名、丁部门有工作人员15名,现从 该单位四个部门中各选派一名志愿者参加社会公益活动,共有多少种不同 的选派方法? (2)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级 台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法有多少种? 解:(1)选派工作人员可以分四个步骤完成.第一步从甲部门选派一人,有8 种不同的选派方法;第二步从乙部门选派一人,有10种不同的选派方法;第 三步从丙部门选派一人,有12种不同的选派方法;第四步从丁部门选派一 人,有15种不同的选派方法.根据分步
8、乘法计数原理,共有不同的选派方法 数8101215=14 400(种). (2)甲有7种站法、乙也有7种站法、丙也有7种站法,故不考虑限制共有站 法777=343(种),其中三个人站在同一台阶上的有7种站法,故符合本 题要求的不同站法有343-7=336(种).反思归纳 如果“一件事情”需要分成若干步骤才能完成,则就需要使用分步乘法计数原理来计算完成这件事情的方法总数,如果其中存在某些特殊情况,则从总数中减去特殊情况的数目即可,这种间接求解的方法是计数问题中经常使用的.【即时训练】 四名旅客到三家旅馆住宿,每家旅馆不限制人数,问共有多少种不同的住宿方法?解:第一名有3种住宿方法;第二、三、四名
9、旅客也各有3种住宿方法,只有这四名旅客都住宿完毕,这件事情才算完成,根据分步乘法计数原理,共有3333=81(种)不同的住宿方法.两个计数原理的综合 考点三 【例3】 甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名,现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会,共有多少种不同的推选方法.解:分为三类:第一类:甲班选一名,乙班选一名,根据分步乘法计数原理有35=15(种);第二类:甲班选一名,丙班选一名,根据分步乘法计数原理有32=6(种);第三类:乙班选一名,丙班选一名,根据分步乘法计数原理有52=10(种).综合以上三类,根据分类加法计数原理,共有15+6+10=31(种)不同选法.
10、反思归纳 使用两个基本原理进行计数的基本思想是“先分类,再分步”,即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类,再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”,求出每个步骤的方法数,按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数,最后再按照分类加法计数原理得出总数.【即时训练】 在一个信号台上有三组信号灯,每组信号灯有三盏灯组成,每盏灯可出现红、黄、蓝三种颜色.其中第一组信号灯中的三盏灯可以出现三种颜色中的任意一种,第二组信号灯中的三盏灯不能出现完全相同颜色,第三组信号灯中的三盏灯出现的颜色各不相同.(1)若这三组信号灯只有一组发出信号,可以发出多少种不同的信号?(2)若三组同时发出信号,可以发出多少种不同的
11、信号?解:第一组能发出的信号数为N1=333=27(种);第二组能发出的信号数为N2=27-3=24(种);第三组能发出的信号数为N3=321=6(种).(1)三组信号灯只有一组发出信号,可发出信号N1+N2+N3=27+24+6=57(种).(2)若三组同时发出信号,可以发出信号N1N2N3=27246=3 888(种).备选例题 【例1】 (1)设集合A=-1,0,1,集合B=0,1,2,3,定义A*B=(x,y)| xAB,yAB,则A*B中元素的个数是( ) (A)7(B)10(C)25(D)52 (2)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有个(用数字作答
12、). 解析:(1)由题意知本题是一个分步乘法计数原理,因为集合A=-1,0,1, 集合B=0,1,2,3,所以AB=0,1,AB=-1,0,1,2,3,所以x有2种取法 ,y有5种取法,所以根据分步乘法计数原理得25=10.故选B. (2)法一 用2,3组成四位数共有2222=16(个),其中不出现2或不出 现3的共2个,因此满足条件的四位数共有16-2=14(个). 法二 满足条件的四位数可分为三类:第一类含有一个2,三个3,共有4个; 第二类含有三个2,一个3共有4个;第三类含有二个2,二个3共有6个,因此 满足条件的四位数共有4+4+6=14(个). 答案:(1)B (2)14【例2】
13、用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图(1)、图(2),要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色.(1)若n=6,为图(1)着色时共有多少种不同的方法?解:(1)为A着色有6种方法,为B着色有5种方法,为C着色有4种方法,为D着色也有4种方法,所以,共有着色方法6544=480(种).解:(2)图(2)与图(1)的区别在于与D相邻的区域由2块变成了3块,同理,不同的着色方法种数是n(n-1)(n-2)(n-3).因为n(n-1)(n-2)(n-3)=120,又120480,所以可分别将n=4、5代入得n=5时上式成立.所以n=5.(2)若为图(2)着色时共有120种不同的方法,求n.易混易错辨析 用心练就一双慧眼【典例】 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法?(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;(2)每项限报一人,但每人参加的项目不限.解:(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同选法,由分步计数原理知共有选法36=729(种);(2)由于每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分步计数原理得共有不同的报名方法63=216(种).易错提醒:使用分步乘法计数原理解题时要根据实际问题确定每步中的具体方法数,本题中要注意是按项目分步计数还是按人数分步计数.
