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1、P h M D i s s e r t a t i o n ，Z h e n g z h o uU n i v e r s i t y ,N o 2 0 0 9 1 2 0 1 4 0 7 0 1 0 1 0 1 5T w oC l a s s e so fD a r b o u xT r a n s f o r m a t i o n so f ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lK PE q u a t i o n sC a n d i d a t e ：M i a oJ i n g j i n gS u p e r v i s o r ：P r o f L i
2、X u e m e iS p e c i a l i t y：B a s i cM a t h e m a t i cD e p a r t m e n to fM a t h e m a t i c s ，Z h e n g z h o uU n i v e r s i t y ,Z h e n g z h o u ，4 5 0 0 0 1 ，P R C h i n aA p r i l ，2 0 1 2* ，jjt目i痒If原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研
3、成果对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律责任由本人承担学位论文作者：南静静一日期：砂年j ，月钾E t学位论文使用授权声明本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大学根据郑州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州大学可以将本学位论文的全部或部分编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其他复制手段保存论文和汇编本学位论文本人离校后发表、使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为郑州大学保密论文在解密后应遵守此规定。
4、学位论文作者：苟静静日期：肼J ，月明日关键词：谱问题；( 2 + 1 ) 维K P 方程；D a r b o u x 变换；精确解Ab s t r a c tI nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eD a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no ft h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lK Pe q u a t i o n F i r s tf r o mak n o w ns p e c t r a lp r o b l e m ，w ec o n s i d e r e dt h
5、et w od i f f e r e n tf o r m so fD a l b o u xt r a n s f o r m a t i o n T h e ns t a r t i n gf r o mt h e1 - t i m e ，w e g e tt h eN t i m e sf o r mf o re a c ht y p eo fD a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n F i n a l l yw ec a ng e tt h eg e n e r a le x p r e s s i o no f ( 2 + 1 ) d i m
6、 e n s i o n a lK Ps o l i t o ne q u a t i o n su s i n gD a l b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，a n ds e v e r a li n t e r e s t i n gf i g u e r e so ft h es o l t i o n sa l ep l o t t d e K e yw o r d s ：s p e c t r a lp r o b l e m ；( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a lK Pe q u a t i o n ；D a r b
7、 o u xt r a n s f o r m a t i o n ；e x a c ts o l u t i o nU目录第一章引言1第二章K P 方程的第一类D a r b o u x 变换42 1第一类D a r b o u x 变换42 2第一类D a r b o u x 变换下的孤子解2 0第三章K P 方程的第二类D a r b o u x 变换2 33 1第二类D a r b o u x 变换2 33 2第二类D a r b o u x 变换下的孤子解2 8参考文献3 1致谢3 4第一章引言孤立子理论是非线性科学中核心问题之一，是应用数学和数学物理的重要组成部分这一理论，一方面被
8、用于解释许多物理现象，而新的物理问题的提出又进一步促进了孤立子理论的深入和拓展另一方面，它为非线性偏微分方程提供了求显式解的方法，进而促进了一些传统数学理论的发展早在1 8 3 4 年，英国著名科学家S c o t t R u s s e l l 就发现了孤波现象，但在当时很长一段时间内人们都没能在理论上做出合理的解释直到1 9 6 5 年，美国数学家Z a b u s k y 和K r u s k a l 才提出孤立子的概念一般我们把在空间中传播的扰动称为波，在传播中不改变形状、大小和方向的波称孤波两个孤波相互作用后仍不改变形状、大小和方向称为孤立子( 简称孤子) 孤立子有时候也称为孤立波在
9、以后的四十多年里，随着近代数学、物理学和科学实验的不断深入，人们在越来越多的领域都发现了孤立子，孤立子理论的研究也随之蓬勃发展起来，并在世界范围内掀起了研究的热潮目前，对孤立子的研究已经从当初的理论和实验方向发展到应用上例如，1 9 8 0 年在实验室里发现的光孤子就是一种非常特殊的孤立子，它为光纤通讯提供了良好的信息载体同时孤立子又在非线性光学、等离子物理、流体力学、生物工程等自然科学和工程领域中都有应用成果孤立子理论的兴起，为求解非线性偏微分方程以及非线性科学的研究带来了革命性的内容和新的活力，同时它也已成为研究非线性偏微分方程的主要手段之一其理论研究方法也是多种多样的，在数学上涉及泛函分
10、析和经典力学、微分方程和动力系统、L i e群、L i e 代数和无穷维代数、拓扑学、椭圆函数、代数几何及计算数学等诸多数学分支，反映出其深刻的背景和重要的应用价值而寻求孤子方程的精确解一直是孤立子理论探讨的重要问题目前，在孤子理论中，已经有一系列方法求解孤子方程的精确解，如双线性导数法( 【4 】，【1 8 ，【2 5 】) ，反散射方法( 【6 】，【8 】，【9 】，【1 2 ，【1 9 】) ，非线性化方法，B f i c k l u n d 变换( 【1 0 】，【l l 】，【1 5 1 3 0 】) ，D a r b o u x 变换( 【1 5 】，【1 9 ，【2 5 - 【
11、3 1 】) ，L i e 对称方法【2 9 】- 【3 l 】，齐次平衡法以及代数几何法，双曲函数展开法，对称约化法，混合指数法等，其中D a r b o u x 变换是一种自然美妙的方法，它与双线性及三线性方法一样是一种直接的方法1 8 8 2 年，D a r b o u x 在研究了一个一维的薛定谔方程的特征值问题时得到这样的结论。一九z u ( x ，亡) = A 1( 1 1 )如果u 和是满足( 1 1 ) 的两个函数，并且对任意给定的常数A o 对应的函数( x ) =妒( z ，) 是方程( 1 1 ) 当A = k 时的一个解，那么由面= 让+ 2 ( 1 n f ) x x
12、 ，( z ，A ) = 如x ，A ) 一( I n f ) z 西( z ，A ) ，f 0( 1 2 )所确定的函数面，一定满足方程( 1 1 ) 我们称( 1 2 ) 就为原始的D a r b o u x 变换D a r b o u x 变换的基本思想就是利用非线性方程的一个解及其L a x 对的解，用代数算法及微分运算来获得非线性方程的新解和L a x对相应的解，有时我们也将D a r b o u x 变换成为B f c k l u n d 变换，或者称为B f i c k l u n d 变换的D a r b o u x 方法到1 9 7 5 年，W a d a t i 等人将D
13、a r b o u x 变换推广到m K d V 和s i n e - G o r d o n方程1 9 8 6 年，谷超豪院士等人又将D a r b o u x 变换推广到K d V 族，A K N S 族及高维方程组，并且将D a r b o u x 变换应用到微分几何中的曲面论和调和映照中D a r b o u x 变换是一种构造非线性偏微分方程显式解的有效方法，它从孤子方程的一个平凡解或是“种子解”出发得到孤子方程的非平凡精确解D a r b o u x 变换方法的优点是只需做一次完全可积的线性方程组的求解，然后就可以只利用纯代数运算得到非线性孤立子方程的新孤子解，其关键是寻找一种保持
14、相应的L a x 对不变的规范变换而规范变换是利用孤子方程的谱问题，研究其谱函数及其位势间的变换关系，并得到孤子方程的B i i c k l u n d 变换( 解之间的关系式即为孤子方程的B S c k l u n d 变换) 目前，有关寻找规范变换的技巧已经发展很多，并且用于求解多种方程，如A K N S 方程族，自对偶Y a n g - M i l l s流，D a v e y - S t e w a r t s o n 方程，E i n s t e i n - M a x w e l l 方程等等本文首先从一个已知的谱问题九= ( 2 。Q ：2 ：二詈，入：牡) 九= ( 乏)出发，
15、结合其辅谱问题，通过直接计算零曲率方程一K + 【以】= 0 ，仉一K ，。+ f 以K 】= 0 ，得到两个( I + I ) 维孤子方程Jt l y = 0 、烈。口1 丽【( Q 一素) + 等+ u z ( p + 警) ) 】+ u 2 2 u 6 ) 【= 磊去万【一；( 卢+ 鲁) + 等+ 2 u z u 司+ 2 U V x本又仅亏虑上述D a r b o u x 变换的两种情况t一种是在6 = C N = d l v = 0 的情况下，得到孤子方程的精确解为J 面= u + 等= 缸一鲁1可=一(-vz+2Fuv)aN-t-2vaN_1+2bN-2另一种是在a N = b N = C N = 0 的情况下，得到孤子方程的精确解为厂面= 让一等= u + 等 I 虿= 等并目分别给出以匕两种情况在N - - 1 时的孤子图形3第二章K P 方程的第一类D a r b o u x 变换2 1 第一类D a r b o u x 变换我们考虑( 2 + 1 ) 维K P 方程的谱问题：以= u ，= ( 2 ) ，其中U 具有下面的形式；，= ( 2 。Q ：吾，入：u ) ，相应的辅谱问题：九= 妒，K ，具6 - 下列形式；H = ( ：翟翟二茹) ，= V
