《比值法与非常规解题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《比值法与非常规解题（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、比值法与非常规解题比值法与非常规解题值得拥有的资料是来自平时学习积累总结的有问题的地方肯定有的还请大家批评指正！比值法与非常规解题广州七中杜厚生课堂教学是素质教育的主渠道,素质教育的关键是优化课堂教学过程,引导学生积极主动地参与学习过程,学会学习、乐于学习真正成为学习的主体在数学课堂教学中解题教学是最主要、最大量的教学内容思维活动在解题过程中充分体现并得到充分发展学生应该在解题教学中学会思维、学会创造本世纪最伟大的数学教育思想家波利亚说：“我们并不要求每一个教师和学生都能从事高深的研究工作不过数学问题非常规解题也是真正的创造性工作我们需要掌握的不是单靠记忆得到的知识而是在解决有趣问题中掌握的、
2、随时可用的真正知识“这就是说在解题教学中可以用非常规解题来激发学生的创造性提高学生学习的积极性与主动性在初中平面几何的解题教学中善用比值法就能实现一些几何问题的非常规解题有效地提高学生的解题能力一. 含 30、45角的直角三角形非常规解题1 学完“解直角三角形“后解这样的一道题：RtABC 中C=90B=30若 BC=50求斜边 AB 的长大部分学生会设 AB=x则 AC=于是列出方程：解得 AB=不用勾股定理试试看学生想了一下“如果设 AB 为 x则 COS30=这个方法比用勾股定理好因为不必解一元二次方程了“再问学生：“你能不能一下子看出 AB=来？“不能因为数太大了换个小一点的数比如 B
3、C=3我想可以用心算求出 AB=2 来“在这里勾股定理和三角函数都是课本要求的常规解法而运用比值法则可以得到非常简捷的非常规解法于是我和学生一起来寻找比例这其实很容易从小到大三边的比值是 1：2若已知短直边是 a 时有 a：a：2a于是只要知道短直边 a其余二边应该是 a 和 2a；知道斜边是 a 呢？其余二边是和为了能熟练掌握这种方法只需做十分钟练习：知短求长时乘以倍数（和 2） ；知长求短时除以倍数（和 2）同类的问题要“一下子看出来“象呼吸一样轻松自然于是我们把这叫做“呼出“结果召之即来张口就有(如下图)当然等腰直角三角形也一样乘以倍数或除以倍数更简单！(下图)这种“呼出“有多大用处呢？
4、我们且来试试：例 1.如图已知 DC=3求各线段的长解:AX30 45B50 D X CBC=X 全部呼出!例 2.如图已知 BD=50求线段 AC 的长解: 设 AC=x则 DC=xBC=x于是50+x=xx=50(-1)=25(+1)这比用三角函数来求显然要好些AA x30 45Bx D x C例 3.如图已知 BC=3+求线段 AB、AC 的长解:设 AD=DC=x则 BD=x得 x+x =3+x=1AB=2x=2AC=x =例 4.如图RtABC 中C=90B=15求:tg15的值解:作 AD使ADC=30设 AC=1则 AD=BD=2DC=BC=2+ tg15=2-还能推广吗?其他的
5、特殊直角三角形看来也可以例如勾股数三角形也有比值3:4:5; 5:12:13; 7:24:25等等任意直角三角形呢？不是也有比值吗？试一试看：设斜边为 1有：斜边为 a有：设直边为 1有：直边为 a有：例 5. 利用上面的图形由勾股定理可证明 sin2A+cos2A=1 (平方关系)由正切定义可证明 tgA= (比值关系)由 A+B=90得 sinA=cosBtgA=ctgB(互余关系)例 6.如图RtABC 中D=90B=ACD=BC=m求 AD（这是例 6 的推广）解:设 AD=x则 CD=xctgBD=xctgm+xctg=xctgx=即 AD=在中学数学教材中含 30、45角的题目如此
6、之多“呼出“令我们又快又准又轻松二.弧长与扇形面积的非常规解题1 老师问学生：“弧长公式是什么？“,“就是“怎么得到的？“因为 360的圆心角所对的弧就是圆周长所以 1的圆心角所对的弧长就是于是 n的圆心角所对的弧长是“老师问学生：“扇形面积公式是什么？“有两个S 扇 =和 S 扇 =LR后一个公式在已知弧长和半径时使用“有了这两组公式学生在知道圆心角和半径时求弧长和扇形面积没有困难“不过很枯燥一点趣味也没有“学生说“而且恐怕很快就会忘了“于是老师又问：“你能不能用别的方法导出这个结果？“学生说:“这怎么可能？曲线形的计算除了圆周长和圆面积公式我们没有任何其他方法能这样导出公式我觉得已经很巧妙
7、了“老师说：“如果知道了一个圆的周长为 16扇形所对的弧长为 2你能一下子说出扇形的圆心角度数和扇形的面积吗?能呼出吗?“这有点难于是老师和学生一起“回到定义去“好了定义其实是用比值来得到公式的又是比值！这就是说在一个扇形中圆心角 n 是部份周角是全体；弧长是部份周长是全体；扇形面积是部份圆面积是全体如果设=k那么在求 n、l、s 这些“部份“ 时有部份=k全体这个 k 容易呼出而这个“全体“也是非常熟悉的于是上面的题目果然是可以呼出的：弧长是 2圆周长是 16那么 k=圆心角是=45(度)扇形面积要先求圆面积周长是 16半径为 8所以圆面积是 64扇形面积是64=8只要再熟练一些就更容易呼出
8、了老师又和学生一起做了 10 分钟练习：角度 n比值 kn：360半径 r弧长 lk2r扇形面积 skr230R36R45R60R72R90R120R135R144R150R “现在有趣一些了而且我们不必依赖公式只要一想起部份和全体的关系什么时候都会计算“学生说老师说：“其实公式也在这些比值之中“学生说：“这容易看出：也就是 s=lr实际计算时用 n=k360l=k2rs=kr2显然又快又准“老师说：“你能不能把这结果应用于其他问题？“学生再一次看着扇形：“这里还有一条弦 AB它应当是圆内接正多边形的一部分还有弓形它是圆减去正多边形剩下的面积的一部分还有 ABC 的面积它是圆内接正多边形面积的
9、一部分它们的比值也都等于 k“如果作同心圆能得到一个圆环那么阴影部分的面积与圆环的面积之比也是 k“书上有一道习题(几何第三册 187 页 11 题)我们尝试用这个结果计算例 7.已知两个同心圆被两个半径截得的 AB()=10cmCD()=6cm又 AC=12cm求阴影部分的面积解：设两圆半径分别为 R、rz 则有：解得 r=18R=30k=（cm） 这时一个学生说：“这个图形有点像梯形知道上底、下底以及高如果用结果完全一样！“学生们十分高兴这样多简单！“会不会是巧合？“老师不相信学生说：“我们大概能够证明它“学生的证明如下：证明：设那么：确实有 S=（R-r）就象梯形面积公式！弧长与扇形面积
10、可以呼出那么弓形的面积也可以呼出吗?结合等腰直角三角形面积=a2等边三角形的面积=至少含 60、90、120弧的弓形面积也是可以呼出的只要分别呼出扇形面积和三角形的面积（在 120的弓形中AOB 面积用等边OBC 面积代替）而在各种弓形面积计算、组合图形(阴影部分)面积计算中这几种弓形面积出现率极高比值的内涵博大精深而比值的方法简约和谐善用比值得到的结果往往是最直观、最实用的中学数学教材中能够使我们发挥创造性的方法和素材又何止是比值法?只要留心几乎处处都能找到素材产生触发我们创造性的灵感实现数学问题的非常规求解三对非常规解题的理解1什么是数学问题的非常规求解？似乎老师们都觉得是不言自明的但又说
11、不出它的定义也没有在什么书上看到过对这个问题的完整论述（包括教学大纲、教参、杂志论文、有关教学法的论著等）我个人的理解这是因为非常规解题具有相对性常规解题方法的来源有三个：一是教材指定必须掌握的方法如勾股定理、一元二次方程的配方法、十字相乘法等；二是解某类问题的“通法“如求根公式等三是出于逻辑性、严密性、精确性而产生的解题方法中学的代数、几何教材中几乎每一个单元的学习过程中都有教材给出的该单元的解题方法并要求学生必须掌握这些解题方法就形成了所谓的常规解题方法而异于教材要求的解题方法也就可以称为“非常规解题方法“应当看到“常规“与“非常规“是可以互相转化的“非常规“其实来源于“常规“例如高斯的传
12、说中从 1 到 100 的和高斯用了等差数列求和的方法这对小学生来说是“非常规“的而在数列一章的学习中则是标准的常规又如“数形结合“的解题方法在一些函数问题、复数问题中是非常规的而在解析几何中却是最典型的常规再如上文提到的含特殊角的直角三角形用比值法求边长的方法一旦在教学中要求学生重视和掌握也就变成了常规的解题方法甚至是第一常规可能正是因为常规解题与非常规解题之间没有严格的界限所以非常规解题也就难以严格定义了也许可以这样理解：凡是教材没有做出要求并且老师同学通常都没有想到的简捷方法就是非常规解题方法这里强调了“简捷“没有了简捷恐怕大家都很难承认是“非常规解题“非常规解题的实质是解题的优化高斯说
13、：“去寻求一种最美的和最简捷的证明乃是吸引我去研究它的主要动力“简单性是数学美的重要标志简单指用简捷的公式概括众多的事实欧几里德的几何原本从 36 个定义和 19 个公理出发得出了 467 个命题就完成了一门学科的创立在整整 100 年前19 世纪最伟大的数学家希尔伯特在巴黎第二次国际数学家大会发表了划时代的论文数学问题论文的主体部分提出了应当在新的一个世纪内着重研究突破的 23 个数学问题不到 500 字堪称简洁的典范克莱因说：“用新方法来解决老问题可以推动数学的发展“非常规解题其实就是解决老问题的新方法2非常规解题的教学教师首先要通过自己这一关数学教师的创新与求简精神是学生的表率有些教师过
14、于强调书本方法的熟练与掌握不仅自己没有去想非常规解题甚至也不许学生运用不少学生谈到在一些重大考试中有些题目很难虽然想到了一些解法甚至也得到了正确的解但所用的方法与书本上的不一样于是就不敢写出来有些写出来了但某些评卷老师却不给分在教学中有些老师给学生分析题目用到了非常规解题方法学生往往要问：这样做考试中给不给分？因为教材上不是这样做的！有些老师讲三角函数时教学生用单位圆来研究三角函数的性质（包括三角函数的求值、三角方程的解集、三角函数的符号、周期性、定义域、值域等）但就受到其他老师的非议认为干扰了正常教学对学生掌握教材知识不利不符合教材要求等很难想象一位自己墨守成规、不敢越教材一步不去探讨一题多
15、解和非常规解题的教师能教出有创造性的学生学生的创造性来自教师的示范和鼓励非常规解题能力的培养关键在于教师4学生非常规解题能力的形成应当看到常规是基础是前提非常规是提高是突破；常规是一般性非常规是特殊性只有熟练地掌握了各种常规解题方法才能经过综合、比较、概括得到非常规解题方法非常规解题的实质是优化解题而优化的确认是在比较中成立的一道题目只有一种解法就无所谓优化有四、五种解法才能比较出最优的一种非常规解题对学生来说是一种高要求同时也是一种思想方法但学生有时也过不了自己这一关如这样一道选择题：已知 RtABC 中tgA=则 sinA=（ ）A ； B ； C ； D如果这样考虑： tgA=A 比较接
16、近 90sinA 比较接近 1 且小于 1故应选 C即 sinA=这种分析80%以上的学生往往不能接受他们的理由是不严密、不通用如果不是选择题就用不上他们宁可按照定义一步步计算而且大多数还用到勾股定理但如果这样分析：根据勾股数（72425）故斜边为 25对边为 24所以 sinA=则所有的学生都点头称是认为比勾股定理计算好也很满意它的严密性与通用性由此可见长期传统教学模式形成的思维定势和常规解题模式的固化是非常规解题教学的两大障碍去掉这两重障碍在平时的解题中重视解题后的回顾才能形成非常规解题的能力波利亚在解题表中提出：“你能检验这个结果吗？你能一下子看出它吗？你能将这个结果或方法予以推广并应用于其他问题吗？“这就是解题回顾学生能常常这样问自己并尝试着这样做就能培养出自己的非常规解题能力从而也就培
