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1、浅析物体平衡问题的解题方略浅析物体平衡问题的解题方略自己收集整理的错误在所难免仅供参考交流如有错误请指正！谢谢物体平衡问题的解题方略忻传森（浙江省天台平桥中学 317203）（-本文已全文发表于物理通报2004 年第 6 期）物体平衡是一种重要的物理模型其实质是力的平衡研究对象的确定与变换、力的等效处理、平衡力之间的制约关系是我们在解决物体平衡问题时进行解题决策的三个基本着眼点一、研究对象的选取和变换1、整体法、隔离法的应用和研究对象的转换整体法和隔离法是重要的思想方法在不涉及系统内力时应优先考虑运用整体法其优点是研究对象少求解过程往往简单而巧妙而隔离法的运用则可把系统的内力转化为某一个体所受
2、的外力实际应用时要求灵活转换研究对象交替使用整体法和隔离法以取得最简洁的解题思路例 1、有一个直角支架 AOBAO 水平放置表面粗糙；OB 竖直放置表面光滑AO 上套有小环 POB 上套有小环 Q质量均为 m两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连并在某一位置平衡（如图 1）现将 P 环向左移一小段距离当两环再次达到平衡那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较AO 杆对 P 环的支持力和细绳上的拉力 T 的大小变化情况如何？解析 首先通过整体分析法可知支持力 始终不变再转换研究对象隔离环 Q 进行分析在竖直方向有其中环 P 左移后绳与竖直方向的夹角 变小因此 T 将变小2、刚体平衡转化为质点
3、平衡根据三力汇交原理物体在共面的三个力作用下处于平衡状态时这三个力若不平行则必共点因此物体受到三个非平行力作用的平衡问题（包含力矩平衡）可将其转化为简单的质点平衡（即共点力平衡）来处理当物体在四个力作用下平衡时可先将其中的两个力合成然后再按三力平衡时的处理方法转化为质点平衡处理例 2、如图 2 所示匀质杆 AB 重为 G一端靠在光滑竖直墙上另一端放在粗糙的水平地面上静止的杆与地面成 角求地面对杆的作用力和墙对杆的作用力解析 题中杆的实际受力如图 2 甲本题通常要用力平衡和力矩平衡结合解题现在我们可以把它转化为质点平衡来处理首先若不考虑杆的转动而只考虑杆的平动平衡则杆的受力可看作如图 2 乙的情
4、况即转化为了共点力平衡问题由平衡条件得地面对杆的作用力 f 和 N2 的合力记为 F物体又可等效为受 F、G、N1 三个力作用三力汇交于 O点这样就将非共点力平衡转化为了共点力平衡问题 （如图 2 丙）由平衡条件得又由图甲中的的几何关系易得由此三式即可解得因此地面和墙的对杆的作用力分别为二、力的等效处理在解平衡问题时为使问题变得更为简单化有序化以便于把握、表达式更为简洁有效、解题过程更为简捷经常要利用矢量运算法则（平行四边形定则）对力进行合成和分解的等效处理再列式计算1、合成法和分解法合成法通常是指将物体所受的多个外力通过合成的方法简化成更少的力并使在合成方向上受力平衡分解法则是将一个力根据作
5、用效果来分解并使在分解的方向上受力平衡例 3、如图 3 所示重物的质量 m轻绳 AO 与 BO 的 A 端、B 端是固定的平衡时 AO 水平、BO 与水平面夹角为 则绳 AO 的拉力 F1 和绳 BO 的拉力 F2 分别是多大？解析 （1） 、用合成法解本题结点 O 受三个力 F1、F2 和的作用F1、F2 的合力与 mg 是平衡力再由图中的三角关系可知（2） 、用分解法来解将 T 沿 F1、F2 的反方向分解得到 G1、G2然后再由平衡条件 F1=G1 和 F2=G2 即可求得 F1 和 F2 2、正交分解法正交分解法是指将各力分解为相互垂直的两组并使每一组都满足平衡关系形式为Fx = 0F
6、y = 0正交分解方向的选取可不必考虑力的作用效果但为简明分解过程和简化解题步骤建立坐标系的原则是使不在坐标轴上的力尽可能的少如例 3 中可沿水平方向和竖直方向建立坐标系将不在轴上的 OB 绳的张力 F2 向坐标轴上分解然后由平衡关系即可求得 F1 和 F23、力系的简化有时要通过对力的合成和分解处理使物体的受力情况变得更为有序化和简单化使问题更便于解决如以上的例 2 和例 3此处再举一例例 4、在竖直墙等高处的 A、B 两点分别固定两等长轻绳 AO、BO 的一端然后用轻杆 CO 把 AOB 支成水平面C 支在 AB 中点 D 的正下方墙上且可自由转动如图甲所现在 O 点悬挂重为 G 的物体已
7、知则 AO 绳的拉力 T 为多大？解析 本题涉及三维空间要求有一定的空间想象能力要在审题时把问题转化为两个相关的平面进行受力分析由 AO、BO 等长的关系可知两绳拉力相等再由可知两绳拉力的合力沿 OD 方向且大小等于 T这样就相当于在 OD 处有一根轻绳来取代 AO、BO 两根绳只需求出 OD 绳拉力即可COD 在同一竖直平面内这样就转化为了平面力系的平衡问题如图 4 乙所示不难解得三、平衡力的几何特征及其应用平衡物体所受力的几何特征也是我们解决平衡物体的重要依据对于受三个共点力作用而处于平衡状态的物体来说这三个力（用有向线段来表示）可构成一个封闭的三角形-对于多力平衡则是封闭的多边形这种“封
8、闭性“在几何上反映了力平衡的特征与力的平衡方程是互为充要的利用这种表示平衡关系的矢量三角形我们可以启动所有解三角形的有关数学知识来求解平衡问题例如对直角三角形可利用三角函数或勾股定理对任意三角形可利用正弦定理或余弦定理还可利用三角形的相似关系有些问题还需要利用这种矢量三角形及其动态变化（即图解法）来定性或定量地分析各力的变化规律例 5、如图 5 甲所示质量为 m 的球放在倾角为 的光滑斜面上试分析挡板 AO 与斜面的倾角 多大时挡板 AO 所受压力最小为多大？解析 以球为研究对象球受到的重力 mg、斜面对它的支持力 N1 和挡板对它支持力 N2 构成一个封闭的三角形如图 5 乙所示当 变化时m
9、g 大小方向都不变N1 方向不变而大小变化而 N2 的大小方向均变化由图可以看出N2 与 N1 垂直即时N2 有最小值此即挡板 AO 所受压力的最小值四、寻找约束关系和几何关系在力学体系中常存在着一些限制各质点自由运动的条件我们称之为约束因此各质点的受力关系和空间位置关系并不是相互独立的而是通过一些约束关系把它们联系着在力学解题中必须充分分析和利用这些约束关系和几何关系提供的辅助方程如果不能正确地运用这些关系往往不能顺利地解题对于一个平衡问题如果力学定理（平衡方程）正确用上后还不能解出必然是约束关系没有充分运用的缘故例 6、有一只甲壳虫在一半径为 R 的半球形碗中向上爬已知动摩擦因数为 （并设
10、最大静摩擦力等于滑动摩擦力）求它能爬到的最大高度解析 甲壳虫爬到最大高度时恰能处于静止状态所受的摩擦力为最大静摩擦力fm =N 由平衡条件有fm = mg sinN = mg cos又由图中的几何关系可得h = R（1cos）由以上关系可解得最大高度为：本题在求解时除了要运用平衡力之间的基本制约关系-平衡方程外还要充分分析和利用力之间的其它约束关系-方向的约束关系、大小的制约关系（f =N）及空间位置的几何关系另外在有些问题中约束关系和几何关系具有一种对称性充分利用这一关系经常可使解题变得更为简洁和巧妙例 7、如图 7 所示4 个相同的物块 A、B、C、D 质量均为 m现用两块相同的木板将它们
11、紧压在一起处于静止状态接触面竖直试分析两木板与 A、D 间及中央两物块 B、C 间的摩擦力解析 根据题中研究对象在性质和构造上的对称性左板与 A 之间、右板与 D 之间具有相同的摩擦力然后通过分析整体的平衡关系易知该摩擦力大小为 f = 2mg 方向竖直向上而 B、C 之间不应存在摩擦力因为根据对称性B、C 的受力情况应完全相同如果 B、C 间存在摩擦力那么 B 对 C 的摩擦力和 C 对 B 的摩擦力方向相反这样就会破坏这种对称性对平衡问题的研究是物理学的一个重要内容解决平衡问题的研究方法和解题策略贯穿于几乎整个高中物理阶段掌握好这些内容将有利于其它各部分内容的学习同时通过学习和领会这些研究方法和处理方法有利于提高物理素养、形成良好的物理思维品质?1
