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1、随机信号通过线性系 统实验随机信号通过低通滤波器班级：010913作者：葛楠（01091256）李丹（01091272）张卫康（01091220）1、摘要基于 Matlab 让产生的一个随机信号通过低通滤波器，并且分析随机信号的数学特征，当其通过低通滤波器后再次分析其数字特征，从而得出实验结论。2、目的1.研究随机信号的线性叠加型。2 研究随机信号通过线性系统后的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统所具有的性质.3.掌握随机信号的检测及分析方法。4.熟悉常用的信号处理仿真软件平台：matlab3、实验的特点和原理特点：完全基于 Matlab 仿真原理:
2、(1)随机信号的分析方法在信号系统中，我们可以把信号分成两大类：确定信号和随机信号。确定信号具有一定的变化规律，而随机信号无一定的变化规律，需要用统计特性进行分析。我们在这里引入了随机过程的概念。所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个取样序列。随机过程可分为平稳的和非平稳的、遍历的和非遍历的。如果随机信号的统计特性不随时间的推移而变化，则随机过程是平稳的。如果一个平稳的随机过程它的任意一个样本都具有相同的统计特性，则随机过程是遍历的。我们下面讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，我们可以取随机过程的一个样本来描述随机过程的统计特性。随机过程的统计特性一般采
3、用主要的几个平均统计特性函数描述，包括均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。计算这些数字特征算法都是一种估计，条件是N要足够大。 随机过程的均值均值 Ex(t)()表示集合平均值或数学期望值。基于随机过程的各态历 经性，可用时间间隔 T 内的幅值平均值表示，即：均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。10/ )()(NtNtxtxE 随机过程的均方值信号 x(t)的均方值 Ex2(t)()，或称为平均功率，其表达式为： 2NtxtxENt/ )()(1022均方值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均能量的一种表达。 随机信号的方差 信号 x
4、(t)的方差定义为： NtxEtxNt/)()(1022称为均方差或标准差。 可以证明， 其中：描述了信号22222的波动量； 描述了信号的静态量，方差反映了信号绕均值的波动程度。 在2已知均值和均方值的前提下，方差就很容易求得了。 随机过程的自相关函数。 信号的相关性是指客观事物变化量之间的相依关系。对于平稳随机过程 x(t)和 y(t)在两个不同时刻 t 和 t+ 的起伏值的关联程度，可以用相关函数表示。在离散情况下，信号 x(n)和 y(n)的相关函数定义为：,t=0,1，2,N-1。 101NtxyN/ )t (y) t (x), t (N R随机信号的自相关函数表示波形自身不同时刻的
5、相似程度。与波形分析、频谱分析相比，它具有能够在强噪声干扰情况下准确地识别信号周期的特点。 随机过程的频谱：信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号，从)( fx另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为：-j2f t( )( )x fx t edt 随机过程的功率谱密度随机信号的功率普密度是随机信号的各个样本在单位频带内的频谱分量消耗在一欧姆电阻上的平均功率的统计均值，是从频域描述随机信号的平均统计参量，表示x(t)的平均功率在频域上的分布。它只反映随机信号的振幅信息，而没有反映相位信息。随机过程的功率普密度为： 2| )(|lim)(2TXExGTiT随机
6、信号的平均功率就是随机信号的均方值。 。 线性系统特性系统的数学模型满足叠加原理。若对于任意常数 a 和 b，输入信号和) t (x1，有) t (x2)t (xbL)t (xaL)t (bx) t (axL2121则称系统为线性系统，线性系统有下面的一些重要性质： 叠加性、比例性、微分性、积分性、频率保持性等。四、实验的过程1.分别生成一个方波信号和一个高斯白噪声，将两者线性叠加，研究各信号的频 域和时域特性。设定采样频率 Fs=44.1kHz，取的样本点数 N=256，方波基频为 1000Hz，加入 SNR 为 10dB 的高斯白噪声得到输入信号 xi，间接获得白噪声xn。0123456x
7、 10-3-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81低 低 低 低 低 低 低 低txs(t)00.511.522.5x 104020406080100120140160低 低 低 低 低 低 低 低fXS(f)0123456x 10-3-1.5-1-0.500.51低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低txn(t)00.511.522.5x 10402468101214低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低fXN(f)2.将方波信号和高斯白噪声线性叠加，绘制叠加信号的特性曲线，包括均值、方差、均方值等。0123456x 10-3-2-1.5-1-0.500.51
8、1.52低 低 低 低 低 低 低 低txi(t)2.3.00.511.522.5x 10402468101214低 低 低 低 低 低 低 低fXI(f)-6-4-20246x 10-3-300-200-1000100200300低 低 低 低 低 低 低 低 低 低Rxi()0123456x 10-3-1-0.500.511.5低 低 低 低 低 低tm(t)0123456x 10-300.0050.010.015低 低 低 低 低 低 低tj(t)0123456x 10-300.511.522.5低 低 低 低 低 低tc(t)3 设计一个滤波器，输入信号通过滤波器会研究输出信号的方差、
9、均方值、均值、自相关函数和功率谱密度。滤波器的通带截止频率 4000Hz，阻带截止频率5000Hz，通带最大衰减 1dB，阻带最小衰减 35dB，输入信号为方波与白噪声的合成，方波信号为 1kHz，白噪声具有各种频率分量。通过低通滤波器后，方波的衰减会相对较小；白噪声的低频部分几乎没有衰减，而随着频率增大，衰减将越大，最后几乎衰减为 0。由于通过滤波器的频率分量大都频率较低，因此输出信号的时域波形将较输入信号较为平滑，但由于输出中仍存在低频噪声，输出信号将有一定的起伏，由以上仿真结果可以看出，经滤波后信号表面平滑了不少，但因仍存在低频噪声，尚不能完全复原初始信号。0123456x 10-3-2
10、-1.5-1-0.500.511.52低 低 低 低 低 低txo1(t)00.511.522.5x 104020406080100120140低 低 低 低 低 低fXO1(f)-6-4-20246x 10-3-200-150-100-50050100150200250低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低Rxo2()00.511.522.5x 10400.20.40.60.811.21.41.61.82x 104低 低 低 低 低 低 低 低 低0123456x 10-3-0.500.511.52低 低 低 低 低 低tC(t)0123456x 10-3-1-0.500
11、.511.5低 低 低 低 低 低tM(t)0123456x 10-300.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.01低 低 低 低 低 低 低tJ(t)5、实验的结论一个随机输入信号通过线性系统后，输出也是随机过程，且是随机输入信号与系统冲激响应的卷积。在实际中通常是仅知道输入随机过程的某些统计特性，要求能够得到系统输出的统计特性。例如已知输入随机过程的均值与自相关函数，求系统输出随机过程的均值与自相关函数。若线性时不变系统的随机输入信号是严平稳或宽平稳的，那么它的输出也是严平稳或宽平稳的。若输入是各态经历过程，输出也是各态经历过程。从时域
12、上看，如果输入为宽平稳随机过程，则输出均值为输入均值与冲激响应积分的乘积，输出自相关函数是输入自相关函数与系统的冲激响应的双重卷积。线性系统的输出必定以某种方式依赖于输入，即输入与输出必定是相关的，且输入输出的互相关函数等于输入自相关函数与系统冲激响应的卷积，当输入为宽平稳随机过程时，输入输出为联合宽平稳。根据输入信号和观测信号，可以得到互相关函数，因此可以得到系统的冲激响应，用这种方法可以对系统进行辨识（估计） 。从频域上看， 线性系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密度乘以系统的功率传输函数。两个统计独立（或至少不相关）的零均值平稳随机过程之和的功率谱密度或自相关函数等于各自功率谱密度或自相
13、关函数之和。通过线性系统输出的平稳随机过程的功率谱密度或自相关函数也等于各自输出的功率谱密度或自相关函数之和。白噪声通过线性系统后，其输出端的噪声功率就不在是均匀的了，由于白噪声的功率谱密度是常数，因此线性系统在白噪声作用下，输出功率谱密度完全由系统频率特性所决定，而不再保持常数。在实际应用中，有时只关心系统输出的噪声的功率，为了分析计算方便常常考虑用一个理想的系统来等效代替实际的系统。这种理想的系统在其通带以内具有常数的传输函数的模，而通带外为零。这样，系统的输出也就称为在一定频带内具有均匀谱密度的噪声（即限带白噪声） 。等效的原则是，当输入同样的白噪声时，理想系统与实际系统的输出平均功率相
14、等，在频带的中心，两个系统具有同样的功率传输函数值。注意：在一般线性系统中，通常都是用频率特性缺陷半功率点的同频带宽，也常称为3 分贝带宽来表示该系统对信号频谱的选择性，常用等效的噪声带宽来表示系统对噪声功率谱的选择性。白噪声通过理想低通线性系统时（滤波器或低频放大器） ，输出随机过程的相关时间与系统的带宽（也就是输出随机过程的谱宽）成反比。这就说，系统带宽越宽，相关时间越小，输出过程随时间变化越激烈，反之，系统带宽越窄，输出过程随时间变化就缓慢。通过理想带通线性系统（带通滤波器或高频谐振放大器）也具有类似的性质。在电子系统中，经常用到由多级单调谐放大器构成的放大设备，在这种放大设备中，包括有
15、多个调谐在中心频率上的调谐回路，因此其频率特性与高斯曲线相近，回路数目越多，近似程度越高。当线型系统输入一个随机过程后，要求系统输出的概率分布函数非常难，只有一些特殊情况才有办法求出，一个是高斯随机过程通过线性系统，一个是宽带随机过程（非高斯）通过窄带线型系统。高斯过程通过线性系统后仍然为高斯过程，因此只要求得系统的输出均值及相关函数，即可得到输出随机过程的 n 维概率密度函数。如果线性系统输入的随机过程是非高斯的，但是它的功率谱宽度远大于系统的带宽时，系统输出可以得到接近于高斯分布的随机过程。因此只要求得输出均值及相关函数，就可以得到输出随机过程的 n 维概率密度函数。参考资料1 马文平、李兵兵、田红心、朱晓明，随机信号分析与应用，2006，北京：科学出版社2 楼顺天、姚若玉、沈俊霞，Matlab 7.x 程序设计语言（第二版） ，2007，西安：西安电子科技大学出版社3 吴大正、张永瑞、王松林、郭宝龙，信号与线性系统分析（第 4 版） ，2005，北京：高等教育出版社6、附件 程序clc%* 生成输入信号 *% Fs=44100; N=256; n=0:N-1; t=n/Fs; f=1000; xs=square(2*pi*f*t); xi=awgn(xs,10,measured); xn=xi-xs;
