波动和声第十章

《波动和声第十章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《波动和声第十章（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、波动和声第十章波动和声第十章第十章 波动和声一 章节小结（一） 波的基本概念1波动：是振动状态的传播。2机械波：机械振动在弹性介质中的传播。产生机械波的条件：波源做振动的物体；能传播波的弹性介质。3波的分类：按质点的振动方向和波的传播方向的关系横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。4波的几何描述：波面：在波的传播过程中，具有相同的振动相位的各点组成的面。波前：某一时刻，离波源最远亦即最前面的波面。拨线：从波源沿各个传播方向所画的带箭头的线。平面波：波前为平面的波。球面波：波前为球面的波。5波的特征量波速 ：振动状态传播的速度。决定于传播介质的弹性和密度

2、。波长 ：沿波传播方向相邻同相位两点间的距离。或相位差为 的两个相邻质点间的距离。周期 ：波向前行进一个波长的距离所需要的时间。频率 ：单位时间波向前行进的完整波的数目。波数 ： 长度上波的数目。 相互关系： ； ； ； （二） 平面简谐波1定义：平面波传播时，媒质中体元均按余弦（或正弦）规律运动，这样的波叫平面简谐波。也叫余弦波或正弦波。注意：各体元的振动不一定是简谐振动。2波方程（1）取波的传播方向为 轴的正方向： ： 处的初相位。若 （2）波沿 轴的负方向传播： （3）波方程的多种形式： ；（4）搞清波方程的物理意义。（三） 波的叠加、干涉、驻波1波的叠加原理：两列波互相独立的传播，在两

3、波相遇处体元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。2波的干涉：（1）定义：两列波在交叠区域的某些位置，振动始终加强，而在另一些位置振动始终减弱，这种现象叫波的干涉。（2）条件：两列波振动方向相同，频率相同，在空间每一点的分振动有固定的相位差。（3）干涉加强和消弱的条件干涉加强： 干涉消弱： 特别当 时：波程差 干涉加强干涉消弱3驻波（1）定义 振幅相同、传播方向相反的两列简谐波叠加得到的振动叫驻波。（2）形成驻波的条件：相干波，振幅相同，沿同一方向相向传播。（3）驻波方程： （4）波腹、波节的位置 波腹： 波节： （5）相邻波节之间各点的相位关系同相位波节两侧各点的相位关系相位相

4、反（6）能量：两波节间的体元达到最大位移时，驻波的能量以形变势能的形式集中于波节附近；当各体元通过平衡位置时，驻波的能量以动能的形式集中于波腹附近；其他时刻动能和势能并存。（7）半波损失波自波密物质射向波疏物质，反射波在分界处引起的分振动和入射波引起的分振动相位相同，形成波腹，无半波损失。波自波疏物质射向波密物质，反射波在分界处引起的分振动比入射波引起的分振动相位落后 ，形成波节，有半波损失。自由端：反射波和入射波在此点形成波腹，无半波损失。固定端：反射波和入射波在此点形成波节，有半波损失。（四） 多普勒效应1定义：由于波源或观察者的运动而出现观测频率 与波源频率 不同的现象。2波源静止而观察

5、者运动：观测频率 观察者朝波源运动，取正号，观察频率 高于波源频率 ；观察者背离波源运动，取负号，观察频率 底于波源频率 。频率之所以变化，是因为相对观察者与相对媒质波速不同。3观察者静止而波源运动：观察频率 波源朝观察者运动，取负号，观察频率 高于波源频率 ；波源背离观察者运动，取正号，观察频率 底于波源频率 二 习题分类和解题方法 （一） 、已知振动方程建立波动方程在波动这一章里，坐标选法：坐标原点一般取在波源或波线上任意一点，以简便为原则；坐标轴取向沿波线。1建立波动方程的依据可用以下两种方法（或想象）来建立波动方程：(1)“振动周相传播”法?O图 71已知： 求波动方程。设波沿 轴正方

6、向传播(如图 7-1 所示)。根据波的传播实质上是振动周相的传播；波的传播速度就是振动周相的传播速度，可知：振动周相从 点传到 点需时 （这里因为 ，所以 ，若 ，则 ）现在已知 处,质点的振动方程 ，即已知 处， 时刻振动的周相为 ，问在 处， 时刻振动的周相为多大？可以这样来考虑，在 处，时刻（设 ）质点的振动周相 ,经过时间 也就是 时刻，这个周相传到了 点，所以在 处， 时刻质点振动的周相 。而振动方程 ，所以 处质点的振动方程 ，由于式中 、 都是任意给定的，所以 是波动方程。注意，这里的 是作谐振动的质点离开平衡位置的坐标，O（A）O（B）图 72(2) “波动的旋转矢量推进倒转”

7、法“方法”之叙述：媒质中，波动传到的同一波线上的各质点，在同一时刻，振动所对应的旋转矢量沿波的传播方向依次倒转（对旋转矢量图而言） ，沿波的传播方向，每推进 长度， 同时刻，旋转矢量倒转 (规定：某一质点振动所对应的旋转矢量随时间的增加以角速度 在旋转矢量图上逆时针旋转为正转)。“方法”之简单证明，设波动沿 轴正方向传播。图 7 一 2（A）表示 时刻的波形图，图中箭号表示相应质点的振动方向；图 72（B）表示 时刻与各相应质点振动所对应的旋转矢量取向，图中箭号代表旋转矢量。比较图 72（A）及（B）可见，沿波的传播方向，每推 ，同时刻，旋转矢量依次倒转 ；若推进 ，则旋转矢量依次倒转，即周相

8、减少 。波动方程之推导：设波动沿 x 轴正向传播，若已知 即已知 处， 时刻，振动周相为 ，则根据“方法” ， 处， 时刻振动周相为 ，因此， 处，质点振动方程为 。由于 、 是任意给定的，所以上式即为波动方程。2解题思路依据“周相传播法”解题（1）按规定选好坐标(原点及 、 轴)；(2)根据巳给的振动方程，写出与该点对应的 时刻振动周相（如 ） ；(3)在 轴上任选一点(称动点)，根据”周相传播法”写出与动点对应的 时刻振动周相(如 ，这里的路程就是波程，是指步骤(2)中的该点沿波传播方向到动点(坐标为 之间的距离。(4)把从步骤(3)中的路程换成坐标 来表示，并根据振动方程 便可得到波动方

9、程(由于 、 是任意的)。依据“旋转矢量推进倒转法”解题思路同上，只不过步骤(3)中的 (这里路程的意义同前)。3 解题示例?O?图 73例题 71 如图 73 所示，已知 处振动方程 ，波以波速 沿 轴负方向传播，试建立波动方程已知： 求： 的具体表达式。解：选好坐标如图 7-3 所示，巳知 处， 时刻振动周相为 方法 1：用“周相传播法”解题周相从 处传到 处需时间 ， 处， 时刻质点振动周相为 ，因为 所以 由于 、 是任意取的，所以波动方程为。方法 2：用“波动的旋转矢量推进倒转法”解题选好如图 73 所示的坐标，已知 处， 时刻质点振动周相为 ，根据“旋转矢量推进倒转法” ， 处、

10、时刻质点振动周相为 ，由于 ，所以有 ， 处的振动方程为 。由于 、 是任意取的，故有波动方程： 。或以 ，即 代入上式得： .（二） 、已知波形曲线或振动曲线建立波动方程OT02505图 74例题 72 巳知波线上某点 O 的振动周期 秒，振幅 厘米，起始时刻质点在振动正方向(y 轴正方向)最大位移处。波沿 轴正方向传播，波长 厘米。试作(1)O 点的振动曲线，(2) 及 时的波形曲线解 (1)根据已知条件，可得 处质点振动方程为：（厘米） 。振动图线如图 74 所示，请读者注意图中各部位所表示的物理量。(2)波速 ，波动方程为： 厘米根据波动方程，可得表格如下（ 值是假定的）：x00+10

11、0-100-100+100-10根据表格，可得图 75。图中实曲线对应于 秒时刻的的波形曲线。请读者注意波形曲强各部位所表示的物理量从图可见：把 时刻的波形曲线沿 轴正方向平移 即为 时刻的波形曲线，即（厘米）综上所述，可知波的传播速度可形象化地视为波形曲线沿 轴的平移速度；波的传播可形象化地视为波形曲线的平移。（厘米）（厘米）2505007501000图 75例题 73 如图 76 所示，图中实曲线代表 时刻的波形曲线，虚曲线代表 秒时刻的波形曲线。巳知波沿 轴正方向传播。求：（1）O 点的振动方程；(2)波动方程；（3） 点在 时刻及 t=2 秒时刻的振动周相差 ；在 t=0 时刻，A 点

12、与 B 点( )的振动周相差 005图 76解：（1）要求振动方程就是求 、 、 ，由图可见 厘米; 秒时刻的波形曲线即是 t=O 时刻的波形曲线沿 轴正方向平移 而成。根据例题72，可知周期 T=4 秒，而圆频率 。A图 77设想把 t=O 时刻的波形曲线向 轴正方向作元平移 ，而移至如图 77 所示的虚曲线位置。由图可见，O 点的运动趋势沿 y 轴负方向，即 ,且 。有了这两个条件便可求出初相 。求初相 有如下两种方法： (A)旋转矢量法：由图 77 可见 （注意在“振动”一章质点沿 轴振动，旋转矢量是对 轴而言，而现在质点沿 y 轴振动，因此现在旋转矢量应当对 轴而言)。(B)分析法因为

13、只有 才能符合 所以 。综上计算，可见 点的振动方程为： （厘米） 。(2)：有了（1）为基础，现在的问题就是已知振动方程根据图 76求波动方程。由图可见波长 （厘米） ，而波速： （厘米/秒） 。波动方程： 或 。（3）A 点的振动方程为或根据“旋转矢量法” ，对于 时刻的波形曲线而言，与 A 点振动对应的旋转矢量跟 轴夹角为 ；对于 秒时刻的波形曲线而言，与 A 点振动对应的旋转矢量跟 轴的夹角为 。因此， 。B 点的振动方程为或根据“波动的旋转矢量推进倒转法”显见 答：O 点的振动方程为 （厘米） ；波动方程为 ； ； 。例题 74 已知 处质点振动图线如图 78 所示，波沿 轴正向传播

14、。（1） 写出 处质点的振动方程；（2） 若波长 厘米，写出波动方程。解：（1）由图 78 可见，振幅 厘米；周期 秒。圆频率 1 秒t(秒)（厘米）05图 78O05Ay图 79现用“旋转矢量推进倒转法”求初相 。由图 78 可知， ；质点振动速度 （根据导数的几何意义） 。作旋转矢量图，如图 79 所示。由图 79 可看出初相 。读者可试用“分析法”求初相 ，看答案是否相同。综上计算，可得 处质点振动方程（厘米） 。（3） 若 ，即波速 （厘米/秒）波动方程为： 。三 章节练习章节练习一一、选择题X(m)100-10Y(cm)10p1已知 的波形如图所示，波速大小 u=10ms-1，若此时

15、 p 点处媒质元的振动动能在逐渐增大，则波动方程为：( )A. (cm)； B. (cm)C. (cm)； D. (cm) 答案（B）2. 图 11-2 为一平面简谐波在 t 时刻的波形曲线，若此时 A 点处介质质元的振动动能在增大，则：ABCyxoA点处质元的弹性势能在减小；B. 点处质元的振动动能在增大；C. 波沿 x 轴正方向传播； D. C 点处质元的弹性势能在增大。 （）3. 关于波长的正确说法是：( )A 同一波线上，相位差为 2 的两个质元间的距离；B 同一波线上，振动状态相同的两点之间的距离；C. 在一个周期内波所传播的距离； D. 两个波峰(或波谷)的距离。4. 下列说法正确

16、的是：( )A. 波速表达式为 ，则波源频率越高，波速越大；B. 横波是沿水平方向振动的波，纵波是沿竖直方向振动的波；C. 机械波只能在弹性介质(媒质)中传播，而电磁波可以在真空中传播；D. 波源振动的频率就是波的频率，波源振动的速度就是波的传播速度。6. 驻波中相邻两波节之间各点，在振动时相同的是：( )A. 频率； B. 相位； C. 振幅； D. 振动速度 二、填空题1沿 x 轴正方向传播的平面波，波速 u=10ms-1，频率 HZ，振幅A=0.02m，t=0 时，坐标原点处媒质元的位移 y=0.01m，速度 ，则此波动方程为 y_。Y(m)X(m)O0.050.050.5U=10ms-12. 已知平面简谐波的波动方程 (SI)，则波长 _