高考平面解析几何专题突破

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1、高考平面解析几何专题突破高考平面解析几何专题突破第一部分 考试要求直线和圆的方程(1) 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。(2) 掌握两条直线平行与垂直的条件.两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。(3) 了解二元一次不等式表示平面区域。(4) 了解线性规划的意义.并会简单的应用。(5) 了解解析几何的基本思想，了解坐标法。(6) 掌握圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念。理解圆的参数方程。圆锥曲线方程(1) 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，

2、理解椭圆的参数方程。(2) 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。(3) 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。(4) 了解圆锥曲线的初步应用。（一）直线与圆知识要点直线的倾斜角与斜率 k=tg（ ） ，直线的倾斜角 一定存在，范围是0,） ，但斜率不一定存在。斜率的求法：依据直线方程 依据倾斜角 依据两点的坐标直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。 （斜率相等还有可能重合）两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。点到直线的距离公式。会用一元不等式表示

3、区域。能够解决简单的线性规划问题。曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。圆的标准方程：(xa)2+(yb)2=r2圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 注意表示圆的条件。圆的参数方程： 掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。(二)圆锥曲线1椭圆及其标准方程：双曲线及其标准方程：抛物线及其标准方程：4直线与圆锥曲线：注意点：（1）注意防止由于“零截距“和“无斜率“造成丢解（2）要学会变形使用两点间距离公式 ，当已知直线 的斜率 时，公式变形为 或 ；当已知直线的倾斜角 时，还可以得到 或 （3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算。（4）会在任

4、何条件下求出直线方程。（5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质解析几何中的一些常用结论：1.直线的倾斜角 的范围是，)2.直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是，斜率 k 随着倾斜角 的增大而增大。当 是钝角时，k 与 同增减。3.截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。4.两直线：L1: A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 L1L2 A1A2+B1B2=05.两直线的到角公式：L1 到 L2 的角为 ，tan= 夹角为 ，tan=| | 注意夹角和到角的区别6.点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。7.有关对称的一些结论 点（，）关于轴、轴

5、、原点、直线 y=x 的对称点分别是（，） ， （，） ， （，） ， （，）如何求点（，）关于直线 Ax+By+C=0 的对称点直线 Ax+By+C=0 关于轴、轴、原点、直线 y=x 的对称的直线方程分别是什么，关于点（，）对称的直线方程又是什么？如何处理与光的入射与反射问题？曲线 f(x,y)=0 关于下列点和线对称的曲线方程为：（）点(a.b) （）轴 （）轴 （）原点 （）直线 y=x （）直线 y=x （）直线 x 点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。点 P(x0,y0),圆的方程：(xa)2+(yb)2=r2.如果(x0a)2+(y0b)2r2 点 P(x

6、0,y0)在圆外；如果 (x0a)2+(y0b)2r 相离 d=r 相切 dr+R 两圆相离 dr+R 两圆相外切|Rr|0，且 m1即所求 m 的取值范围为 .（2）右准线 L 的方程为 设点 （）将 代入得又由题设知 由得 ，无解.（）将 代入得由题设得 由此解得 m2从而有 于是得到直线 的方程为 点评：对于（1） ，解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式 对于（2） ，以求解点 P 坐标 为方向，对已知条件 进行“数形转化“，乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本策略.二、“圆锥曲线的有关范围“之运用我们在学习中已经看到，椭圆、双曲线和抛物线的“范围“，是它们的第一几何

7、性质。事实上，我们研究“范围“，一在于认知：认知圆锥曲线特性；二在于应用：“应用“它们来解决有关问题。例、以 为焦点的椭圆 与 x 轴交于 A，B 两点（1）过 作垂直于长轴的弦 MN，求AMB 的取值范围；（2）椭圆上是否存在点 P，使APB120？若存在，求出椭圆离心率 e 的取值范围.解：（1）基于椭圆的对称性，不妨设定 为右焦点，M 在第一象限，则易得 ，设 A(a,0)，B(a,0)，则AMB 为直线 AM 到 BM 的角，又 利用公式得 此时注意到椭圆离心率的范围：00，y0根据公式得 整理得 又这里 代入得 此时注意到点 P 在椭圆上，故得 由得 由得 于是可知，当 时，点 P

8、存在且此时椭圆离心率的取值范围为 ；当 时，点 P 不存在.三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件“之运用在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根“来体现。因此，对于有关一元二次方程的判别式0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。例 1、已知椭圆的一个顶点 A(0,1)，焦点在 x 轴上，且右焦点到直线 的距离为 3，若斜率不为 0 的直线 l 与椭圆交于不同两点M、N，使 M、N 关于过 A 点的直线对称，求直线 l 的斜率取值范围。解：（既设又解）设右焦点 F(c,0)，则由 又

9、b1， 椭圆方程为 设直线 l 的方程为 ykxm 将代入得 由题意 且 点 P 坐标为 又根据题意知 M、N 关于直线 AP 对称，故有 于是将代入得 因此可知，所求 k 的取值范围为 .例 2、已知椭圆 C 的中心在原点上，焦点在 x 轴上，一条经过点 且方向向量为 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 x 轴于点 M，又 （1）求直线 l 的方程；（2）求椭圆 C 的长轴长的取值范围.解：（1）由题意设椭圆 C 的方程为 .直线 l 的方向向量为 亦为直线 l 的方向向量直线 l 的斜率 因此，直线 l 的方程为 即 （2）设 将直线 l 的方程与椭圆方程联立，消去 x 得由题设

10、 且 又这里 M(1,0)由 得 进而由得 由得 代入得 注意到由得 故由得 因而得 10 确定的不等式，另一方面又利用了颇为隐蔽的新设方程中的大小关系：ab0，双方联合推出2a 的范围.这里的不等关系的充分挖掘与应用，乃是解题成功的关键.四、“点在圆锥曲线内部的充要条件“之运用所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件为：1、 2、 3、 4、例、已知椭圆的焦点为 ，过点 且垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B， ，又椭圆上不同两点

11、 A、C 满足条件： 成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）设弦 AC 的垂直平分线方程为 ykxm，求 m 的取值范围.解：（1）由题设得 2a10，c4a5，b3，c4椭圆方程为 （2） （设而不解）设 则由题意得 故有点 A、C 在椭圆 上 两式相减得 由及所设得 弦 AC 的垂直平分线方程为 由题意得 注意到当 x4 时椭圆上点的纵坐标为 ，又点 在椭圆内部故得 于是由、得 所求的取值范围为 点评：此题解法充分体现了“以我为主“的思想。以我为主：以我所引入的参数诠释已知条件，以我所引入的参数构造弦的斜率，以我对这一解的认知决定解题策略.，本解法以运用自设参数为主而将所给的 ykxm 放

12、在十分次要的位置，从而使我们一直沉浸在所熟悉的探索中，待抬头看题设时，解题已经胜利在望。想一想：这里为什么可以不用直线方程 ykxm 与椭圆方程联立。五、“圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系“之运用“相等“与“不等“是辩证的统一，根据“相等“与“不等“之间相互依存的辩证关系，椭圆与双曲线定义中显示了明朗的“相等“关系，那么必然蕴含这隐蔽的“不等“关系。因此，对于椭圆或双曲线的探求范围问题，适时认知并发掘出本题的不等关系，往往成为解题成败的关键环节。圆锥曲线的定义中隐含的不等关系主要有：1、 2、 例、已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，若在其左支上存在点 P 且点 P 到左准线的距离与

13、 成等比数列，求离心率 e 的取值范围.分析：寻求 e 的范围的一般途径为（1）认知或发掘出本题的不等关系；（2）将（1）中的不等关系转化为关于 a,b,c 的不等式；（3）将（2）中的不等式演变为关于 e 的不等式，进而通过解这一不等式导出所求范围.其中，有关双曲线上点 P 处的两条焦点半径 的问题，定义中明朗的等量关系： 是认知或求值的理论基础；而定义中隐蔽的不等关系： 则是寻求参量范围的重要依据。解：（1）确立不等关系注意到这里 （2）不等关系演变之一设左支上的点 P 到左准线的距离为 d，则由题意得 （变形目的：利用第二定义，寻找两焦半径与 e 的联系） 又点 P 在双曲线左支上 （点

14、 P 在左支这一条件的应用） 由解得 将代入得 （3）不等关系演变之二：由得 故解得 于是可知，所求离心率 e 的范围为 第三部分 直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习之一）众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化； （2）对于交点坐标的适当处理。本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。一、条件或目标的认知与转化解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而，转化的基础是认知-认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可以着力实