《2017-2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.2 椭圆方程及性质的应用课件 新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.2 椭圆方程及性质的应用课件 新人教a版选修1-1（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 椭圆方程及性质的应用类类型一 直线线与椭圆椭圆 的位置关系【典例1】对对不同的实实数值值m,讨论讨论 直线线y=x+m与椭圆椭圆+y2=1的位置关系.【解题指南】联立两个方程 消去y得到关于x的二次方程 求 讨论得结论【解析】联立方程组得: 将代入得:+(x+m)2=1,整理得:5x2+8mx+4m2-4=0.=(8m)2-45(4m2-4)=16(5-m2).当0,即- ,方程无实根,直线与椭圆相离.【延伸探究】若把本例中直线线方程改为为“y=2x+m”,椭圆椭圆 方程改为为 =1,试讨论试讨论 直线线与椭圆椭圆 的位置关系.【解析】联立方程组得:将代入,并整理得9x2+8mx+2
2、m2-4=0,=(8m)2-49(2m2-4)=-8m2+144.(1)由0,得- ,也就是当m 时,方程没有实数根,可知方程组没有实数解,这时直线与椭圆没有公共点,即直线和椭圆相离.【方法总结总结 】直线线与椭圆椭圆 位置关系的判定方法(1)将直线线方程与椭圆椭圆 的方程联联立,消去一个未知数y(或x),得到关于x(或y)的一个一元二次方程.(2)利用一元二次方程根的判别别式,根据0,0,所以5k21-m恒成立,所以1-m0,即m1.又因为椭圆的焦点在x轴上,所以00,则x1+x2= x1x2=0.方法三:由方程组 消去x得3y2+2y-8=0,因为=22+438=1000,则y1+y2=-
3、 ,y1y2=- .【方法总结总结 】直线线被椭圆椭圆 截得的弦长长的求法思路(1)求两交点坐标标,转转化为为两点间间距离.(2)用公式来求.设设直线线斜率为为k,直线线与椭圆椭圆 两交点为为A(x1,y1),B(x2,y2),则则|AB|= |x1-x2|= |y1-y2|.提醒:在解决直线线与椭圆椭圆 相交问题时问题时 ,一般要消元化为为一元二次方程,常用根与系数的关系,此时时易忽视对视对 所化一元二次方程判断判别别式大于0.【巩固训练训练 】椭圆椭圆 =1(ab0)的离心率为为 且椭圆椭圆 与直线线x+2y+8=0相交于P,Q,且|PQ|= 求椭圆椭圆 的方程.【解析】因为e= ,所以b
4、2= a2.所以椭圆的方程为x2+4y2=a2.与x+2y+8=0联立消去y,得2x2+16x+64-a2=0,由0,得a232,由弦长公式得10= 64-2(64-a2).所以a2=36,b2=9.所以椭圆的方程为 【补偿训练补偿训练 】已知斜率为为1的直线线l过椭圆过椭圆 +y2=1的右焦点F,交椭圆椭圆 于A,B两点,求弦AB的长长.【解析】设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由椭圆方程知a2=4,b2=1,所以c= 所以F( ,0),所以直线l的方程为y=x- ,将其代入椭圆方程,并化简、整理得5x2-8 x+8=0,所以 所以类类型三 与椭圆椭圆 相关的中点弦问题
5、问题【典例3】过椭圆过椭圆 =1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求此弦所在的直线线方程.【解题指南】可以设出所求直线方程,然后代入椭圆方程,消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解;也可以考虑利用点差法求解.【解析】方法一:由题意知过点M的弦所在直线的斜率存在,设为k,则所求直线方程为y-1=k(x-2).代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个根,于是x1+x2= 又M为AB的中点,所以 解得k=- .故所求直线的方程为x+2y-4=0.方法二:设
6、直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1x2.又M(2,1)为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2.又A,B两点在椭圆上,则x124y12=16，x224y22=16. 两式相减得(x12-x22)4(y12-y22)=0.于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.所以 即kAB=- .又直线AB过点M(2,1),故所求直线的方程为x+2y-4=0.【方法总结总结 】解决椭圆椭圆 中点弦问题问题 的两种方法(1)根与系数的关系法:联联立直线线方程和椭圆椭圆 方程构成方程组组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标标
7、公式解决.(2)点差法:利用端点在曲线线上,坐标满标满 足方程,将端点坐标标分别别代入椭圆椭圆 方程,然后作差,构造出中点坐标标和斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆椭圆 =1(ab0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线线段AB的中点,则则 【巩固训练训练 】(2017宝鸡鸡高二检测检测 )已知椭圆椭圆x2+2y2=4,则则以(1,1)为为中点的弦的长长度为为 ( )【解析】选C.易知该弦所在直线的斜率存在.由题意可设y-1=k(x-1),所以y=kx+1-k.代入椭圆方程,得x2+2(kx+1-k)2=4.所以(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k
8、)2-4=0.由x1+x2= =2,得k=- ,所以x1x2= .所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4- 所以|AB|= 【补偿训练补偿训练 】(2017武汉汉高二检测检测 )已知过过点A(-1,1)的直线线l与椭圆椭圆 =1交于点B,C,当直线线l绕绕点A(-1,1)旋转时转时 ,求弦BC中点M的轨轨迹方程.【解析】设直线l与椭圆的交点B(x1,y1),C(x2,y2),弦BC中点M(x,y),则 -,得 所以(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.当x1x2时, 所以式可化为(x1+x2)+2(y1+y2) =0.所以2x+22y =0,化简得x2+2y2+x-2y=0.当x1=x2时,因为点M(x,y)是线段BC中点,所以x=-1,y=0,显然适合上式.综上所述,所求弦BC中点M的轨迹方程是x2+2y2+x-2y=0.【课课堂小结结】1.知识总结识总结2.方法总结总结解决直线线与椭圆综椭圆综 合问题问题 的常用方法(1)判断直线线与椭圆椭圆 的位置关系可使用代数法.(2)解决弦长问题长问题 ,一般应应用弦长长公式.(3)解决弦中点问题问题 常用点差法.
