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1、1瞬态横向振动桩的瞬态横向振动桩的 WinklerWinkler 参数参数刘东甲 王建国（合肥工业大学，合肥，230009）摘要：应用 Fourier 变换，推导了瞬态横向振动桩桩周土阻力在频率域中的 Baranov 公式，并得到瞬态横向振动桩 Winkler 参数 k 和 c 的表达式。该 式因计算复杂不便桩瞬态横向振动的计算，本文应用 Hankel 函数渐进展开式得到 k 和 c 的简化式。对桩的瞬态横向振动的计算表明，简化式的精 度满足要求，且大大提高了计算速度。 关键词：瞬态横向振动；桩；Winkler 参数；Fourier 变换。1 前前 言言研究桩顶受到横向冲击时桩的瞬态横向振动问
2、题，需考虑桩周土对桩的作用。较简单的办法是把桩 周土当作 Winkler 地基1，2，即用一系列并联的弹簧和粘壶表示土对瞬态横向振动桩的作用，Winkler 参 数 k（单位长度桩周土弹簧刚度系数）和 c（单位长度桩周土粘壶阻尼系数）通过对桩顶横向振动速度导 纳曲线的反演得到2。另一方法由 Baranov 开创，并由 Novak 发展3。Baranov 得到相当于无限弹性介质 中无限长圆形刚杆沿垂直于杆轴线的一固定方向作简谐振动时桩单位长度土阻力公式，本文称之 Baranov 公式。Novak 把 Baranov 的结果推广到粘弹性介质情形4，并研究了层状土中有限长桩当桩顶受到横向简 谐力作用
3、时桩的简谐振动5。由 Baranov 公式容易得到 Winkler 参数 k 和 c 的表达式，它们含多个 Hankel 函数，且与桩横向振动 频率有关。但对于桩顶受到横向冲击时桩的瞬态振动问题，频率范围为零至数千赫兹，上述 k 和 c 的表达 式因计算量太大而不实用。本文将应用 Fourier 变换，推导桩瞬态横向振动所受土阻力的频率域中的 Baranov 公式，并研究出 k 和 c 的实用的简化式。简化式不含 Hankel 函数，且与振动频率无关，为桩的 瞬态横向动力响应的研究提供了极大的方便。2 2 桩瞬态横向振动所受土阻力的频率域中的桩瞬态横向振动所受土阻力的频率域中的 Baranov
4、Baranov 公式公式假设：桩为无限长刚性圆杆（半径为 r0）；土为无限均匀各向同性弹性介质；桩土界面两侧位移连 续；桩沿垂直于轴向的确定方向（设为 x 轴）作平动振动（见图 1），振动方程为y u = u(t) ex (1) e er 式中 ex 为 x 方向的单位矢量；这里不用像文献3，4 r0 那样对桩作简谐振动的假设；此外，对桩土低应变振 u(t) x 动，桩周土为弹性介质的假设是合理的6，7。 o u(t) 在这些假设条件下，桩周土作平面应变振动，其 u(t) 位移 u 与轴向坐标 z 无关，圆柱坐标下，它表为 u = urer+ue (2) 图图 1 1 桩的横向振动桩的横向振动
5、Fig.1 Lateral vibration of pile式中 er和 e分别是径向和切向的单位矢量；u 在圆周上满足边界条件(3) sin)(),(cos)(),(00tutrututrurrrrr在桩周土介质中(4)rrurur 12式中 拉梅势和与 z 无关，且满足标量波动方程8(5)2222222211tvtvsl式中 vl和 vs分别为桩周土的纵波速和剪切波速，它们由桩周土的拉梅常数、剪切模量 Gs和密度s表 示；2为二维拉普拉斯算符22222 211 rrrrvl=(+2Gs)/s1/2 , vs=(Gs/s)1/2 (6)对式（5）第一式作 Fourier 变换，得(7)22
6、22 22222 /,011lvrrrr 式中 为圆频率，=(r,)为(r, ,t)的 Fourier 变换。应用分离变量法解方程（7）， 并 取发散波9，10，则得(8)sincos)(11)2(mBmArHm式中 A1和 B1为待定系数，m 为非负整数，Hm（2）(x)为第二类 Hankel 函数。 同理，得式（5）第二式在 Fourier 变换域中的解(9)sincos)(22)2(mBmArHm式中 A2和 B2为待定系数，为的 Fourier 变换，且 (10)222/sv由式（3）和（4）可见，式（8）和（9）应取如下形式 = A1H1(2)(r)cos = B2H1(2)(r)s
7、in (11)将式（11）代入 Fourier 变换后的式（4），得 Fourier 变换域中的位移分量Ur = A1H0(2)(r)-H1(2)(r)/rcos +B2H1(2)(r)/rcos U = A1H1(2)(r)/rsin - B2H0(2)(r)-H1(2)(r)/rsin (12)再将上式代入 Fourier 变换后的式（3），解得系数 A1和 B2A1 = U()r0H0(2)(r0)-2H1(2)(r0)/ B2 = U()r0H0(2)(r0)-2H1(2)(r0)/ (13) = r0H0(2)(r0)H0(2)(r0)-H0(2)(r0)H1(2)(r0)-H1(2
8、)(r0)H0(2)(r0) 式中 U（）为 u(t)的 Fourier 变换。 瞬态横向振动桩单位长度土阻力(方向沿 x 轴，见图 2，暂不涉及图中的弹簧和粘壶)(14)2000sincosdrrrrrrs式中 应力分量11(15) r srrr sru rru ruGu rru ruG1123将式（12）代入 Fourier 变换后的式（15）和（14），化简得瞬态横向振动桩单位长度土阻力的Fourier 变换式Rs = -2svs2a0hU() (16)式中 (17)()()()()()()()()()()()(4 210)2( 00)2( 000)2( 10)2( 00)2( 00)2
9、( 10)2( 00)2( 100)2( 10)2( 000)2( 10)2( 1 aHaHaaHaHaHaHaHaHaaHaHaaHaHh 式中 a0为无量纲频率 a0 = r0/vs (18) y r r 为土中剪切波速与纵波速之比，是泊松比 的函数11 = vs /vl = (1-2)/(2(1-)1/2 (19) r0 k 式（16）中负号表示桩受到的土阻力与桩横向振动位 o x 移方向相反。 c 用如下二式9 H0(2)(x) =2H1(2)(x)/x-H2(2)(x) 图图 2 2 土对桩的作用土对桩的作用H1(2)(x) = xH0(2)(x)+H2(2)(x)/2 (20) F
10、ig.2 Soil reaction on pile 将式（17）化为另一形式(21)()()()()()()()(0)2( 20)2( 00)2( 00)2( 20)2( 20)2( 10)2( 10)2( 21aHaHaHaHaHaHaHaHh 上式与 Baranov 研究的刚性基础作简谐振动时土阻力公式的对应部分基本一致3（文3中公式（2）内三 个 Hankel 函数的自变量有错误），因此，这里称式（16）为桩横向振动土阻力在频率域中的 Baranov 公 式。顺便指出，式（17）虽然较式（21）复杂，但因不用计算 H2(2)(a0)和 H2(2)( a0),使其计算量较式 （21）减少约三分之一。3 3 瞬态横向振动桩的瞬态横向振动桩的 WinklerWinkler 参数表达式及其简化式参数表达式及其简化式3.13.1k k和和c c的表达式的表达式当把桩周土当成 Winkler 地基时（见图 2 中弹簧和粘壶的并联），瞬态横向振动桩单位长度土阻力为(22) dtduckurs式中 k 和 c 分别为单位长度桩周土弹簧刚度系数和粘壶阻尼系数，简称 Winkler 参数。上式的 Fourier 变换表达为Rs = - (k+ic)U(
