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1、數數 位位 訊訊 號號 處處 理理 架架 構構 設設 計計期期 末末 報報 告告壹、概論DSP 的產生是起於類比信號處理系統的工程師，希望在建造昂貴的系統硬體前，先模擬它們性能。DSP 必須仰賴高速電腦和大多數的數學演算法則。自這些演算法則被確立後，設計者開始找尋可以讓電腦更有效率的電腦結構。隨著數位信號處理的快速發展，越來越多的信號處理用全數位化的方式來進行，即以數位方式來表示、儲存、運算各種信號及信號處理過程中所涉及的各項參數。但在數位的運算上，與加法和減法比起來，乘法不論捋行硬體或軟體的方式都是一個複雜的運算，乘法器的硬體複雜度遠比加法器或 delay、shift register 等為
2、高，所需的運算時間也較長，因此在做各種數位信號處理架構設計時，我們都希望能儘量避免乘法運算。利用數位資料二進位的特性，我們可以用 shift register 把一個數左/右移動一位，達到把它乘/除以 2 的效果。因此如果我們把一個filter 的 impulse response 表示成 2 的次方項的和，這個 filter 在實作上就只需要使用加法器和 shift register 以移動 input x(n)達成乘或除以 2 的次方的效果，頂多只需要一個乘法器來把它的 impulse response 正規化成我們可以表示的範圍即可，跟直接 implement 時impulse resp
3、onse 的每一項係數都需要一個乘法器相比，大大的降低了硬體的複雜度。本篇報告的主題是 Signed Power-of-Two Term Allocation Scheme for the Design of Digital Filters。眾所皆知的，如果將數位濾波器的每一個係數值用 signed power-of-two (SPT) 來組成，那實現這個數位濾波器將不需要乘法器。過去幾年，大部份所提出設計數位濾波器的方法，皆是用相同數目的二的次方項( SPT terms )來表示係數。但是在很多的應用上，並不是一定要用相同數目的二的次方項來表示係數，這篇 Paper 提出了一個對每一個係數分
4、派二的次方項的新方法，它可以最小化整個數位濾位器 二的次方項( SPT terms )的總數，也就是說，當保持整個二的次方項( SPT terms )的數目個定，我們可以用不同數目的二的次方項( SPT terms ) 來表示係數值，進而最小化整個數位濾位器二的次方項( SPT terms )的總數。貳、系統架構圖用此種方法所實現的 FIR filter，其組織架構大致如下:（L+1 為filter length，N=2 個 SPT terms）：x(n)normalizex(n-1)y(n)x(n-L)delaydelaydelayShift register ( 0 1 )Shift re
5、gister ( 0 2 )Shift register ( 1 1 )Shift register ( 1 2 )Shift register ( L 1 )Shift register ( L 2 )running summer即，我們用 2 的次方項的和來組成 impulse Lkkhknxny0)()()(response ，將它表示成的形式，其中kmpNmkmskh2)(1，而。以上參數的意義為，我們最多用1 , 0 , 1kms,.,1MpkmN 個 2 的次方項來組成一個 impulse response 的係數（上頁圖中所畫的 N=2，impulse response 的每一項
6、都是由兩個 2 的次方項相加組成），而我們可以用的組成元件就只限於共 M 種。我們設M221計的目標是，找到最好的和的組合，和最適當的 normalize kmskmpfactor，使得我們用數位的方式所組成的 filter response，和原來的h(n)最相近。以下將分別介紹2 的次方項和這個數列的數學特性、以及如何找到最佳的組合方式。參、 2 的次方項和的數學特性以下我們介紹的數學特性，其中， Nmp kmkms121 , 0 , 1kms，N 為我們用來組成一個數所用的最多2 的次方項,.,1Mpkm( SPT terms )數，為我們所用的 2 的次方項中最小者。M2【特性一】 2
7、 的次方項和在數列上不是均勻分布，數值越大，其分布的空隙越大。這一點是很直觀的，因為在項裡，n 值越大，相鄰的兩項（n2和）差距就越遠。所以幾個項的和，在數值比較大的部分，n2)1(2nn2會呈現兩個可以被表示的數之間跳了一大步，而在這一大步中的所有的數，我們完全無法表示它們的情形。有趣的是，如果我們用的項數不變（N 不變） ，即使我們把能夠表示的 resolution 不斷加大（M） ，這個情形並不會改善，唯一可能改善這個情形的方法，是採用更大的 N 值（用更多 2 的次方項） 。在下圖中做了 N=2 時（最多用兩項 2 的次方和） ，用不同 M 值所能表示的數，圖中的橫軸為可表示的數，縱軸
8、為 M 值，比較不同的 M 值之下兩個 2 的次方項和，我們發現在接近 0 的部分，M 值越大，所能表示的數就越密，但是在 0.75 附近卻明顯有一個”溝”，而且 M 值的增加並沒有明顯改善這個”溝”。 M接下來我們比較不同 N 值所造成的效果，下圖中我們取 M=6，對 N=2 和 3 做圖。 0 2 4 6 8 5 6 7 8 9 3N 在上圖中，我們發現了相當奇妙的效果，在 M=6 的時候，我們能使用的組成元件種類其實不多，只有 6 種（）但是當6122我們使用其中的三項（N=3）來組成一個數時，似乎就可以在 1-1之間得到一個相當均勻的分佈，原先在 N=2 時觀察到的在 0.75 附近的
9、 ”溝”，縮小到幾乎看不見。所以由此可知，增加使用的項數 N 對增加我們用2 的次方項所能組成的數的 resolution (M)，有非常好的效果。因為當 N=2 時，我們是從 M 個成分中取 2 項，再考慮正負號或只用 1 項（另一項係數為 0 時）的情形，總共可組成個數值；而當 N=3 時，我們是從 M 個成分中取 3 項，)2()2(12 2MMCC或 2 項，或 1 項，總共可組成個數值，增加)2()2()2(12 23 3MMMCCC了相當多的數值。【特性二】如果我們想要用最少的項數來表示一個數值，那在這個最簡單的表示法中，相鄰的 2 的次方項（例如和）的係n2)1(2n數至少要有一
10、個為 0，也就是說不可能有連續的不為 0 的係數。01110- 11- 101這一點可以用數學式子說明：1.考慮相鄰兩項係數為同號的情形，1) 1( )( nSnS則它們可化簡如下：nnnnnSnSnSnS2)( 2) 1( 2) 1( 2)( 212.考慮相鄰兩項係數為異號的情形，1) 1( )( nSnS則它們可化簡如下：nnnnSnSnS2) 1( 2) 1( 2)( 1因此，由上面式子可知，並非所的數值都是 unique 的，我們在找 impulse response 的最佳表示法時，可以善用這個特性來減少需要尋找的組合數。【特性三】由於特性二所描述的化簡方式存在，因此我們使用M 個
11、2 的次方項成分（由）中的 N 項來組成其它的數字時，M221所能表示的數值其總數並非我們在特性一結尾時所描述的組合數，而是如下式：正好使用 N 項（所有係數皆不為 0）時，所有可能的組合數為： 101 )1(!2NkN NkMN在 paper 上是使用數學歸納法來證明此式。肆、用2 的次方項和來組成 filter impulse response 的方法首先我們可以觀察到，在上一節的特性一的圖中， 2 的次方項和所能表示的數在 1-1 之間，因此我們應該把 filter 的 impulse response 正規化至 1-1 之間，這便是在第貳部分的圖中，唯一的一個乘法器的由來，既然我們將
12、impulse response 除以一個 normalize factor 了，送進來的信號就應該先乘上這個 normalize factor，才能讓輸出的信號就是我們真正要的值。至於 normalize factor 應該要取多少呢？一個簡單的想法是將整個 impulse response 除以其中絕對值最大的那一項，把它 normalize 成 1 或-1，但是這裡還有一些改進的空間，我們可以找到一個最適當的 normalize factor，詳述如下：因為在接近 1 的地方，其實2 的次方項和所能表示的數值是較不密集的，且如果我們使用的組合成分中不包含，我們甚至02沒有辦法組成 1 這
13、個數字，因此把 impulse response 中最大的一項normalize 成 1，可能不是一個好方法。因為2 的次方項和所能表示的數值不是 uniformly distributed，我們應該嘗試許多不同的normalize factor，最後選用會產生最小誤差的那一個，通常不同的impulse response，能產生最小誤差的 normalize factor 也不相同。至於我們嘗試的範圍應是多大呢？在 paper 上是選用 normalize 過後，impulse response 的最大項絕對值在 0.51 之間為範圍，且我們可以把 normalize 過的 impulse r
14、esponse 和它的2 的次方項和近似都乘以 2，得到另一個一樣的結果。至於在這個範圍內，我們搜尋的 step應該定得多細，就要看搜尋時間和結果的最佳化兩者之間的 tradeoff了。至於我們應該使用怎樣的 N 和 M 值呢？根據 paper 上所述，M值通常決定在 815 之間，而 N 值對近似結果影響較大，因此在指定時的考慮也比較多，分析如下：1. 因為2 的次方項和有數值越大，空隙就越大的特性，且這個特性必需要靠 N 的增加才能消除，因此在normalize 過後 h(n)比較大的項，我們應該用比較多的項( N )來近似它，以減小 quantization error。在 Paper
15、上所提供的策略是，當 normalized h(n)0.5 時，我們就多用一項來近似這個值。而做如此的改變所增加的總項數其實不會很多，因為真實存在的filter impulse response 通常是 sin(x)/x 的形式，normalize 過後，h(n)0.5 的其實只有少數幾項。2. 一般來說，整個近似表示法使用的 N 值加 1 會造成 filter在實作時每一路都多一個 shift register，是蠻大的成本，因此要慎重考慮。伍、結綸：伍、結綸：如果將數位濾波器的每一個係數值用 signed power-of-two (SPT) 來組成，那實現這個數位濾波器將不需要乘法器。大部份設計數位濾波器的方法，皆是用相同數目的 二的次方項( SPT terms )來表示係數。這篇 Paper 提出了一個對每一個係數分派二的次方項的新方法，它可以最小化整個數位濾位器 二的次方項(SPT terms)的總數，也就是說，當保持整個 二的次方項(SPT terms) 的數目個定，我們可以用不同數目的 二的次方項(SPT t
