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1、怎样促进学生建构变化率概念的意义怎样促进学生建构变化率概念的意义对两节变化率课的反思对两节变化率课的反思河北师范大学数学与信息科学学院 陈雪梅 宁波大学教师教育学院 邵光华1 1引言引言 变化率是建立数学重要概念导数的基石，对理解导数概念及其几何意义有着重要作用。新课标对此有明确阐述：通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。可见，变化率是一个重要的过渡性概念，是“进军”导数的必经之路。
2、对变化率概念意义的建构直接影响导数概念的学习。那么，实际教学中，教师是怎样帮助学生建构变化率概念意义的呢？本文结合两节变化率的课堂教学情况做一分析探讨，以期为广大教师进行变化率教学提供些参考。2 2教师对变化率教学任务的组织和实施分析教师对变化率教学任务的组织和实施分析我们依据先行组织者理论和课堂上数学任务的认知分析对两节关于变化率的课堂教学进行分析。本内容的学习从学生认知结狗沟慕嵌壤唇彩粲凇跋律衔还叵笛啊保?/SPAN即先行组织者为下位观念，新学习内容为上位观念。组织者类属于新学习内容。这样的教学内容在教学策略上一般采用“逐级归纳”，就是说先讲包容性最小、抽象概括程度最低的知识，然后再根据包
3、容性和抽象程度递增的次序逐级将教学内容一步步归纳，并最终归入到学习者原有认知结构的某一层次之中，并类属于包容范围更广、抽象概括程度更高的概念系统之下。从两节课来看，教师都组织了类似的学习任务，相同的有“气球的膨胀率”，“高台跳水在一段时间内的平均速度”，这两个任务就是学习变化率概念的先行组织者，是进一步归纳出更高抽象的形式化的变化率概念的认知“固着点”。教师 A 在这两项任务之前还增加了“比较一段时间内两个人经营成果”的任务。应该说，两位教师都为学生学习变化率概念选择了很好的问题，进行了教学任务的有效组织，但是，在问题的分析处理上欠缺工夫。下面我们从任务的认知要求以及任务的实施两个方面对教学过
4、程进行深度分析。教师教师 A A主要组织了三项数学任务。任务 1“甲用 5 年时间挣到 10 万元，乙用 5 个月时间挣到 2 万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?”该任务本身没有明确所利用的算法程序，从认知要求上看，可以看作一个意义有联系的程序型任务1。这个问题可以较好地让学生通过解题体验评价两个人的经营成果不仅要考虑收益的多少，而且要关注在相同时间内的收益，具体有三种比较方式：将乙由 5 个月扩大 10 倍近似看成 5 年而经营成果同比扩大到 20万，将甲近似缩小 10 倍近似看成 5 个月而经营成果同比缩小为 1 万元，都转化为单位时间（一年或一个月）挣多少？即估计增长率，而这正是
5、教师设计这个问题的用意 所在或所期望的回答.教师在实施这项任务时，对学生提出利用乙 5 个月挣 2 万的事实求出他 5 年可以挣 20 多万的比较方法没有给以任何评价反馈，而是直接提问“有没有其他的评价方法？”在学生提出利用每个月的所得来比较两人的经营成果的建议后，也只是以计算出结果结束任务。这表明教师把重点从意义、概念或理解转向了答案的正确性或完整性方面，使得学生学习过程实际上下降为一项意义无联系的程序型，从而失去了一次良好的让学生利用增长率的模型建构平均变化率意义的机会。不仅如此，教师在其后的概括总结中，这样说：“其实生活当中，这样的变化率问题是很多很多的，比如我们每天生活在校园里面，是不
6、是每天都要去买菜?是吗?有没有发觉从去年下半年开始我们的菜价（生答：涨价了），油价?肉价?米价?面价?是不是价格都在这么上升啊?其实所有的这些问题都是我们生活当中的变化问题。”更让人无法弄清这节课是研究运动的变化呢？还是变化率，即变化的快慢？这段总结显得非常随意，而且显示出教师对变化率概念理解的不准确。我们这里不是想让学生感受现实生活中的变化，而是希望让学生感受变化有快慢，而衡量快慢指标的数学意义就是变化率。任务 2“吹气球过程中气球膨胀率问题”。从认知要求上看，是介于做数学与程序型意义有联系之间的一项任务。即任务虽然旨在寻求计算膨胀率的程序，但要求学生探索和理解所观察现象的数学本质，并建立数
7、学关系，要求学生必须启用相关的知识和经验，并在任务完成过程中恰当使用。总的目的是为了发展学生对平均变化率概念的理解。这类问题最初容易让学生因为某种模糊不清而感到不适，通常需要教师合理地搭建脚手架。在任务实施过程中，教师的分析直接指向了操作程序：“吹的过程中，体积是不是越来越大，半径越来越大，但是气球长大得却是越慢，现在着重想研究的是这个半径为什么会后面增加的越来越慢? 那你能不能从数学的角度来描述一下这个问题呢?” “我们有没有学过半径跟球的体积比?”“那为什么会增加的越来越慢，我们吹入的气体，一口气一口气这样的吹，体积进去的是一样的啊。好，那么很自然的应该想到，我们应该把 r 拿出来，是吧?
8、那我能不能根据这个（球体积）公式把 r 等于多少 V 的式子拿出来?”“在这个过程当中我们发现气球半径增加了，那请问这个气球的平均膨胀率为多少呢?只要把半径的增加量，除以什么啊?体积的增加量，是不是就是每升，气体每升，体积增加每升的时候，它的半径大概增加”，在教师的引导下，分别计算出从开始吹（体积为 0）到体积增加到 1 时的以及从 1 增加到 2 时的平均膨胀率，让学生从理论上确认的确是小了。最后，引导学生用一般的代数式来表示计算平均膨胀率公式。教师在处理这个教学任务时，没有引导学生根据物理现象的快慢感受“变化”有快有慢，并引导学生寻找刻画气球长大快慢的数学表示（用率表示），而是直接从求气球
9、长大的越来越慢过渡到抽象的半径增加的越来越慢，使任务演变成研究“为什么会后面增加的越来越慢”，在这个研究过程中教师几乎是直接告诉学生计算平均膨胀率的操作程序，使这项数学任务无形中降低为简单的程序型任务。任务 3“高台跳水问题，求某个时间段内的平均速度”。从认知要求上看是介于记忆型和无联系的程序型之间的一项任务。任务背景中涉及变速曲线运动的位移、速度、时间等概念，是学生在高中物理学习中接触过的，因此较熟悉，问题中也明确给出了位移和时间的函数关系式，但放在高台跳水的情境下，解决问题仍需一定的认知努力。从现场教学看，学生在处理这个问题上几乎没有遇到任何困难，很快地计算出结果。但是，在这个问题的处理分
10、析上，教师同样没有揭示平均速度是谁的变化率。学生难以感受到变化率的意义不同的时间段位移变化的不同。总之，从教学过程看，教师 A 更多地关注了数学符号表达式的变形，以及如何计算平均变化率，而不是关注学生对平均变化率意义的建构，教师对平均变化率的几个具体模型的意义阐述也不够准确。这可从学生对教师给出平均变化率定义后的问题“我们前面讲了那么多问题实际上是不是都在计算这个平均变化率问题啊？”的“低声细语”式的回答看出。两点确定的直线的斜率可以看作平均变化率的几何意义，但还应联系物理等实际问题让学生了解平均变化率的意义。这节课上影响教学任务在高水平上实施的主要因素是：（1）教师没有使用图像、图表等呈现方
11、式帮助学生建立抽象概念的意义。（2）教师把重点从意义、概念或理解转向答案的正确性或完整性。（3）教师对数学任务的启发和引导更多表现为直接告诉解答的程序。教师教师 B B任务 1 也是吹气球观察变化率问题，与教师 A 不同的是，教师 B 在任务实施中，面对学生对问题的不适，不是直接告诉解题的程序，而是搭建脚手架，启发学生关注函数图像进行思考。这些是好的方面。任务 1 作为一个先行组织者的角色，包含了新学习内容的程序方面的和概念意义方面的要素。但遗憾地是，教师没有围绕这个固着点不断进行归纳。“接下去如果我在这个函数上自变量分别取两段，我们来研究一下它们的增长有什么不同？为了弄清出这个问题我们先来看
12、几个数学概念。”教师 B 较生硬地引入变量的增量的概念，并没有体现对原有认知的归纳概括。引入变量的增量概念后，又花了较长时间分三种情形（x 相同；y 相同；x 和y 都不同。）讨论，接着又引入平均变化率的概念，在抽象概念介绍完之后又重新解决膨胀率问题，似乎没有变量增量的概念、以及平均变化率的概念，这个任务就无法解决，这显然颠倒了整个教学顺序。因为没有很好地让学习者认识到当前所学内容与自己头脑中原有认知结构的哪一部分有实质性联系，没有在学生心理上营造起恰当的愤悱状态，教学组织始终感觉在牵着学生走。任务 2 是高台跳水运动员的平均速度问题。这也是一个先行组织者，是又一次让学生同化吸收平均变化率的具
13、体意义和算法程序的固着点。教师 B 在实施这项任务时似乎变成了验证平均变化率的算法程序。当从平均变化率概念引入瞬时变化率概念时，教师 B 没有利用从平均速度到瞬时速度的自然过渡，采取归纳的策略得出瞬时变化率，而是首先关注与瞬时变化率有关的区间的选择和形式表示，然后让学生计算当“t无限趋近于零”时的平均变化率，即瞬时变化率。当学生计算出结果后也没有向学生明确此时的瞬时变化率就是t=1 时的瞬时速度。瞬时变化率是一个更抽象的概念。这节课上，我们可以利用从平均速度到瞬时速度的发展和过渡，首先让学生了解为什么研究瞬时速度，以及研究问题的思想方法。利用这个具体情境，从图像上观察，从具体数值计算两个角度对
14、问题进行研究，然后再讨论一般的瞬时变化率概念和区间的形式表示。从先行组织者理论来分析，教师 B 在教学实施中的主要问题是：（1）没有很好地让学习者认识到当前所学内容与自己头脑中原有认知结构的哪一部分有实质性联系，反而容易让学生产生，似乎没有新概念和新的符号法则，原来的数学任务就无法完成。（2）没有利用几个先行组织者，充分展示平均变化率概念在不同情境下的具体意义和算法程序，因而学生虽然在这节课上学了很多新概念和运算程序，但是却不容易清楚这个抽象概念的意义。（3）没有突出知识背后蕴含的数学思想方法。这节课的内容包含许多重要的数学思想方法，例如数学理论发展中经常运用的抽象概括方法、“以直代曲”的转化
15、思想、极限思想、逼近方法等等。在这节课上，这些思想方法被形式化的概念和符号掩盖了。3 3对促进学生建构变化率概念意义的教学建议对促进学生建构变化率概念意义的教学建议31 增加学生进行数学交流和表达的机会2，特别强调对抽象符号表示的运算关系的意义或运算结果的解释。数学交流是学生以口头语言或书面语言的方式，建构对数学知识、思想、观念的理解和表达。这也是保持学生在高水平思维上思考问题的有力保证。在本课例中，我们不仅可以在 3 项数学任务实施过程中，让学生了解增长率、膨胀率、平均速度的数学（几何、代数）意义，而且可以在学习抽象的平均变化率概念后，让学生思考有否其它具体的事例，如物理中的密度、化学中的分
16、解率等，促进学生对平均变化率概念的意义建构。32 运用图像、表格和代数符号等多种表征方式呈现教学任务，促进学生在多种表现形式之间建立起有助于发展意义理解的联系。在本课例中，变化率概念可以从几何、代数两个方向进行发展。几何意义方面，可以先通过观察曲线在不同区间上的变化特征，比如有的区间上更“陡峭”，有的区间上较“平直”。进而渗透“以直代曲”的逼近思想，让学生明白用两点确定的直线的斜率来近似表示这段曲线在该区间上变化的快慢。代数意义方面，教师可以在学生解决增长率、膨胀率、平均速度等具体问题后，抽象概括出平均变化率的代数符号表示，即.33 充分发挥先行组织者的作用。先行组织者策略是新知识教学的一种基本策略。先行组织者的基本作用就是搭建起新知识与学习者原有认知结构中有关知识之间的桥梁，使得学习者可以用先前学过的材料去解释、融合和联系当前学习任务中的材料，从而有效地促进有意义学习的发生和习得意义的保持。与旧教材相比较，新教材上给教师和学生提供了更丰富的先行组织者资源，教师在备课时首先应研究这些材料与新知识的关系（例如上下位
