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1、专题四专题四第第 2 2 讲讲 椭圆、抛物线、双曲线椭圆、抛物线、双曲线解析几何解析几何考向预测考向预测1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点；2 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题；3.数学运算（数的运算、代数式运算）也是这里的考查要求之一知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d 为 M 点到准线的距离).2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：1(ab0)(焦点在 x 轴上)或1(ab0)(焦点在 y 轴上)；
2、x2 a2y2b2y2 a2x2 b2(2)双曲线：1(a0，b0)(焦点在 x 轴上)或1(a0，b0)(焦点在 y 轴上)；x2 a2y2 b2y2 a2x2 b2(3)抛物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系在椭圆中：a2b2c2；离心率为 e .c a1b2a2在双曲线中：c2a2b2；离心率为 e .c a1b2a2(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为 y x；焦点坐标 F1(c，0)，F2(c，0).x2a2y2 b2b a双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为
3、 y x，焦点坐标 F1(0，c)，F2(0，c).y2 a2x2 b2a b(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线 y22px(p0)的焦点 F，准线方程 x .(p 2，0)p 2抛物线 x22py(p0)的焦点 F，准线方程 y .(0，p 2)p 24.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为 k，直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|.1k21k2 （x1x2）24x1x2(2)过抛物线焦点的弦长抛物线 y22px(p0)过焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x
4、2，y1y2p2，弦长p2 4|AB|x1x2p.热点题型热点题型热点一 圆锥曲线的几何性质【例 1】 (2017山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为 F 的抛物线x2 a2y2 b2x22py(p0)交于 A，B 两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_.解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程：消去 x 得 a2y22pb2ya2b20，x2a2y2b21， x22py，)由根与系数的关系得 y1y2p，2b2a2又|AF|BF|4|OF|，y1 y2 4 ，即 y1y2p，p2p2p2pp，即 .2b2a2b2a21
5、2ba22双曲线渐近线方程为 yx.22答案 yx22探究提高 1.分析圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式.建立关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求 或 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.baab【训练 1】 (1)(2017全国卷)已知椭圆 C：1(ab0)的左、右顶点分别
6、为 A1，A2，且以线段 A1A2为x2 a2y2 b2直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.6333231 3(2)(2016北京卷)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为x2 a2y2 b2该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_.解析 (1)以线段 A1A2为直径的圆是 x2y2a2，直线 bxay2ab0 与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离 da，整理为 a23b2，即 .2aba2b2ba13e .caa2b2a1(ba)21(13)263(2)取 B 为双曲线
7、右焦点，如图所示.四边形 OABC 为正方形且边长为 2，c|OB|2，又AOB ，24 tan 1，即 ab.又 a2b2c28，a2.ba4答案 (1)A (2)2热点二 直线与圆锥曲线【例 2】 (2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求；|OH| |ON|(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.解 (1)如图，由已知得 M(0，t)，P，(t22p，t)又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N，
8、(t2 p，t)故直线 ON 的方程为 y x，p t将其代入 y22px 整理得 px22t2x0，解得 x10，x2，因此 H.2t2 p(2t2 p，2t)所以 N 为 OH 的中点，即2.|OH| |ON|(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点，理由如下：直线 MH 的方程为 ytx，即 x(yt).p 2t2t p代入 y22px 得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其它公共点.探究提高 1.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方
9、程的判别式来确定；2.弦长计算公式：直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|1k2，其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率.（x1x2）24x1x23.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件 0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练 2】 (2017北京卷)已知抛物线 C：y22px 过点 P(1，1)，过点作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两(0，1 2)点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点.(1)求抛物线 C 的方程
10、，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段 BM 的中点.解 (1)把 P(1，1)代入 y22px，得 p ，所以抛物线 C 的方程为 y2x，1 2焦点坐标为，准线方程为 x .(1 4，0)1 4(2)证明 当直线 MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线 MN(也就是直线 l)斜率存在且不为零.由题意，设直线 l 的方程为 ykx (k0)，l 与抛物线 C 的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2).1 2由消去 y 得 4k2x2(4k4)x10.ykx12， y2x，)考虑 (4k4)244k216(12k)，由题可知有两交点，所以判别
11、式大于零，所以 k0，b0)的一条渐近线方程为 yx，且与椭圆1 有x2 a2y2b252x2 12y2 3公共焦点，则 C 的方程为( )A.1B.1C.1D.1x2 8y2 10x2 4y2 5x2 5y2 4x2 4y2 33.(2017全国卷)已知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为FN 的中点，则|FN|_.4.(2017全国卷)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：y21 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 Px2 2满足.NP2NM(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3 上，且1.证
12、明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.OPPQ高频易错题1.(2016全国卷)设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，曲线 y (k0)与 C 交于点 P，PFx 轴，则 k( )k xA.B.1C.D.21 23 22.(2017全国卷)已知 F 是双曲线 C：x21 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标y2 3是(1，3)，则APF 的面积为( )A.B.C.D.1 3122 33 23.(2017邯郸质检)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点.若4，则|QF
13、|等于_.FPFQ4.(2017佛山调研)已知椭圆 E：1(ab0)的离心率为，右焦点为 F(1，0).x2 a2y2 b222(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)设点 O 为坐标原点，过点 F 作直线 l 与椭圆 E 交于 M，N 两点，若 OMON，求直线 l 的方程.精准预测题1.(2017新乡模拟)已知双曲线 C：1(a0，b0)的右焦点为 F，点 B 是虚轴上的一个顶点，线段 BFx2 a2y2 b2与双曲线 C 的右支交于点 A，若2，且|4，则双曲线 C 的方程为( )BAAFBFA.1B.1C.1D.1x2 6y2 5x2 8y2 12x2 8y2 4x2 4y2 62.(20
14、17石家庄三模)已知椭圆 C1与双曲线 C2有相同的左右焦点 F1，F2，P 为椭圆 C1与双曲线 C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆 C1与双曲线 C2的离心率分别为 e1，e2，且 ，若F1PF2，则双曲线 C2的e1 e21 3 3渐近线方程为( )A.xy0B.xy0C.xy0D.x2y033223.(2017潍坊三模)已知抛物线 y22px(p0)上的一点 M(1，t)(t0)到焦点的距离为 5，双曲线1(a0)的x2 a2y2 9左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行.则实数 a 的值为_.4.(2017郴州三模) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1(a
15、b1)过点 P(2，1)，且离心率 ex2 a2y2 b2.32(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 的斜率为 ，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求PAB 面积的最大值.1 2参考答案参考答案经典常规题1.【解题思路】方程1 表示双曲线，根据一元二次不等式可知 m，n 之间的不等关系，进而x2m2ny23m2n分别确定 m2n 和 3m2n 的正负，当然也可以分类讨论处理.【答案】方程1 表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m20)，即 2，所以 k2.故选 D.kxk12.【解题思路】(为到的距离).1 2APFSPFddAPF【答案】由 c2a2b24 得 c2，所以 F(2，0)，将 x2 代入 x21，得 y3，所以|PF|3.y23又 A 的坐标是(1，3)，故APF 的面积为 3(21) .故选 D.12323.【解题思路】过点
