布里渊区与能带,光学晶体局域态

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1、1，布里渊区与能带 2，光子晶体局域态(2008-03-26 12:51:28)转 载标签： 股票分类： 我的日志在波矢空间波矢空间中取某一倒易阵点为原点原点（通常为高对称点），作所有倒易点阵矢量的垂直平分面垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合 区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊 区；依次类推可得第三、四、等布里渊区。各布里渊区体积相等，简单立方、体心立方和面心立方简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体， 都等于倒易点阵的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反周期结构中的一切波

2、在布里渊区界面上产生布喇格反 射，射，在文献中不加定语的布里渊区指的往往就是它。对于电子德布罗意波，这一反射可能 使电子能量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化不连续变化。根据这一特点，1930 年 L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，因 此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波的状态，从此被称为布里渊区。第一布里渊区就是倒易点阵的维格纳赛茨元胞，如果对每一倒易点阵作此元胞，它 们会毫无缝隙的填满整个波矢空间。第一布里渊区就是倒易点阵的维格纳赛茨元胞，由 于完整

3、晶体中运动的电子、声子、磁振子、等元激发（见固体中的元激发）的能量和 状态都是倒易点阵的周期函数，从此被称为布里渊区。因此只需要用第一布里渊区中的波只需要用第一布里渊区中的波 矢来描述能带电子、点阵振动和矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波自旋波的状态。的状态。布里渊区的形状取决于晶体所属布喇菲点阵的类型。都等于倒易点阵的元胞体积。简 单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体，菱十二面体和截角八面体（十 四面体）。由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、等 布里渊区。它们都是对称的多面体，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原 点的一组面所围的闭合区称为

4、第一布里渊区；在第一布里渊区之外，并具有相应点阵的点点 群对称性，群对称性，这一特征使简约区中高对称点的能量求解得以简化高对称点的能量求解得以简化（见晶体的对称性）。在能带图中，在能带图中， 横轴为波矢，波矢轴上会有几个大写字母表示布里渊区的几个高对称性点，如高对称性点，如 X,X, M,M, K,K, W W 等等。 对这样的能带图，我的理解是这样的： 对于从波矢空间原点到其他点的方向上，能带图描 绘出沿着这一方向从 k=0 到布里渊区边界对于连续波矢值的能带曲线。 对于其他高对称性点，如在波矢轴上从 X 到 W,曲线描绘的是波矢末端从 X 变化到 W 时的能 带曲线，也就是沿着布里渊区的边

5、界。 所以能带图并不会表现出所有波矢对应的能带情况。这样画能带图的原因是，由于在布里渊区的边界会产生带隙，所以只需要这样画由于在布里渊区的边界会产生带隙，所以只需要这样画 就可以表现出全部需要研究的能就可以表现出全部需要研究的能 带情况了。带情况了。“如果是一个表示能带的平面图，横轴表示波矢，这个值是连续的，这就可以理解 为是在布里渊区内相应的波矢起点到终点的 一条线，有时是从中心到边界，有时是在边界 上。能带图都是计算出来的，往往画出来的是具有高对称性的那些位置往往画出来的是具有高对称性的那些位置，因为能带分布也反映了晶格分布。“Points of high-symmetryhigh-sym

6、metry on the Brillouin zone have specificimportance. The most important point for optoelectronic devices is the center at k = 0, known as the gammagamma point . Note the points , X, W, K,光子晶体简介 众所周知，电子在周期势场中传播时，由于电子波会受到周期势场的布拉格散射，会形成 能带结构，带与带之间可能存在带隙。电子波的能量如果落在带隙中，传播是禁止的。其 实，不管任何波，只要受到周期性调制，都有能带结构，也

7、都有可能出现带隙。能量落在 带隙中的波是不能传播的。电磁波或者光波也不会例外。不过人们真正清楚其物理含义已 经是八十年代末了。 1987 年 Yabnolovitch 1在讨论如何抑制自发辐射时提出了光子晶体这一新概念。几乎同 时，John 2在讨论光子局域时也独立提出。如果将不同介电常数的介电材料构成周期结 构，电磁波在其中传播时由于布拉格散射，电磁波会受到调制而形成能带结构，这种能带 结构叫做光子能带 (photonic band)。光子能带之间可能出现带隙，即光子带隙 (photon ic bandgap, 简称 PBG)。具有光子带隙的周期性介电结构就是光子晶体 (photonic c

8、ryst als)，或叫做光子带隙材料 (photonic bandgap materials)，也有人把它叫做电磁晶体 (electromagnetic crystals)。图 1 给出光子晶体的结构及光子能带结构。固体物理中的许多概念都可用在光子晶体上，如倒格子、布里渊区、色散关系、Bloch 函 数 、Van Hove 奇点等。由于周期性，对光子也可以定义有效质量。不过需要指出的是光子晶 体与常规的晶体（从某种意义上来说可以叫做电子晶体）有相同的地方，也有本质的不同 ，如光子服从的是 Maxwell 方程，电子服从的是薛定谔方程；光子波是矢量波，而电子波 是 标量波；电子是自旋为 1/2

9、 的费米子，光子是自旋为 1 的玻色子；电子之间有很强的相互 作 用，而光子之间没有。光子晶体的基本特征是具有光子带隙，频率落在带隙中的电磁波是禁止传播的，因为带隙 中没有任何态存在。光子带隙的存在带来许多新物理和新应用 3-5。自发辐射是爱因斯坦在 1905 年提出的，对许多物理过程和实际应用有重要的影响，如自发 辐射是半导体激光器的阈电流的主要原因，只有超过阈电流才能发出激光。八十年代以前 ，人们一直认为自发辐射是一个随机的自然现象，是不能控制的。Purcell 在 1946 年提出 自 发辐射可以人为改变 6，但没有受到任何重视。直到光子晶体的出现才改变了这种观点 1。自发辐射几率由费米

10、黄金定则给出其中，|V|称为零点 Rabi 矩阵元，?是光场的态密度。如果电磁波的态密度为零，则自 发 辐射的几率为零，即没有自发辐射。光子带隙中的态密度为零，因此，频率落在光子带隙中的电磁波的自发辐射被完全抑制。如果引入缺陷，在光子带隙中可能出现态密度很高的 缺陷态，因此可以增强自发辐射。有文献称将自发辐射可以控制的这种现象叫 Purcell 效 应 。如果引入缺陷或无序，对电子来说将有电子局域态或安德森局域。如果在光子晶体中引入 介电缺陷或介电无序，光子也一样，也会出现局域现象 2,7-9。在光子晶体中实现光子 局域比在电子体系里更理想，因为这里没有电子体系里存在的多体相互作用。1991

11、年实验 上观察到二维光子晶体中的光子局域 10。最近，在半导体粉末中直接得到光子局域的证 据 11。我们知道即使在真空中也存在零点涨落，但在光子带隙中却没有。这将带来这样一种结果 ：将原子或分子放入光子晶体中，如果从激发态到基态辐射的光子频率正好落在光子带隙 里，受激的原子或分子将被“锁”在激发态，不能激发到基态。因为此时没有任何光子态 与之耦合而辐射。这将带来新的物理现象 12-15，如原子将和自身辐射的局域光场发身 强烈的耦合，出现奇异的 Lamb 位移 12。光子晶体的制作最初提出的结构是面心立方结构面心立方结构1,2。从实空间看即用何种介电材料何种介电材料来填充 Wigner-Seit

12、z 原胞。选用怎样的面心立方结构和填充比怎样的面心立方结构和填充比才有光子带隙，这并非一件易事。 Bellcore 的 研究人员用了两年多的时间尝试了各种各样的面心立方结构，才发现一种面心立方结构有 光子带隙16。这是一种背景为介电材料，相互重叠的空气孔在其中排列成面心立方结构 的点阵结构。空气孔占 86%的体积。这种制作方法类似炒菜，用介电材料构成周期结构， 然 后测量电磁波的透射率，看是否存在光子带隙。这种方式非常费时费力，而且也不太成功受实验的鼓舞，理论工作者开始关心光子能带计算。最初采用的是标量波的方法标量波的方法，即认 为 两种偏振可以分开处理 17,18。理论和实验结果有较大差异，

13、人们马上意识到这种差异 来源于忽略了电磁波是矢量波电磁波是矢量波，因此在光子能带的计算中必须考虑光波的矢量性。不久便 出现了考虑矢量性的光子能带计算 19-21。 当重新计算填充率为 86%的重叠空气孔面心 立方结构时，发现这种结构没有完全的光子带隙 19-21。这是由于面心立方结构的光子 晶体由于对称性，在高对称点处出现能带简并在高对称点处出现能带简并。从态密度上看实验上观测到的带隙只是一 个赝带隙。与电子（费米子与电子（费米子 spin=1/2spin=1/2）能带计算不同，光子）能带计算不同，光子( (玻色子玻色子 spin=1)spin=1)之间没有相互作用之间没有相互作用， 解解 M

14、axwellMaxwell 方程得到的光子能带几乎是完全准确的。方程得到的光子能带几乎是完全准确的。因此，可以先从理论上判断是否存 在光子带隙，然后再实验制作，消除了许多盲目性。Ames 的研究人员第一次从理论上证实 了 具有金刚石结构的光子晶体有很大的光子带隙21。于是人们开始从实验上寻找具有金刚 石结构的光子晶体。Yablonovitch 等很快制作出第一个具有全方位光子带隙的结构，如图 2 所示 22。这种光子晶体的制作过程如下 ：在一片介电材料上镀上具有三角空洞阵列的掩膜，在每一空洞处向下钻三个孔，钻孔相 互之间呈 120 度，与介电片的垂线呈 35.26 度。这样的结构具有金刚石结构

15、的对称性，光 子 带隙从 10GHz 到 13GHz，位于微波区域。在微波区域这种结构可以用微机械钻孔的方法得 到 。在光学波段可以用离子刻蚀的办法，不过非常困难。在光学波段可以用离子刻蚀的办法，不过非常困难。为寻找一种制作简易，同时组成单元维度低的结构，Ames 的研究人员提出了一种层状结构 的光子晶体，组成元是一维介电棒，如图 3 所示 23。每层中，一维介电棒平行排列，相 互之间的距离为 a；第二层的介电棒与第一层棒夹角为 90 度；第三层与第一层一样排列， 但位移 a/2；第四层与第二层也一样，但位移 a/2；第五层与第一层重复。这样的结构具有 面心四方对称性。特别当才 c/a=2 时

16、，就是金刚石结构。其实，相临两层的夹角可以在6 0 到 90 度之间变化，都有全方位光子带隙。这种结构实验上第一次由氧化铝棒堆积而成 2 4，光子带隙在微波波段（12-14GHz）。图 4 给出理论计算和实验测量的光子能带的比较 。从图中可以看出，理论和实验符合得非常好。这和电子能带的情况很不一样。由于电子 之间的多体相互作用，在电子能带的计算中要作很多近似，得到的电子能带也是近似的， 如电子带隙的计算结果与实验相差很大。人们还提出了其它的层状结构来制作三维光子晶体 25-27。MIT 小组提出的结构可以利 用 成熟的半导体技术来得到光学范围的光子晶体成熟的半导体技术来得到光学范围的光子晶体 2626。制作过程如图 5 所示。第一步先将一 层厚度为 d 的 Si 用 MBE 或 CVD 淀积在衬底上，然后刻蚀出相互之间距离为 a 的平行槽，最 后在 槽中填充 SiO2，如 (a)所示。第二步再生长一层厚度为 h 的 Si，如 (b)。第三步在下