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1、1平面向量基本定理及其表示适用学科数学适用年级高三适用区域通用课时时长（分钟）60知识点基底的概念与平面向量基本定理平面向量基本定理的应用平面向量的坐标表示及运算平面向量共线的坐标表示教学目标1了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件教学重点平面向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线教学难点向量的坐标运算及共线条件2教学过程一、课堂导入问题：什么是平面向量基本定理？平面向量怎么用坐标来表示？3二、复习预习1 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反
2、两种情况2 若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成，因为 x2，y2有可能等于 0，所以应表示为x1x2y1y2x1y2x2y10.4三、知识讲解考点 1 平面向量基本定理如果 e1和 e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 a，存在唯一的一对实数 a1，a2，使aa1e1a2e2.其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2a1e1a2e2叫做向量 a 关于基底e1，e2的分解式5考点 2 平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，
3、y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.x2 1y2 1(2)向量坐标的求法一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.ABABx2x12y2y126考点 3 平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.abx1y2x2y10.7四、例题精析考点一 平面向量基本定理的应用例 1 在ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且，Q 是 BC 的中点，AQ 与 CP 的交点为 M，又CP23CA13CBt，试求 t 的值CMCP8【规范解答】，32，即 22，CP23CA13
4、CBCPCACBCPCACBCP2， 即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近点 A)，如图所示APPBA，M，Q 三点共线，设x(1x)(x1)，CMCQCAx2CBAC而，( 1). 又，CBABACCMx2ABx2ACCPAPAC13ABAC由已知t可得，( 1)t()，Error!，解得 t .CMCPx2ABx2AC13ABAC34【总结与反思】平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解9考点二 向量的坐标运算例 2 已知 A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)
5、，(1)求23；ADBDBC(2)设3，2，求及 M、N 点的坐标CMCACNBCMN10【规范解答】(1)A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)， (21,32)(3,5)，AD(22,31)(4,2)，(32,21)(1,1)，BDBC23(3,5)2(4,2)3(1,1)(383,543)(14,6)ADBDBC(2)3，2，2323，CMCACNBCMNCNCMBCCABCAC由 A、B、C、D 点坐标可得(3,2)(1，2)(2,4)2(1,1)3(2,4)(4,10)ACMN设 M(xM，yM)，N(xN，yN)又3，3()，CMCAOMOCOAOC(xM，yM)(
6、3,2)3(1，2)(3,2)(6，12)xM3，yM10，M(3，10)又2，即2，CNBCONOCBC(xN，yN)(3,2)2(1,1)，xN1，yN0，N(1,0)11【总结与反思】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则考点三 向量共线的坐标表示例 3 (1)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_(2)已知向量 a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则 k_.12【规范解答】(
7、1)在梯形 ABCD 中，DC2AB，2.DCAB设点 D 的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，DC(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，ABError!，解得Error!，故点 D 的坐标为(2,4)(2)依题意得 ac(3,1)(k,7)(3k，6)，又(ac)b，故，k5.3k163【总结与反思】(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是x1y2x2y10；若 ab(a0)，则 ba.13(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解课程小结1 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键2 平面向量共线的坐标表示(1)两向量平行的充要条件若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 ab，这与 x1y2x2y10 在本质上是没有差异的，只是形式上不同(2)三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定
