《二阶矩阵与平面向量 综合检测 (5)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二阶矩阵与平面向量 综合检测 (5)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、综合检测综合检测(五五)1求矩阵 M的特征值和特征向量1 0 5 6【解】 矩阵 M 的特征多项式f()(1)(6)|1 0 5 6|令 f()0，解得矩阵 M 的特征值 11，26.将 11 代入方程组Error!易求得为属于 11 的一个特征向量将 26 代入方程组Error!易7 5求得为属于 26 的一个特征向量综上所述，M的特征值为0 11 0 5 611，26，属于 11 的一个特征向量为，属于 26 的一个特征向7 5量为.0 12已知矩阵 M的一个特征值为 3，求另一个特征值及其对应的一1 2 2 x个特征向量【解】 矩阵 M 的特征多项式为f()(1)(x)4|1 2 2 x
2、|因为 13 为方程 f()0 的一根，所以 x1由(1)(1)40 得 21，设 21 对应的一个特征向量为 ，x y则由Error!得 xy令 x1，则 y1.所以矩阵 M 的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为 .1 13已知矩阵 M，向量 ，.1 2 1 33 52 4(1)求向量 23 在矩阵 M 表示的变换作用下的象；(2)向量 是矩阵 M 的特征向量吗？为什么？1 2【解】 (1)因为 2323，所以 M(23)3 52 4 12 21 2 1 3，所以向量 23 在矩阵 M 表示的变换作用下的象为.12 2 8 188 18(2)向量 不是矩阵 M 的特征向量理由如下：1 2
3、M，向量与向量 不共线，所以向量 不是1 2 1 31 2 3 73 71 21 2矩阵 M 的特征向量4已知矩阵 A，设向量 ，试计算 A5 的值1 2 1 47 4【解】 矩阵 A 的特征多项式为 f()2560，|1 2 1 4|解得 12，23.当 12 时，得 1；2 1当 23 时，得 2，1 1由 m1n2，得Error!，得 m3，n1，A5A5(312)3(A51)A523( 1) 25 15 232535.2 11 1 435 3395已知矩阵 A，其中 aR，若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到1 1 a 1点 P(0，3)(1)求实数 a 的值；(2)求矩阵 A
4、的特征值及特征向量【解】 (1)，1 1 a 11 1 0 3，0 a1 0 3a4.(2)A，1 1 4 1f()223.|1 1 4 1|令 f()0，得 11，23，对于特征值 11，解相应的线性方程组Error!得一个非零解Error!，因此 1是矩阵 A 的属于特征值 11 的一个特征向量1 2对于特征值 23，解相应的线性方程组Error!得一个非零解Error!，因此 2是矩阵 A 的属于特征值 23 的一个特征向量矩阵 A 的1 2特征值为 11，23，属于特征值 11，23 的特征向量分别为，.1 2 1 26已知矩阵 A，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量 1，3
5、3 c d1 1属于特征值 1 的一个特征向量 2，求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵3 2【解】 由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量 1，可知61 13 3 c d1 1，所以 cd6，1 1由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量 2，3 2可知，所以 3c2d2.3 3 c d3 2 3 2联立可得Error!解得Error!即 A，A 的逆矩阵 A1.3 3 2 423 1213 127已知矩阵 A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转 90.(1)求矩阵 A 及 A 的逆矩阵 B；(2)已知矩阵 M，求
6、 M 的特征值和特征向量；3 3 2 4(3)若 在矩阵 B 的作用下变换为 ，求 M50.(结果用指数式表示)8 1【解】 (1)A；0 1 1 01 0 0 2 0 2 1 0BA1.0 1 12 0(2)设 M 的特征值为 ，则由条件得0，|3 3 2 4|即(3)(4)62760.解得 11，26.当 11 时，由，3 3 2 4x y x y得 M 属于 1 的特征向量为 1；3 2当 26 时，由6，3 3 2 4x yx y得 M 属于 6 的特征向量为 2.1 1(3)由 B，得 ，0 1 12 081 1 4设m1n2mn1 43 21 1，3mn 2mn则由Error!解得
7、Error!所以 122.所以 M50M50(122)M5012M50226503 21 1.2 6503 2 65028已知二阶矩阵 M 的一个特征值 8 及与其对应的一个特征向量 1，并且矩阵 M 对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)1 1(1)求矩阵 M；(2)求矩阵 M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量 2的坐标之间的关系；(3)求直线 l：xy10 在矩阵 M 的作用下的直线 l的方程【解】 (1)设矩阵 M，a b c d则8，故Error!a b c d1 11 1 8 8由题意得，a b c d1 2 2 4故Error!联立以上两方程组可解得Error!故 M.6
8、 2 4 4(2)由(1)知矩阵 M 的特征多项式 f()(6)(4)|6 2 4 4|821016.令 f()0，解得矩阵 M 的另一个特征值 2.设矩阵 M 的属于特征值 2 的一个特征向量 2，则 M22，解得 2xy0.x y6x2y 4x4yx y(3)设点(x，y)是直线 l 上的任一点，其在矩阵 M 的作用下对应的点的坐标为(x，y)，则，即Error!代入直线 l 的方程并化简得6 2 4 4x y x yxy20，即直线 l的方程为 xy20.9给定矩阵 M，N及向量 1，2.23 1313 232 1 1 21 11 1(1)求证 M 和 N 互为逆矩阵；(2)求证 1和
9、2都是矩阵 M 的特征向量【证明】 (1)因为 MN，NM23 1313 232 1 1 2 1 0 0 12 1 1 223 1313 23，所以 M 和 N 互为逆矩阵1 0 0 1(2)向量 1在矩阵 M 的作用下，其象与其共线，1 1即，向量 2在矩阵 M 的作用下，其象与其共23 1313 231 113 13131 11 1线，即，所以 1和 2都是 M 的特征向量23 1313 231 1 1 110给定矩阵 M及向量 .2 5 6 12 9(1)求矩阵 M 的特征值及与其对应的特征向量 1，2；(2)确定实数 a，b，使向量 可以表示为 a1b2；(3)利用(2)中的表达式计算
10、 M3，Mn；(4)从(3)中的运算结果，你能发现什么？【解】 (1)矩阵 M 的特征多项式 f()(2)(1)|2 5 6 1|30(7)(4)令 f()0，解得矩阵 M 的特征值 14，27.易求得属于特征值 14 的一个特征向量 1，属于特征值 27 的一个特征向5 6量 2.1 1(2)由(1)可知ab，解得 a1，b3，所以 132.2 95 61 1(3)M3M3(132)M313M32(4)33735 61 1.43 53 73 43 63 73MnMn(132)Mn13Mn2(4)n37n5 61 1.1n1 4n 53 7n 4n 63 7n(4)在 Mn 的结果中，随着 n 的增加，特征向量 1对结果的影响越来越小
