排列组合概念公式及练习

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1、排列组合公式排列组合公式排列 P-和顺序有关 组合 C -不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如 把 5 本不同的书分给 3 个人,有几种分法. “排列“把 5 本书分给 3 个人,有几种分法 “组合“1排列及计算公式 从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列；从 n 个不同元素 中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定 0!=1).2组合及计算公式从

2、 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3其他排列与组合公式从 n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 个元素被分成 k 类，每类的个数分别是 n1,n2,.nk 这 n 个元素的全 排列数为n!/(n1!*n2!*.*nk!).k 类元素,每类的个数无限

3、,从中取出 m 个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n（n-1）.（n-m+1） ；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘 符号） ；Pnn（两个 n 分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n 为 下标 1 为上标）=n组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个 n 分别为上 标和下标） =1 ；Cn1（n 为下标 1 为上标）=n；Cnm=Cnn-m公式 P 是指排列，从 N 个元素取 R 个进行排列。公式 C 是指组合， 从 N 个元素取 R 个，不进行排列。

4、N-元素的总个数 R 参与选择的 元素个数 ！-阶乘 ，如 9！9*8*7*6*5*4*3*2*1 从 N 倒数 r 个，表达式应该为 n*（n-1)*(n-2).(n-r+1);因为从 n 到（n-r+1)个数为 n（n-r+1)r 举例： Q1: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的， 既属于“排列 P”计算范畴。上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现 988,997 之类的组合， 我们可以这么看，百位数有 9 种可能，十位 数则应该有 9-1 种可能，个位数则应该只有 9-1-1 种

5、可能，最终共有 9*8*7 个三位数。计算公式P（3，9)9*8*7,(从 9 倒数 3 个的乘 积） Q2: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表 “三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213 组合和 312 组合，代表同一个组合，只要有三个号码 球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合 C”计算范畴。上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的 个数即为最终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析例 1 设有 3 名学生和 4 个课外小组 （1）每名学生都只参加 一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个

6、课外小组，而且每个小 组至多有一名学生参加各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个， 而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方法（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有 种不同方法点评 由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法 原理进行计算例 2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不 排第四的不同排法共有多少种？解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某 一个，共 3 类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： 符合题意的不同排法共有 9 种点评 按照分“类

7、”的思路，本题应用了加法原理为把握不同 排法的规律， “树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数 问题的一种数学模型例 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结 果（1）高三年级学生会有 11 人：每两人互通一封信，共通了 多少封信？每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共 10 人：从中选一名正组长和 一名副组长，共有多少种不同的选法？从中选 2 名参加省数学竞 赛，有多少种不同的选法？（3）有 2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数：从中任取 两个数求它们的商可以有多少种不同的商？从中任取两个求它的 积，可以得到多少个不同的积？（4）有 8

8、盆花：从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆， 有多少种不同的选法？从中选出 2 盆放在教室有多少种不同的选 法？分析 （1）由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的 信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；由于每两人互握一 次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以 是组合问题其他类似分析（1）是排列问题，共用了 封信；是组合问题，共需握手 （次） （2）是排列问题，共有 （种）不同的选法；是组合问题， 共有 种不同的选法（3）是排列问题，共有 种不同的商；是组合问题，共有 种不同的积（4）是排列问题，共有 种不同的选法；是组合问题，共 有 种不同的选法例 证明 证明 左式右

9、式 等式成立点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式， 并利用阶乘的性质 ，可使变形过程得以简化例 5 化简 解法一 原式解法二 原式点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性 质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化例 6 解方程：（1） ；（2） 解 （1）原方程解得 （2）原方程可变为 ， ， 原方程可化为 即 ，解得 第六章 排列组合、二项式定理 一、考纲要求 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单 的问题. 2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合 数的性质，并能用它们解决一些简单的问题. 3.掌握二项

10、式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一 些简单问题. 二、知识结构三、知识点、能力点提示 (一)加法原理乘法原理 说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理 为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据. 例 1 5 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所， 不同的报名方法共有多少种? 解： 5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因 而每个学生都有 3 种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报 名方法总共有33333=35(种) (二)排列、排列数公式 说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独 特，它研 究的对象

11、以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同， 内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题， 都是选择题或填空题考查. 例 2 由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小 于 50 000 的 偶数共有( ) A.60 个 B.48 个 C.36 个 D.24 个 解 因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有 P12；小于 50 000 的五位数，万位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有 P13;在 首末两位数排定后，中间 3 个位数的排法有 P33，得 P13P33P1236(个) 由此可知此题应选 C. 例 3 将数字 1、2、3、4 填

12、入标号为 1、2、3、4 的四个方格里， 每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有 多少种? 解： 将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均 不相同的填法有 3 种，即 214 3，3142，4123；同样将数字 1 填入第 3 方格，也对应着 3 种填法；将数字 1 填入第 4 方格，也对应 3 种 填法，因此共有填法为 3P13=9(种). 例四 例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质 说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用 题，且基本上都是由选择题或填空题考查. 例 4 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任

13、意取出 3 台，其中至少有 甲型与乙型电视机各 1 台，则不同的取法共有( ) A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种 解： 抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有 C14C25 种； 甲型 2 台乙型 1 台的取法有 C24C15 种 根据加法原理可得总的取法有 C24C25+C24C15=40+30=70(种 ) 可知此题应选 C. 例 5 甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程，甲公司承包 3 项，乙公司承包 1 项，丙、丁公司各承包 2 项，问共有多少种承包方式? 解： 甲公司从 8 项工程中选出 3 项工程的方式 C38 种； 乙公司从甲公司挑选后余

14、下的 5 项工程中选出 1 项工程的方式有 C15 种； 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的 4 项工程中选出 2 项工程的方式 有 C24 种； 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的 2 项工程中选出 2 项工 程的方式有 C22 种. 根据乘法原理可得承包方式的种数有 C3 8C15C24C22= 1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质 说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学 中它是常用的基础知识 ，从 1985 年至 1998 年历届高考均有这方面 的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择 题或填空题. 例 6 在(x- )10 的展

15、开式中，x6 的系数是( ) A.-27C610 B.27C410 C.-9C610 D.9C410 解 设(x- )10 的展开式中第 +1 项含 x6， 因 T+1=C10x10-(- )，10-=6,=4 于是展开式中第 5 项含 x 6，第 5 项系数是 C410(- )4=9C410 故此题应选 D. 例 7 (x-1)-(x-1)2(x-1)3-(x-1)+(x-1)的展开式中的 x的系数 等于 解：此题可视为首项为 x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前 5 项的和， 则其和为 在(x-1)6 中含 x3 的项是 C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中 x2 的系数 是-2 0. (五)综合例题赏析 例 8 若(2x+ )4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 解：A. 例 9 2 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有( ) A.6 种 B.12 种