《浅论闭区间上连续函数的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅论闭区间上连续函数的性质（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、浅论闭区间上连续函数的性质浅论闭区间上连续函数的性质素食则气不浊；独宿则神不浊；默坐则心不浊；读书则口不浊。曾国藩浅论闭区间上连续函数的性质中山大学数学与应用数学 04 级数统基地班 黎俊彬摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨,从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性,最值定理,介值定理和一致连续性定理,并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比.关键字:闭区间 连续函数 实数的连续性和闭区间的紧致性实数的连续性和闭区间的紧致性,使闭区间上的连续函数有丰富的性质,而且可由实数的各等价命题推出.本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证.在论证过程中,严格地不出
2、现微分学和积分学的内容,只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手.从直观上理解,连续函数的图像是一条连续不断的曲线,这对于一般初等函数来说都是成立的.而闭区间上的连续函数的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点上,形成一条封闭的曲线,即与直线形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确,但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质,某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的,的确存在一些连续函数,其图像并不能作出来.直观认识,在科学里面只是充当一个开路先锋的角色,到最后,一定要用严格的推理来证明.先看何谓闭区间上的连续函数.连续的定义首先是点连续的定义.若函数该点的极限值
3、不等于函数值,经验告诉我们函数在该点必定断开,连续的定义与我们的直观认识相符合.而若函数在连续,是指函数在区间的每点都连续,在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质,并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.1.闭区间连续函数在其定义域上有界.闭区间连续函数的图像是封闭的连续不断的曲线,可以想象这条曲线不可能纵向(y 轴方向)无限延伸,而开区间上的连续函数可以在端点处无限延伸.若函数在某点有极限,则在某点附近有界,而连续函数每点的极限都存在,因而在每点的附近都有界.只要用有限覆盖定理,就可以知道只需要有限个有界的区间就可以把函数的定义域覆盖.因而函数
4、在其定义域上也是有界的.若命题条件改为开区间,有限覆盖定理的条件不充分,该命题的证明便进行不下去.由此可见闭区间的条件是必须的.而连续的条件可以减弱,令每一点的极限都存在,可以同样推出函数在闭区间上有界.闭区间上的连续函数有界,由确界定理知道该函数必有上下确界.由此可以联想到闭区间上连续函数总能取得最大最小值,分别对应于上下确界.2.闭区间连续函数必定在定义域上取得最大最小值.已经证明了上下确界的存在.只需要证明函数能够取到上下确界的值.分析条件在证明中的作用.由函数的连续性知,这是连续函数的定义,也是一条重要的性质,求初等函数极限值采用直接代入函数值的方法就是以此为依据的.而闭区间的作用是令
5、子列的极限值限制在闭区间里面.因为在两边取极限,可能得到即使是一个有界的函数,只要不是闭区间上的连续函数,都不能保证能在定义域上取得最值.可以想象将闭区间连续函数的图像的最大值点向下移动一段距离,得到一个有界的不连续函数的图像(不妨设有且只有一个最大值点),那么这个函数在定义域内就不可能取得最大值.而一个定义在开区间且存在单调连续函数,如,虽然在定义域上有界,但都不能够取得最值.3.连续函数介值定理.这是一条重要的性质.连续函数在区间内必能取得介于端点函数值的值,称之为介值.从直观上看来,这是显然的.一条连续变化的曲线必会在某个时刻经过介值点.若连续函数的取值可正可负,那么此函数必定存在零点,
6、称之为零点定理.而介值定理是零点定理的直接推论,只需在原函数加减一个常数即可.下面给出用到确界定理的证明.两个证明除了用到确界定理外几乎没有用到其它性质,譬如第二个证明,只是用到函数极限的保号性.这根本在于用确界定理给出了数集的下确界 .确界定理是函数连续性的一个刻画,而介值性的结论可以由连续性从直观上得到,只要给出了连续性一个理论上的刻画,余下的证明就像从直观上得到一般简单.但不连续的函数,就未必具有介值性.至于闭区间的条件并没有用到,原因是任何一个连续函数都可以截出某一个闭区间,在这个闭区间上讨论介值的问题.在这里自然引出一个问题,具有介值性,即其值域为连续系的函数是否连续?如果不连续,要
7、补充什么条件才能保证函数连续?如下面一个处处不连续的函数,其值域是.这说明具有介值性的函数不一定连续.只要加强条件,令函数在定义域上单调,就一定有函数连续.有以下命题:这个命题的正确性在直观上很显然.证明也只需要简单的说明.用反证法,设函数不连续.由于单调函数只能有第一类间断点,并且间断点的取值要么是左极限,要么是右极限.那么只要通过极限保号性,说明函数不能取得间断点左极限和右极限之间的值便可.有界性,最值定理和介值定理合起来,说明了闭区间上的连续函数其值域也是闭区间,并且函数值能够取遍值域.用映射的语言来说,连续映射把映射成.反过来,这个命题说明了闭区间连续函数的这三条性质.4.闭区间上的连
8、续函数必定一致连续.先给出一致连续的定义:一致连续的直观意义,就是函数的图像不会在很小的区间内变化任意大,图像每处切线的斜率不至于任意大.规定一个因变量的变化幅度,则自变量对应的变化幅度不能任意小.由于一致连续的函数必定连续,故闭区间上的函数,连续跟一致连续是等价的.下面给出闭区间上的连续函数必定一致连续的证明:对 Cantor 定理的证明,可以通过函数的点连续,把附近的点联系起来,使函数在一个小的区间里面有类似一致连续定义的性质.然后通过闭区间的条件,把这种类似的性质拓展开去,变成整个区间上真正的一致连续.这个用确界定理的证明用到类似的思想,通过确界的定义找出 ,通过 描述的性质.最后得出的
9、结论.确界定理的运用,与零点定理的证明一样,篇幅不多,但却是最主要的部分.而闭区间条件在证明中的反映,则是在“处体现,若不是闭区间,“未必成立.这引出了闭区间的条件是否能够削弱的问题,后面将会讨论到.下面给出用区间套定理的证明.区间套套出的点 r,就是所谓的“联络点“.闭区间上的连续函数有紧致性,即直观理解上的封闭性,所以具有一些开区间上连续函数不具有的性质.反过来,开区间连续函数多了一些不可控的性质,譬如函数图像在端点可以纵向无限延伸,如函数,或者如函数般,其图像在端点处无限折曲.这些性质都是由于在自变量很小的变化下,因变量产生了不可控制的变化.这是一致连续的其中一个反面.开区间上一致连续的
10、函数,除了端点外,能不能产生与闭区间连续函数相似的整体性质呢?先讨论导致连续函数在开区间和闭区间上有相异性质的根本原因.开区间上的连续函数跟闭区间上的连续函数的根本差别在于,其左端点的右极限和右端点的左极限是否存在(开区间函数在端点没有定义,所以只从极限是否存在角度讨论,而不是从是否连续的角度).开区间的连续函数在端点不存在左(右)极限,所以端点附近的性质如此“顽劣“:可以无限“延伸“,或无限“折曲“. 在上文对有界性和介值定理的讨论里面,特别强调了闭区间条件所起的作用.闭区间有紧致性,可以通过相关的几个命题来刻画.而这些性质在开区间函数上不成立的原因,就在于端点处的左(右)极限不存在.因为只
11、要加强开区间连续函数的条件,令左端点的右极限,右端点的左极限都存在,这时补充端点处的定义,令端点处的函数值与极限值相等,就得出一个闭区间的连续函数.这样的开区间连续函数就会在除端点外与闭区间连续函数有相似的整体性质,如有界性,证明和闭区间的几乎一样.而最值对应确界,要么能取得,要么就等于端点的极限值.回到一开始的讨论,左右端点的极限是否存在和一致连续有什么关系?可以证明,两者之间是等价的.有以下命题:从直观上理解,一致连续把开区间的连续函数的两端给“封闭“了,由此可以看出一致连续和闭区间的紧致性紧密相连.参考文献:邓东皋、尹小玲编著，数学分析简明教程，高等教育出版社，1999年版裘兆泰等编，数学分析学习指导，科学出版社，2004 年版同济大学应用数学系编，微积分（上册） ，高等教育出版社，2002年版- 1 -素食则气不浊；独宿则神不浊；默坐则心不浊；读书则口不浊。曾国藩
