示范例题

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1、示范例题示范例题已知函数y的最大值为 7，最小值为1，求此函数式.mxxn x224 3 1 【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”.【解】 函数式变形为： （ym）x4x（yn）0， xR， 由已知得23ym0 （4） 4（ym） （yn）0 即： y（mn）y（mn12）3220 不等式的解集为（1，7） ，则1、7 是方程y（mn）y（mn12）0 的2两根，代入两根得： 解得：或 1120497120()()mnmnmnmnm n 5 1m n 1 5 y或者y54 3

2、1 122xx x xx x224 35 1 此题也可由解集（1，7）而设（y1） （y7）0，即y6y70，然后与不等2式比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y.mn mn 6 127【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n.两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解.本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于

3、x的一元二次方程，可知其有解，利用0，建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程.例 2. 设椭圆中心在（2，1） ，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是，求椭圆的方程.105【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了.设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为ac的值后列出第二个方程.【解】 设椭圆长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c，则|BF|a 解得： abcaabac2222222105()ab 105 所求椭

4、圆方程是：1x210y25也可有垂直关系推证出等腰 RtBBF后，由其性质推证出等腰 RtBOF，再进行如下列式： ，更容易求出a、b的值.bcacabc105222【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式.在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于ac的等式.一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）几何条件转换成方程求解已知系数代入.例 3. 是否存在常数a、b、c，使得等式 12 23 n（n1）22（anbnc）对一切自然数n

5、都成立？并证明你的结论. （89 年全国高考2n n()1 122题）【分析】是否存在，不妨假设存在.由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n1、2、3 列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立.y BxA F O F AB【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n1，得 4（abc） ；n2，得1 622（4a2bc） ；n3，得 709a3bc.整理得：1 2，解得，abc abc abC 24 4244 9370a b c 3 11 10于是对n1、2、3，等式 12 23 n（n1）22（3n11n10）成立，下面用数学归纳

6、法证明对任意自然数n，该等式都2n n()1 122成立：假设对nk时等式成立，即 12 23 k（k1）22（3k11k10） ；2k k()1 122当nk1 时，12 23 k（k1） （k1） （k2）222（3k11k10） （k1） （k2） （k2） （3k5）2k k()1 1222k k()1 12（k1） （k2） （3k5k12k24）2()()kk12 1223（k1） 11（k1）10，()()kk12 122也就是说，等式对nk1 也成立.综上所述，当a8、b11、c10 时，题设的等式对一切自然数n都成立.【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到

7、.此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法.对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行.本题如果记得两个特殊数列 1 2 n、1 2 n33322求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n（n1）2n2nn得 S 12 23 n（n1） （1 2 n）2（1232 n2223332 n）（12n）2222nn221 4()n nn()()1 21 6n n()1 2（3n11n10） ，综上所述，当a8、b11、c10 时，题设的等式对一切n n()1 122自然数n都成立.例 4. 有矩形的铁皮，其长为 30cm，宽为 14cm，要从四

8、角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究.【解】 依题意，矩形盒子底边边长为（302x）cm，底边宽为（142x）cm，高为xcm. 盒子容积 V（302x） （142x）x4（15x） （7x）x ，显然：15x0，7x0，x0.设 V（15aax） （7bbx）x （a0，b0） 4 ab要使用均值不等式，则 abaaxbbxx10157解得：a， b ， x3 . 1 43 4从而 V（） （x）x（） 27576.64 315 4x 421 43 464 315 421 4 3 364 3所以当x3 时，矩形盒子的容积最大，最大容积是 576cm.3【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求.本题解答中也可以令 V（15aax） （7x）bx 或 4 ab（15x） （7aax）bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该4 ab进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”.