《2019版高考数学(浙江版)一轮配套讲义：§10.5 曲线与方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学(浙江版)一轮配套讲义：§10.5 曲线与方程（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、WtuWgifWtuWgif110.5 曲线与方程考纲解读浙江省五年高考统计 考点来源:Zxxk.Com考纲内容来源:学科网来源:Z,xx,k.Com要求来源:学(2)设点 Q 在直线 x=-3 上,且=1.证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.解析 本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题.(1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得 x0=x,y0=y.222因为 M(x0,y0)在 C 上,所以 + =1.2 22 2因此点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2.(2)由题意知 F(-1,0).设 Q(-
2、3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).WtuWgifWtuWgif2由=1 得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知 m2+n2=2,故 3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ,所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.2.(2016 课标全国,20,12 分)设圆 x2+y2+2x-15=0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点, 过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA|+|
3、EB|为定值,并写出点 E 的轨迹方程;(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取 值范围.解析 (1)因为|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆 A 的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2 分)由题设得 A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为 + =1(y0).(4 分)2 42 3(2)当
4、l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0. = ( 1), 2 4+2 3= 1?则 x1+x2=,x1x2=.8242+ 342 1242+ 3所以|MN|=|x1-x2|=.(6 分)1 + 212(2+ 1)42+ 3过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m:y=- (x-1),A 到 m 的距离为,所以|PQ|=2=4.1 22+ 142(22+ 1)242+ 32+ 1故四边形 MPNQ 的面积S= |MN|PQ|=12.(10 分)1 21 +142+ 3可得当 l
5、与 x 轴不垂直时,四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8).3当 l 与 x 轴垂直时,其方程为 x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形 MPNQ 的面积为 12.WtuWgifWtuWgif3综上,四边形 MPNQ 面积的取值范围为12,8).(12 分)33.(2016 课标全国,20,12 分)已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准 线于 P,Q 两点.(1)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明 ARFQ;(2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.解
6、析 由题设知 F.设 l1:y=a,l2:y=b,则 ab0,(1 2,0)且 A,B,P,Q,R.(2 2,) (2 2,)(1 2,) (1 2,) (1 2, + 2)记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.(3 分)(1)证明:由于 F 在线段 AB 上,故 1+ab=0.记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,则k1= =-b=k2.所以 ARFQ.(5 分) 1 + 2 2 1 (2)设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0),则 SABF= |b-a|FD|= |b-a|,SPQF=.1 21 2|11 2| | 2由题设可得 2
7、|b-a|=,1 2|11 2| | 2所以 x1=0(舍去),或 x1=1.(8 分)设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y).当 AB 与 x 轴不垂直时,由 kAB=kDE可得=(x1).2 + 1而=y,所以 y2=x-1(x1). + 2当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为 y2=x-1.(12 分)4.(2015 广东,20,14 分)已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B.(1)求圆 C1的圆心坐标;(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程;(3)是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(x-
8、4)与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由.解析 (1)圆 C1的方程 x2+y2-6x+5=0 可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),M(x0,y0),则 x0=,y0=.1+ 221+ 22WtuWgifWtuWgif4由题意可知直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的方程为 y=tx.将上述方程代入圆 C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意,可得 =36-20(1+t2)0(*),x1+x2=,61 + 2所以 x0=,代入直线 l 的方程,得 y0=.31 +
9、 231 + 2因为+=+=3x0,20209(1 + 2)292(1 + 2)29(1 + 2)(1 + 2)291 + 2所以+= .(03 2)2209 4由(*)解得 t2 , 0, 0 0,? 1,1 21 2即当 k时,直线 l 与 C1只有一个公共点,与 C2有一个公共点. 1,1 2当 k时,直线 l 与 C1有两个公共点,与 C2没有公共点,1 2,0)故当 k时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点.1 2,0) 1,12若则由解得-1 0, 0b0)的一个焦点为(,0),离心率为.2222553(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一
10、点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程.解析 (1)由题意知 c=,e= =,5 53a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆 C 的标准方程为 + =1.2 92 4(2)设两切线为 l1,l2,当 l1x 轴或 l1x 轴时,l2x 轴或 l2x 轴,可知 P(3,2).当 l1与 x 轴不垂直且不平行时,x03,设 l1的斜率为 k,且 k0,则 l2的斜率为- ,l1的方程为 y-y0=k(x-x0),与 +1 2 9=1 联立,2 4整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,直线 l1与椭圆相切,=0,即 9(y0-k
11、x0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,(-9)k2-2x0y0k+-4=0,2020k 是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0 的一个根,同理,- 是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0 的另一个根,20201 2020k=,整理得+=13,其中 x03,(1 )20 420 92020点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13(x3).P(3,2)满足上式.综上,点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13.三年模拟A 组 20162018 年模拟基础题组WtuWgifWtuWgif7考点 曲线与方程1.(2018 浙江镇海中学阶段性测试,8)在圆 C:x2+y2+2x-2y
12、-23=0 中,长为 8 的弦中点的轨迹方程为( )A.(x-1)2+(y+1)2=9B.(x+1)2+(y-1)2=9C.(x-1)2+(y+1)2=16D.(x+1)2+(y-1)2=16答案 B2.(2017 浙江温州十校期末联考,6)点 P 为直线 y= x 上任一点,F1(-5,0),F2(5,0),则下列结论正确的是( )3 4A.|PF1|-|PF2|8B.|PF1|-|PF2|=8C.|PF1|-|PF2|0),求动点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解析 设 M(x,y),则|MN|=,|MQ|=,|2 |22+ 2 1( 2)2+ 2由题设知=,=,(5 分)| |2
13、+ 2 1( 2)2+ 2两边平方整理得(1-2)x2+(1-2)y2+42x-(1+42)=0(0),(7 分)由得 =1,(8 分)1 2= 0, 0,?WtuWgifWtuWgif10当 =1 时,方程化为 4x-5=0,表示一条垂直于 x 轴的直线;(10 分)当 (0,1)(1,+)时,方程可变形为 x2+y2+x-=0,配方得+y2=,421 21 + 421 2( +221 2)21 + 32(1 2)2方程表示一个圆.(14 分)综上,动点 M 的轨迹方程为(1-2)x2+(1-2)y2+42x-(1+42)=0(0),当 =1 时,它表示一条垂直于 x 轴的直线;当 (0,1
14、) (1,+)时,它表示一个圆.(15 分)C 组 20162018 年模拟方法题组方法 1 直接法求轨迹方程1.在ABC 中,=(0,-2),M 在 y 轴上,且= (+),C 在 x 轴上移动.求点 B 的轨迹方程. 1 2 解析 设 B(x,y),C(a,0),M(0,b),a0,= (+),1 2 M 是 BC 的中点,可得a=-x,b= , + 2= 0, + 0 2= ,? 2又=(-a,-2),=(x-a,y),-ax+a2-2y=0, 把 a=-x 代入中,得 y=x2(x0),所以点 B 的轨迹方程为 y=x2(x0).2.已知ABC 中,AB=2,AC=BC,求顶点 C 的轨迹方程.2解析 以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(-1,0),B(1,0).设 C(x,y),由 AC=BC 得,=,2( + 1)2+ 22( 1)2+ 2平方整理得(x-3)2+y2=8,A、B、C 三点为三角形的顶点,y0,顶点 C 的轨迹方程为(x-3)2+y2=8(y0).方法 2 定义法求轨迹方程3.已知
