流体力学-势流理论

第六章 势流理论本章内容：1． 势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题） ；升力也为零２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应） 本章重点：1、 平面势流问题求解的基本思想2、 势流迭加法3、 物面条件，无穷远处条件4、 绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等5、 四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱6、 麦马格鲁斯效应的概念7、 计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、 附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。

例如：1）绕一个无穷长机翼的流动， 2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动，如图６-２所示如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论一、均匀流 流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度 Vo，如图６-5 所示， Vｘ ＝V o， Vy＝０平面流动速度势的全微分为 dxVdxdxy0积分：φ＝Vox （６-4 ）  如图６-3流函数的全微分为， dydxydxo积分：ψ＝Voｙ （６-5 ） 如图６-4由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const，一组平行于ｘ轴的直线，如图６ -3 中的实线等势线：ｘ＝const，一组平行于ｙ轴的直线，如图６-3 中的虚线。

均匀流的速度势还可用来表示平行平壁间的流动或薄平板的均匀纵向绕流，如图６-4 所示二、源或汇平面源：流体由坐标原点出发沿射线流出，反之，流体从各个方向流过来汇聚于一点，谓之平面汇：与源的流动方向相反设源的体积流量为Ｑ，速度以源为中心，沿矢径方向向外，沿圆周切线方向速度分量为零现以原点为中心，任一半径ｒ作一圆，则根据不可压缩流体的连续性方程，体积流量Ｑ ２πｒｖｒ＝Ｑ∴ｖｒ＝Ｑ/２πｒ （６-6）在直角坐标中，有 xyVx在极坐标中有： （６-7） 图６-6 点源和点汇rrsVr 1极坐标中 φ 和 ψ 的全微分：（６-8）2ln2QrdQrVddr rssr流线：为 θ＝const，从原点引出的一组射线；等势线为ｒ＝const，就是和流线正交的一组同心圆由（６-6）式可看出，当Ｑ＞０，则ｖｒ＞０，坐标原点为源点；如果Ｑ＜０，则ｖｒ＜０，流体向原点汇合， 图６-7 扩大壁面和源的互换性乃是汇点源（汇）的速度势，还适用于扩大（收缩） ，渠道中理想流体的流动，如图６-7 所示三、偶极子 图６-8 偶极偶极流：流量相等的源和汇无限靠近，且随着其间距 δｘ→０，其流量Ｑ→∞，且Ｑδｘ→Ｍ（δｘ→０） （６-9 ）则这种流动的极限状态称为偶极子，Ｍ称为偶极矩。

用迭加法求 φ 和 ψ由图６-8 ( ａ)所示：)ln(2211rQ2cosxr因此 )cos1ln(2ln2)l(n222 111rxQrrr式中ｚ＝δｘｃｏｓθ１ｒ２是个小量，我们利用泰劳展开式将 φ 展开并略去 δｘ二阶以上小量得32)1ln(zz当 δｘ→０时，Ｑδｘ→Ｍ，θ１→θ，ｒ2→ｒ其中ｒ,θ 为Ａ点的极坐标，这样便可从上式得到偶极子的速度势为 （６-１0）直角坐标有（６-11）2yxM对于流函数： )()(2121 Q图６-8(ａ)三角形ＢＣＤ：ｒ２δθ＝δｘｓｉｎθ１，有 21sinrx所以 2sinrxMｎ θ ｒ 2 当 δｘ→０时，Ｑδx→Ｍ，ｒ 2→ｒ，θ 1→θ，所以（６-12）rsin直角坐标有 （６－13）2yx令 ψ＝C 即得流线族： cM2或 12yx即 012cyx配方后得 （６－14）21124)(流线：圆心在ｙ轴上与 x 轴相切的一组圆，如图６-１０(ｂ）中的实线。

流体是沿着上述的圆周，由坐标原点流出，重新又流入原点等势线：中心在ｘ轴上与ｙ轴相切的一组圆，并与 ψ＝const 正交，如图６-8(ｂ）中的虚rcos221cosrxQ线应当注意的是，偶极子是有轴线和有方向的源和汇所在的直线就是偶极子的轴线，由汇指向源的方向，就是偶极轴的方向如图６-8 所示的偶极子的方向是ｘ轴的负向四、点涡（环流）流场中坐标原点处有一根无穷长直涡索，方向垂直于平面ｘｙ平面，与ｘｙ平面的交点为一个点涡点涡在平面上的诱导速度沿着以点涡为中心的圆周的切线方向，大小与半径成反比，即（６－15）02rsvv极坐标下： ddsr2积分得: （６－16） 流函数 rrvrs积分： （６－17） ln2流线：ψ＝const 就是ｒ＝Ｃ，即一组以涡点为中心的同心圆， 如图６-9 所示注意：Γ＞０对应于反时针的转动，Γ＜０对应于顺时针的涡旋。

§６－３ 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理势流迭加法：均匀流、源汇、偶极子、点涡这样一些几种简单的势流，具有可迭加性将它们之中的两个或两个以上迭加起来，在用物面边界条件来控制，会获得有实际意义的结果绕圆柱体的无环流流动就是一个典型的实例理想流体的边界条件：1） 无穷远条件（远场条件）ｒ＝∞， 0yxv或ｒ＝∞， sincor2）物面条件（近场条件）： ｒ＝ｒ ０ ，ｖ ｎ ＝ｖ ｒ ＝０ 称为不可穿透条件零流线： ｒ＝ｒ０处 ψ＝０是一条流线圆柱在静止无界流体中作等速直线运动 = 均匀流动+ 偶极子流动均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为： （ ６－18） 1202MCosvrr（６－19） 120Sini观察 ψ＝０这条流线，由（６－２８）式，我们有：0)2(0rvSin若ｓｉｎθ＝０，有 θ＝０或 π，因此 ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴；若ｖ ０ｒ －Ｍ２πｒ＝０， 0rMv即ｒ２＝Ｍ２πｖ０， 令 , 就有ｒ＝ｒ０， 即ｒ＝ｒ０的圆周02r20rv也是 ψ＝０的流线的一部分， 如图６－１0 所示。

验证边界条件，将 代入 φ，有20rv（６－２0）)(cos0速度（６－21）)1(sin1c2002rvrvrr 当ｒ→∞，从上式可得 sico0vr当ｒ＝ｒ０时，ｖｒ＝0这样就证明了均匀流和偶极子迭加的速度势，完全满足绕圆柱体无环流流动的远场和近场的边界条件，它在ｒ≥ｒ０的流动情况与均匀流绕圆柱的流动情况完全一样想象把均匀流加偶极子的流动图案中ｒ＜ｒ０的那一部分去掉（不感兴趣） ，而在其中充实以一个ｒ＝ｒ０的圆柱体，对流场流动不会有任何影响因此，绕圆柱体无环流流动的速度势就是均匀流加偶极子的速度势圆柱表面的速度分布圆柱表面上速度分布：ｒ＝ｒ０时：（６－22）sin20vr负号表示其方向与 s 坐标轴方向相反， 如图６-10驻点位置：Ａ，Ｃ两点 θ＝π 或０，ｖｓ＝０称为驻点或分流点对Ｂ，Ｄ两点：（６－23）022vＢ，Ｄ两点：速度达到最大值，与圆柱体半径无关，恰等于来流速度ｖ０之两倍流体从较远处以流速ｖ０流向圆柱，当接近圆柱时，流速逐渐减小，到达Ａ点时速度降至零然后分为二支向两侧流去，同时速度逐渐增大。

Ｂ，Ｄ两点：速度增至２ｖ０，达最大值然后又逐渐减小，在Ｃ点汇合时，速度又降至零离开Ｃ点后，又逐渐加速，流向后方的无限远处时，再恢复为ｖ０圆柱表面上压力分布：运动是定常，设无穷远均匀流中的压力为ｐ０，忽略了质量力，拉格朗日方程 202vpv将园柱表面上速度分布代入，即得圆柱表面上压力分布 （６－24）)sin41(220vp物面上的压力分布往往用下式定义的无因次系数来表示：（６－25）201vCp由（６-24）式可得 （６-2６）4sinp压力系数见图６-１1（ａ）中压力分布既对称于ｘ轴也对称于ｙ轴Ａ，Ｃ两点压力最大ｃｐ＝１Ｂ，Ｄ两点压力最小ｃｐ＝－３ （６－2７）沿 ψ＝０这条流线压力变化为：左方无限远处，ｃｐ＝０，当流体流向圆柱体时，压力逐渐增大，流到Ａ点时压力为极大值ｃｐ＝１由Ａ点分为两支分别流向Ｂ，Ｄ点，压力逐渐减小，到达这两点时压力为极小值，ｃｐ＝－３由Ｂ，Ｄ点流向Ｃ点时，压力逐渐增大，到达Ｃ点，恢复到极大值，ｃｐ＝１由Ｃ点流向右方无限远处，压力又再次减小，最后压力重新降至ｐ０，ｃｐ＝０。

（ａ）理想流体；（ｂ）真实流体图６－１1 圆柱体表面上的压力系数分布理想流体对圆柱体的作用力：因为其压力分布对称于ｘ轴，显然合力在ｙ轴上的分力Ｌ（升力）为零；同样，因其压力分布对称于ｙ轴，故合力在ｘ轴上的分力Ｒ（阻力）为零，即升力Ｌ＝０阻力 Ｒ＝０ （６－2８）这一结果与实验结果有严重矛盾，称为达朗贝尔谬理如图６-１1（ｂ）所示为圆柱表面压力分布的实测结果和图６- １1（ａ）相比较，其前半部保持不变，后半部发生很大变化，Ｃ点处由正压变为负压，破坏了压力分布对ｙ轴的对称性，从而引起了作用于物体的阻力其原理，边界层理论一章再详细讨论达朗贝尔谬理在理论上仍然是很有意义达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为下列五点；１）在理想流体中；２）物体周围的流场是无边际的；３）物体周围的流场中没有源、汇、涡等奇点存在；４）物体作等速直线运动；５）流动在物体表面上没有分离如果上述条件全部成立，那么任何物体的的确确将不会上面任一条件被破坏，则物体即将遭受到流体的作用力（阻力或升力） 因此，根据达。