探索性问题专题

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1、龙文学校 课外辅导资料第 1 页 共 12 页探索性问题专题探索性问题专题通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型： 1 条件探索型结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目 2 结论探索型给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目 3 存在探索型在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目 4 规律探索型在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以 下几个角度考虑： 1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，

2、从特殊到一般，从而得出规 律 2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致 3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重 复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果 4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严 密的论证 典型例题分析典型例题分析 （一）、条件探索型 例例 1在四边形ABCD中，顺次连接四边中点EFGH，构成一个新的四边形，请你对四边形 ABCD填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形这个条件是_例例 2将两块全等

3、的含 30角的三角尺如图 1摆放在一起，设较短直角边为1（1）四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_ （2）如图 2，将 RtBCD 沿射线 BD 方向平移到 RtB1C1D1的位置，四边形 ABC1D1是平行四边形吗？说 出你的结论和理由：_ （3）在 RtBCD 沿射线 BD 方向平移的过程中，当点 B 的移动距离为_时，四边形 ABC1D1为矩形， 其理由是_；当点 B 的移动距离为_时，四边形 ABC1D1为 菱形，其理由是_(图 3、图 4 用于探究)图 4CADB图 3CADB图 2D1C1B1CADB图 13030BDACABDEFGHC龙文学校 课外辅导资料第

4、 2 页 共 12 页例例 3如图，点 (n 是正整数)依次为一次函数),(.,),., 3(), 2(), 1 (332211nnynByByByB的图像上的点，点 (n 是正整数)依121 41xy)0 ,(.,),.0 ,(),0 ,(),0 ,(332211nnxAxAxAxA次是 x 轴正半轴上的点，已知,) 10(1aax分别是以为顶点的等腰三1433322211,.,nnnABAABAABAABAnBBBB.,.,321角形。（1）写出两点的坐标；nBB ,2 （2）求（用含 a 的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出32,xx你认为成立的两个结论；（3）

5、当变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求) 10( aa出相应的 a 的值；若不存在，请说明理由。例例 4.如图所示，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，BCOA，OA7，AB4， COA60， 点 P 为 x 轴上的个动点，点 P 不与点 0、点 A 重合连结 CP，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D（1）求点 B 的坐标；（2）当点 P 运动什么位置时，OCP 为等腰三角形，求这时点 P 的坐标；（3）当点 P 运动什么位置时，使得CPDOAB，且ABBD85，求这时点 P 的坐标（二）、结论探索型例例 1已知：如图，四边形 ABCD 是矩形（AD

6、AB），点 E 在 BC 上，且 AE AD，DFAE，垂足为 F 请探求 DF 与 AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明FADCEB龙文学校 课外辅导资料第 3 页 共 12 页例例 2我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边 形叫做等对边四边形 （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在ABC中，点DE，分别在ABAC，上，设CDBE，相交于点O，若60A，1 2DCBEBCA 请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形 是等对边四边形； （3）在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点D

7、E，分别在ABAC，上，且 1 2DCBEBCA 探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论例例 3如图 1 所示，在ABC中，2ABAC，90A o，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动（1）点EF，的移动过程中，OEF是否能成为45EOF o的等腰三角形？若能，请指出OEF为等腰三角形时动点EF，的位置若不能，请说明理由（2）当45EOF o时，设BEx，CFy，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围（3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图 2），试探究直线EF与O 的位置关 系，并证明你的结论（三）、存在探索型例

8、例 1抛物线 y ax2bxc (a0)过点 A（1，3），B（3，3），C（1，5），顶点为 M 点求该抛物线的解析式试判断抛物线上是否存在一点 P，使POM90.若不存在，说明理由；若存在，求出 P 点的坐标BOADEC图 1ABCOEF图 2ABCOEF龙文学校 课外辅导资料第 4 页 共 12 页例例 2已知：二次函数 yx2 (m1)xm 的图象交 x 轴于 A(x1，0)、B(x2，0)两点，交 y 轴正半轴于点 C，且 x12 x22 10求此二次函数的解析式；是否存在过点 D(0，25)的直线与抛物线交于点 M、N，与 x 轴交于点 E，使得点 M、N 关于点 E 对称？若存在

9、，求直线 MN 的解析式；若不存在，请说明理由例例 3在矩形ABCD中，4AB ，10AD 直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与AD，不重 合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E我们知道，结论“RtRtAEPDPC”成立（1）当30CPD o时，求AE的长；（2）是否存在这样的点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在， 请说明理由（四）、规律探索型例例 1观察算式：112；13422；135932；13571642；135792552 ；用代数式表示这个规律(n 为正整数)：13579(2n1)_例例 2.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第 n

10、个图案中白色瓷砖数为_例例 3设 a13212，a25232，an(2n1)2(2n1)2 (n 为大于 0 的自然数) （1） 探究 an是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论； （2） 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出 a1，a2，an，这 一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数，并指出当 n 满足什么条件时，an为完全平方数(不必说明理由) PAEBCD龙文学校 课外辅导资料第 5 页 共 12 页一、知识巩固训练（题组训练） 1如图，ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点，BD 与 CE 交于点 O给出下列三个条件：EBOD

11、CO；BEOCDO；BECD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明ABC 是等腰三角形2如图，矩形 ABCD 中，M 是 AD 的中点（1）求证：ABMDCM； （2）请你探索，当矩形 ABCD 中的一组邻边满足何种数量关系时，有 BMCM 成立，说明你的理由3如图，在ABC 中，D 为 BC 上一个动点（D 点与 B、C 不重合），且 DEAC 交 AB于点 E，DFAB 交 AC 于点 F（1）试探究，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 是菱形？并说明理由 （2）在（1）的条件下，ABC 满足什么

12、条件时，四边形 AEDF 是正方形？请说明理由4如图，AB 是O 的直径，EF 是O 的切线，切点是 C点 D 是 EF 上一个动点，连接 AD试探索点 D 运动到什么位置时，AC 是BAD 的平分线，请说明理由5已知：如图，在ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是线段 BC延长线上一点，过点 A 作 BE 的平行线与线 段 ED 的延长线交于点 F，连结 AE、CF（1）求证：AFCE； （2）若 ACEF，试判断四边形 AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论6如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，以 BP为边作PBQ60，且 BQBP， 连结 CQ（1）观

13、察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论 （2）若 PA：PB：PC3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 的形状，并说明理由龙文学校 课外辅导资料第 6 页 共 12 页7如图，AB 是O 的直径，AD、BC、DC 都是O 的切点，A、B、E 分别是切点（1）判定COD 的形状，并说明理由 （2）设 ADa，BCb，O 的半径为 r，试探究 r 与 a，b 之间满足的关系式，并说明理由8在正方形 ABCD 中，点 P 是 CD 上一动点，连结 PA，分别过点 B、D 作 BEPA、DFPA，垂足分别 为 E、F，如图（1）请探索 BE、DF、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关

14、系若点 P 在 DC的延长线上（如图 ），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点 P 在 CD的延长线上呢（如图）？请 分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明9已知：如图，抛物线2yaxbxc经过(1,0)A、(5,0)B、(0,5)C三点（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线ykxb与抛物线相交于点E （4，m），请求出CBE 的面积S 的值；（3）在抛物线上求一点0P使得ABP0为等腰三角形并写出0P点的坐标；（4）除（3）中所求的0P点外，在抛物线上是否还存在其它的点 P 使得ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P，请说明理由xyCBAE11 O龙文学校 课外辅导资料第 7 页 共 12 页BCQEDAP10如图，在矩形ABCD中，2 2AB ，1AD 点P在AC上，PQBP，交CD于Q，PECD，交于CD于E点P从A点（不含A）沿AC方向移动，直到使点Q与点C重合为止（1）设APx，PQE的面积为S请写出S关于x的函数解析式，并确定x的取值范围（2