电磁感应中导轨问题11

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1、第 1 页 共 6 页电磁感应中的导轨问题电磁感应中的导轨问题综述：电磁感应中有一类关于导轨的习题，涉及运动学、牛顿定律、动量守恒及动量定理、 能量关系等相关知识，现按不同标准分类如下： 一按运动类型分 1.1 利用楞次定律的“阻碍”作用，分析问题。 例 1：MN、PO 为固定水平光滑直导轨，a、b 为金属棒， 磁场垂直导轨平面， 若磁场均匀，a 棒有向右初速度 V0，则 b 如何运动？ 若 a、b 原先静止，当磁场均匀变化时，它们如何运动？解析： 由楞次定律可知，b 棒应向右加速，a 则减速，最后两者达到共速；并且在 达到共速前，始终有 VbVa；因为两者所受安培力等值反向，所以整体合力为

2、0，动 量守恒，MaV0=(Ma+Mb)V共 V共 = MaV0/(Ma+Mb) 若磁场均匀变小，a、b 分开运动，即反向运动；若磁场变大，它们相向运 动。 1.2 在恒定外力作用下，做匀速运动例 2：长为 L、电阻 r=0.3、质量 M=0.1的金属棒 OD 垂直跨在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上，两导轨的 间距也为 L，棒与导轨接触良好，导轨电阻不计，导轨左端接 有 R=0.5 的电阻，量程 03.0A 的电流表串接在一条导轨上， 量程为 01.0V 的电压表接在电阻 R 的两端。垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过平面，现 用向右恒定的外力 F 使金属棒以 V=2m/s 向右匀速滑动，观

3、察到电路中的一个电表正好满 偏，而另一个电表未满偏，则满偏的电表是哪个表？拉动金属棒的外力 F 多大？ 解析： 应是电压表满偏。此时 U=1.0V，I=U/R=2.0A3.0A 电动势 =BLV=I(R+r)=1.6V BL=0.8 又匀速 F外= FA=BIL=0.82=1.6N 1.3 只在安培力作用下做变减速运动 例 3：在例 2 中，若撤去外力 F，此后金属棒将如何运动？从撤去外力开始，通过电 阻 R 的电荷量 Q 是多少？ 解析：撤去外力后，金属棒只受安培力而做加速度越来越小的变减速运动，逐渐慢下 来，最后停下来。对金属棒用动量定理，mvtFA0BLQmvtLBI_ Q=mv/BL=

4、0.25c 1.4 在恒定外力下做变加速运动 例 4：质量 m,长度为 L，电阻为 R 的金属棒 ab，接在竖直放置的 “门”型金属框架上组成闭合回路，框架置于磁感应强度为 B 的匀强磁 场中，棒 ab 在框架上滑动始终保持水平，所受摩擦力为 f，框架电阻不 计，当棒 ab 从静止下滑，达到稳定速度时，电路的电功率是多少？ 解析：棒 ab 下滑后，受到重力、摩擦力、安培力的作用做加速度第 2 页 共 6 页减小的加速运动，直到达到稳定速度。稳定时，mg=f+FA, FA=BIL=B2L2V/R P= FAV=(mg-f)2R/(B2L2) 例 5：两根竖直放置在绝缘地面上的金属框架的上端接有一

5、电容量为 C 的电容器，框架上有一质量为 m，长度为 L 的金属棒，平行于地面放置， 与框架接触良好且无摩擦，棒离地面的高度为 h,磁感应强度为 B 的匀强 磁场与框架平面垂直，开始时电容器不带电，将棒由静止释放，则棒落 地时速度多大？ 解析：对金属棒分析：设其加速度为 a， ma=mgFA=mgBIL 在t（t0）时间内，电容器上的电量变化为Q=CU=CBLV=CBLat 所以，I=Q/t= CBLa 所以，ma= mgBIL=mgB2L2Caa=恒量，因此金属棒作匀加速运动mLCBmg 22222 LCBmmghV1.5 在变力作用下做匀加速运动 例 6：如图甲，一对平行光滑导轨放在水平面

6、上，两轨 道间距 L=0.20m,电阻 R=1；有一导体棒静止放在轨道上， 与两轨道垂直，棒与轨道的电阻都忽略不计。现有一外力 F 沿轨道方向拉棒，使之做匀加速运动，测得力 F 与时间 t 的 关系如图乙所示。求棒的质量 m 和加速度 a. 解析：物体做匀加速运动，由牛顿第二定律可知FFA=maFA=BIL=B2L2V/RV=at F=ma+ B2L2 at /R从图线乙中任取两组坐标如（0s，1.5N） 、 (30s，4.5N)代入，可求得 a=10m/s2, m=0.151.6 外力以恒定功率拉动棒 例 7：两光滑导轨水平放置在匀强磁场中。磁场垂直导轨所在 平面，金属棒 ab 可沿导轨自由

7、滑动，导轨一端接一个定值电阻 R，导轨电阻不计。现将金属棒沿导轨由静止向右拉，若保持拉力 恒定，经时间 t1 后速度为 v，加速度为 a1，最终以速度 2v 做匀速 直线运动；若保持拉力的功率恒定经时间 t2 后，速度为 v，加速度 为 a2，最终也以速度 2v 做匀速直线运动，则 a1 与 a2 的关系怎样？ 解析：F 恒定时，ma1=FFA速度为 v 时，FA=B2L2v/(R+r) r 为金属棒 ab 的电阻匀速时，速度为 2v, a=0, F= B2L22v/(R+r)ma1= B2L2v/(R+r)拉力 F 的功率恒定时，ma2= FFA 速度为 v 时，F=P/v FA=B2L2v

8、/(R+r) 匀速时，a=0,F=FA= B2L22v/(R+r)=P/2v第 3 页 共 6 页 ma2=3 B2L2v/(R+r)=3a1 即 a2=3a1 二、按导轨是否固定分 2.1 导轨固定：上述所有例题都是导轨固定的情况。 2.2 导轨自由例 8：矩形金属线框 abcd 质量为 4m, ab 边和 cd 边的电阻均 为 R，ad 边 bc 边足够长且电阻不计。金属棒 ef 质量 m，电阻为 R，与线框的 ad 边和 bc 边接触良好，且无摩擦。开始时将线框 静止放在绝缘且光滑的水平面上，范围足够大的匀强磁场处置于 线框平面，使金属棒 ef 以初速度 V0向右运动，求金属棒 ef 最

9、终 的速度和其上产生的焦耳热。解析：运动后某时刻，设 ef 中的电流是 I，则 ab cd 中的电流各为 I/2，所以，ef 所受的 安培力 FA=BIL，方向向左，ab cd 所受的安培力 FA1= FA2=BIL/2，方向都向右，所以矩形 框架 abcd 和金属棒 ef 的合力等于 0，系统动量守恒mV0=5mV, 即 V= V0/5 所以 ef 的最终速度为 V0/5，向右；由能量关系，系统产生的焦耳热等于系统损失的动能，Q 总= mV02/25mV2/2= 2mV02/5, 又 QabQcdQef=114Qef=4mV02/15 例 9：例 8 中若金属线框固定，则 ef 的最终速度和

10、其上产生的焦耳热又是多少？解析：ef 最终停下来，V=0Q 总= mV02/2Qef=mV02/3 三、按导轨所处平面分 3.1 导轨处于水平面内，如上面例 1、2、3、6、7、8、9； 3.2 导轨处于竖直面内，如上面例 4、5； 3.3 导轨处于斜面上例 10：MN、PQ 为相距 L 的光滑平行导轨，导轨平面于水平方 向成 角，导轨位于方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。在时 刻 t1=0 时，质量为 m 的导体棒 ab 由静止下滑，在时刻 t2=T，ab 已 在做速度为 v 的匀速直线，设 M、P 间接一阻值为 R 的电阻，其余 电阻均不计，在时间 T 内，磁场力对 ab 的冲量大小为多

11、少？磁感应强度多大？解析：由动量定理，mgsinTIA=mv0 IA= mgsinTmv 匀速时 合外力为 0，mgsin=FA= B2L2v/R VLmgRB2sin例 11：在于水平面成 角 的矩形导电框架范围内，有垂直于 框架平面斜向上、磁感应强度为 B 的匀强磁场，框架 ad、bc 部分 足够长，且电阻不计， ，ab、cd 部分的电阻均为 R，长度均为 L， 有一质量为 m，电阻为 2R，夹于 ad、bc 之间的金属裸导线，从图 示位置无摩擦地平行于 ab 沿框架上冲，上冲初速度未知，其所能到达的离图示位置的最大 高度未 h，此过程中 ab 上发热 Q， ，求 ab 的最大发热功率。解

12、析：由动能定理，0mV02/2=mghWA=mghQ 总QabQcdQ 棒=（I/2）2R（I/2）2RI22R=1Q1Q8Q第 4 页 共 6 页 Q 总=10QV02=2gh+20Q/m又 Pab=Iab2R=（0.5BLV/2.5R）2Rab 棒一直做减速运动，所以速度为 V0时最大， Pabmax=B2L2（20Q+2mgh）/25mR 四、按导轨形状分类 4.1 平行等距导轨，上述所有例题中的导轨都属于此类别； 4.2 平行不等距导轨例 12：无限长的光滑平行导体框架 MON、xoy 水平放置， 左右两侧的宽度分别为 L1、L2，且 L1=2L2=2L，匀强磁场垂直 纸面向里，范围足

13、够大，磁感应强度为 B 两根金属棒 a、b 的 质量分别为 Ma=2Mb=2m，电阻分别为 Ra=2Rb=2R，导轨电阻 不计，初始金属棒 a、b 离 OO足够远。 若开始时金属棒 b 静止，而给金属棒 a 一个水平向右的初速 V0，求此时 b 棒的加 速度？ 若使棒 a、b 同时获得相向的速度，大小分别为 Va、Vb，且 Vb= 2Va=2 V0，求在 以后过程中 b 棒的最小速度。 解析； Vb=0，E=B2LV0，I=E/3R，FAb=BILa=2B2L2V0/3Mr a、b 棒所受安培力大小不相等，合外力不为 0，动量不守恒。 a、b 棒所受安培力大小之比 FAaFAb= L1L2=2

14、1 a、 b 棒的加速度之比 a1a2=11，又 Vb= 2Va=2 V0 所以，a 先减速到 0 后反向（向左）加速，b 一直减速，最终两者一起匀 速，匀速时 b 的速度为其最小速度。 以向左为正方向，对 a、b 分别用动量定理a： FAat=2mVa(2m V0) b： FAbt=mVbm2 V0 且匀速时应有=BS=0，即 Va t2L= Vb tLVa Vb=12 联立上述四式，解得 Va= V0 /3 向左Vb= 2V0 /3 向左 4.3 圆形导轨 例 13：一个粗细均匀、电阻为 2R 的金属圆环，放置在垂直于纸 面向里的匀强磁场中，其直径为 L，将长也 L、电阻为 R/2 的金属

15、棒 ab 放置在金属圆环上，并以速率 v 匀速向右，当 ab 运动到图示位置 时，=60，ab 两端的电势差为多少？ 解析：电动势 E=BLV，圆环左右两部分并联与 cd 部分串联，Uac=Udb=BL（1sin）V/2 Ecd=BL sinV圆环左右两部分电阻分别为 R1=4R/3，R2=2R/3，cd 部分电阻为 r=R sin/2电路中电流 I=Ecd/（R1/R2+r） Ucd=EIr =163938BLV第 5 页 共 6 页 Uab= Uac+Udb+ Ucd= ，且 b 端电势高。643365334BLV）（4.4 三角形轨道 例 14：三角形金属框架 MON 平面与匀强磁场 B 垂直， 导体 ab 能紧贴金属框运动，当导体从 O 点看势向右匀速平 动时，速率为 V，则回路 Obc 中感应电动势随时间变化的函 数关系怎样？ 解析；E=BLcbV=B（Vttg30）V=BV2 tg30t 4.5 正弦形导轨 例 15：匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强 度 B=0.40T，OCA 导轨与 OA 直导轨分别在 O 点和 A 点接一阻值 R1=3.0 和 R2=6.0 几何尺寸可忽略 的定值电阻，导轨 OCA 的曲线方程为 y=1.0sin(x/3)