《2018届北京四中高考数学二轮复习精品资源：专题三+第2讲 空间中位置关系的判断与证明（文）（教师版）+Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届北京四中高考数学二轮复习精品资源：专题三+第2讲 空间中位置关系的判断与证明（文）（教师版）+Word版含答案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题三专题三第第 2 2 讲讲 空间中位置关系的判断与证明空间中位置关系的判断与证明立体几何立体几何考向预测考向预测1以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小；2以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba(2)线面平行的性质定理：a，a，bab(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b(4)面面平行的性质定理：，a，bab2直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl(2)线
2、面垂直的性质定理：a，bab(3)面面垂直的判定定理：a，a(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala热点题型热点题型热点一 空间点、线、面位置关系的判定【例 1】 (2017成都诊断)已知 m，n 是空间中两条不同的直线， 是两个不同的平面，且m，n有下列命题：若 ，则 mn；若 ，则 m；若 l，且 ml，nl，则 ；若 l，且 ml，mn，则 其中真命题的个数是( )A0B1C2D3解析 若 ，则 mn 或 m，n 异面，不正确；若 ，根据平面与平面平行的性质，可得 m，正确；若 l，且 ml，nl，则 与 不一定垂直，不正确；若 l，且 ml，mn，l 与 n 不一定相交，不能推出 ，
3、不正确答案 B探究提高 判断与空间位置关系有关的命题真假的方法：(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断【训练 1】 (2017广东省际名校联考)已知 ， 为平面，a，b，c 为直线，下列命题正确的是( )Aa，若 ba，则 bB，c，bc，则 bCab，bc，则 acDabA，a，b，a，b，则 解析 选项 A 中，b 或 b，不正确B 中 b 与
4、可能斜交，B 错误C 中 ac，a 与 c 异面，或 a 与 c 相交，C 错误利用面面平行的判定定理，易知 D 正确答案 D热点二 空间平行、垂直关系的证明【例 2】 如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面 PAD底面ABCD，PAAD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证：(1)PA底面 ABCD；(2)BE平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD证明 (1)平面 PAD底面 ABCD，且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，PA平面 PAD，PA底面 ABCD(2)ABCD，CD2AB，E 为 CD 的中点，ABDE，且 ABDE四边形 AB
5、ED 为平行四边形BEAD又BE平面 PAD，AD平面 PAD，BE平面 PAD(3)ABAD，而且 ABED 为平行四边形BECD，ADCD，由(1)知 PA底面 ABCDPACD，且 PAADA，PA，AD平面 PAD，CD平面 PAD，又 PD平面 PAD，CDPDE 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，PDEFCDEF，又 BECD 且 EFBEE，CD平面 BEF，又 CD平面 PCD，平面 BEF平面 PCD探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直(3)证明线线垂直，需转化为
6、证明线面垂直(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直【训练 2】 (2017成都诊断)如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，BD 与 EF 交于点H，点 G，R 分别在线段 DH，HB 上，且将AED，CFD，DGGHBRRHBEF 分别沿 DE，DF，EF 折起，使点 A，B，C 重合于点 P，如图 2 所示图 1 图 2(1)求证：GR平面 PEF；(2)若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 PDEF 的内切球的半径(1)证明 在正方形 ABCD 中，A，B，C 为直角在三棱锥 PDEF 中，PE，PF，PD 两两垂直又 P
7、EPFP，PD平面 PEF，即，DGGHBRRHDGGHPRRH在PDH 中，RGPDGR平面 PEF(2)解 正方形 ABCD 边长为 4由题意知，PEPF2，PD4，EF2，DF225SPEF2，SDPFSDPE4SDEF 26122（2 5）2（ 2）2设三棱锥 PDEF 内切球的半径为 r，则三棱锥的体积为 VPDEF PDSPEF (SPEF2SDPFSDEF)r，解得 r 131312三棱锥 PDEF 的内切球的半径为 12（45 分钟）限时训练限时训练经典常规题1(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中
8、，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )【解题思路】 在平面 MNQ 中找是否有直线与直线 AB 平行【答案】 法一 对于选项 B，如图(1)所示，连接 CD，因为 ABCD，M，Q 分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以 ABMQ，又 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，所以 AB平面 MNQ同理可证选项 C，D中均有 AB平面 MNQ因此 A 项不正确故选 A图(1) 图(2)法二 对于选项 A，其中 O 为 BC 的中点(如图(2)所示)，连接 OQ，则 OQAB，因为 OQ 与平面 MNQ 有交点，所以 AB 与平面 MNQ 有交点，即 AB 与平面 MNQ 不平行A 项不正确故
9、选 A2(2016全国卷)， 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：如果 mn，m，n，那么 如果 m，n，那么 mn如果 ，m，那么 m如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)【解题思路】 根据题设条件构建相应的模型（可在长方体中构建） 【答案】 当 mn，m，n 时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为故填3(2016全国卷)平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCDm，平面 ABB1A1n，则 m，n 所成角的正弦值为( )ABCD32223313【
10、解题思路】 利用平行关系转化 m，n 所成角【答案】 如图所示，设平面 CB1D1平面 ABCDm1，因为 平面 CB1D1，所以 m1m，又平面 ABCD平面 A1B1C1D1，且平面 B1D1C平面 A1B1C1D1B1D1，所以 B1D1m1，故 B1D1m因为平面 ABB1A1平面 DCC1D1，且平面 CB1D1平面 DCC1D1CD1，同理可证 CD1n故 m，n 所成角即直线 B1D1与 CD1所成角，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直线 B1D1与 CD1所成角为 60，其正弦值为32故选 A4(2017全国卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，AB
11、CD，且BAPCDP90(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PAPDABDC，APD90，且四棱锥 PABCD 的体积为 ，求该四棱锥的侧面积83【解题思路】 (1) AB平面 PAD；(2)利用(1)中面面垂直作出高【答案】 (1)证明 BAPCDP90，ABPA，CDPDABCD，ABPD又PAPDP，PA，PD平面 PAD，AB平面 PADAB平面 PAB，平面 PAB平面 PAD(2)解 取 AD 的中点 E，连接 PEPAPD，PEAD由(1)知，AB平面 PAD，故 ABPE，ABAD，可得 PE平面 ABCD设 ABx，则由已知可得 ADx，PEx，222故四棱锥 P
12、ABCD 的体积 VPABCD ABADPE x31313由题设得 x3 ，故 x21383从而 PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2，22可得四棱锥 PABCD 的侧面积为 PAPD PAAB PDDC BC2sin 6062121212123高频易错题1(2016浙江卷)已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l若直线 m，n 满足 m，n，则( )AmlBmnCnlDmn【解题思路】 构建模型再进一步证明【答案】 由已知，l，l，又n，nl，C 正确故选 C2(2017全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( )AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1
13、 DA1EAC【解题思路】 画出其图形，一一验证选项【答案】 如图，由题设知，A1B1平面 BCC1B1，从而 A1B1BC1又 B1CBC1，且 A1B1B1CB1，所以 BC1平面 A1B1CD，又 A1E平面 A1B1CD，所以 A1EBC1故选C3(2017江苏卷)如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E 与A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD求证：(1)EF平面 ABC；(2)ADAC【解题思路】 (1)由线线平行得到线面平行；(2)垂直关系互相转化【答案】 证明 (1)在平面 ABD 内，ABAD，EFAD，则 A
14、BEFAB平面 ABC，EF平面 ABC，EF平面 ABC(2)BCBD，平面 ABD平面 BCDBD，平面 ABD平面 BCD，BC平面 BCD，BC平面 ABDAD平面 ABD，BCAD又 ABAD，BC，AB平面 ABC，BCABB，AD平面 ABC，又因为 AC平面 ABC，ADAC4(2016全国卷)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点(1)证明：MN平面 PAB；(2)求四面体 NBCM 的体积【解题思路】 (1)取 BP 中点，利用中位线；(2) N 点到底面的距离是 P 点到底面的距离的一半【答案】 (1)证明 由已知得 AM AD223如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，T
