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1、会宁二中 20172018 学年度第二学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知复数 z 的共轭复数 12i(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内对应的点位于( )zA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析： 求出复数 z，再确定 z 对应的点的坐标 12i，z12i，z 在复平面内对应的点位于第四象限z答案： D2函数 f(x)x34x5 的图象在 x1 处的切线在 x 轴上的截距为( )A10 B5C1 D37解析： f(x)3x24，f(1)7，f(1)10，y107(x1)
2、，y0 时，x .37答案： D3用反证法证明某命题时，对结论：“自然数 a，b，c 中至少有一个偶数 ”正确的反设为( )Aa，b，c 都是奇数Ba，b，c 中至少有两个偶数Ca，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数Da，b，c 都是偶数解析： “至少有一个”的反面是“一个也没有” ，“a，b，c 中至少有一个是偶数”应反设为：a，b，c 都是奇数答案： A4若复数 z(bR，i 是虚数单位)是纯虚数，则复数 z 的共轭复数是( )1bi2iA i B i3535Ci Di解析： 因为 zi 是纯虚数，所以 2b0 且1bi2i1bi2i2i2i2b52b152b10，解得 b2.所以 zi，
3、则复数 z 的共轭复数是 i.答案： C5 5、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】【考点】合情推理6设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 f(x)在 x1 处取得极小值，则函数 yxf(x)的图象可能是( )解析： 由题意知 f(1)0，当 x1 时 f(x)0，当
4、x0，当10 时，xf(x)0.答案： C7若dx3ln 2 且 a1，则实数 a 的值是( )a 1(2x1x)A2 B3C5 D6解析： dx(x2ln x)Error!Error!a2ln a13ln 2，所以 a2.a 1(2x1x)a 1答案： A8观察式子：1 ，1 ，1 ，则可归纳出一般式122321221325312213214274子为( )A 1(n2)1221321n212n1B 1(n2)1221321n22n1nC 1(n2)1221321n22n1nD 1(n2)1221321n22n2n1解析： 由合情推理可得答案： C9如图，阴影部分的面积是( )A2 B233
5、C D353323解析： S(3x22x)dxError!Error!.1 3(3x13x3x2)13323答案： D10已知直线 yx1 与曲线 yln(xa)相切，则 a 的值为( )A1 B2C1 D2解析： 设直线 yx1 与曲线 yln(xa)的切点为(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)又 y，1xay|xx01，即 x0a1.1x0a又 y0ln(x0a)，y00.x01.a2.答案： B11定义复数的一种运算 z1* z2 (等式右边为普通运算)，若复数 zabi，|z1| z2 |2且正实数 a，b 满足 ab3，则 z* 的最小值为( ) zA B923 22C
6、D3294解析： z* z|z|z|22 a2b22a2b2，又ab2 ，ab22ab(ab2)94ab ，z* .94z92 94923 22答案： B12函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(1)0，当 x0 时，有0 恒成xfxfxx2立，则不等式 f(x)0 的解集为( )A(1,0)(1，) B(1,0)(0,1)C(，1)(1，) D(，1)(0,1)解析： 由题意知 g(x)在(0，)上是增函数，且fxxg(1)0，f(x)是 R 上的奇函数，g(x)是 R 上的偶函数的草图如图所示：f(x)x 由图象知：当 x1 时，f(x)0，当10.不等式 f(x)0 的解集为(
7、1,0)(1，)答案： A二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上)13 (x)dx_.1 01x2解析： dx ，1 01x214xdx x2Error!Error! 0 ，1 0121 01212 (x)dx .1 01x21412答案： 141214. 设复数 z 满足 i(z1)32i(i 是虚数单位)，则 z 的实部是_解析： 设 zabi(a，bR)，则 i(z1)i(a1bi)b(a1)i32i，所以 a1，b3，复数 z 的实部是 1.答案： 115下面三段话可组成“三段论” ，则“小前提”是_指数函数 yax(a1)是增函数；y2
8、x是增函数；y2x是指数函数16若函数 f(x)x3x2mx1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是_解析： f(x)3x22xm 要使 f(x)是 R 上的单调函数，需使 412m0，m .13答案： m13三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)若复数 z1i，求实数 a，b 使得 az2b (a2z)2.z解析： 由 z1i，可知 1i，代入 az2b (a2z)2，得 a(1i)2b(1i)zza2(1i)2，即 a2b(a2b)i(a2)244(a2)i.所以Error!Error!解得Erro
9、r!Error!或Error!Error!18(12 分)设函数f(x)x3x2(m21)x(xR R)，其中m0.1 3(1)当m1 时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率； (2)求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)当m1 时，f(x)x3x2，1 3f(x)x22x，2 分 故f(1)1. 所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为 1.4 分(2)f(x)x22xm21. 令f(x)0，解得x1m或x1m.6 分 因为m0，所以 1m1m. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(，1m)，(1m，)内是减函数，在(1m,1m)内是增
10、函数.10 分函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)m3m2 .2 31 3函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)m3m2 .12 分2 31 319(本小题满分 12 分)设 f(n)1 ，是否有关于自然数 n 的函数 g(n)，12131n使等式 f(1)f(2)f(n1)g(n)f(n)1对 n2 的一切自然数都成立？并证明你的结论解析： 当 n2 时，f(1)g(2)f(2)1，得 g(2)2.f1f211(112)1当 n3 时，f(1)f(2)g(3)f(3)1，得 g(3)f1f2f313.1(112)(11213)1猜想 g(n)n(n2)下
11、面用数学归纳法证明：当 n2 时，等式 f(1)f(2)f(n1)nf(n1)恒成立(1)当 n2 时，由上面计算知，等式成立(2)假设 nk 时等式成立，即 f(1)f(2)f(k1)kf(k)1(k2)，那么，当 nk1 时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)kfk11k1(k1)f(k1)1，故当 nk1 时等式也成立由(1)(2)知，对一切 n2 的自然数 n，等式都成立故存在函数 g(n)n 使等式成立20. (12 分)已知函数f(x)ln(x21)，g(x)a.1 x21(1)若f(x)的一个极值点到直线l：2xya50 的距离为 1
12、，求a的值；2(2)求方程f(x)g(x)的根的个数解：(1)由f(x)0，得x0，2x x21故f(x)仅有一个极小值点M(0,0)，根据题意得：d1.|5a| 3a2 或a8.(2)令h(x)f(x)g(x)ln(x21)a，1 x21h(x)2x.6 分2x x212x x2121 x211 x212当x(0,1)(1，)时，h(x)0，当x(，1)(1,0)时，h(x)0.因此，h(x)在(，1)，(1,0)上时，h(x)单调递减，在(0,1)，(1，)上时，h(x)单调递增.8 分又h(x)为偶函数，当x(1,1)时，h(x)的极小值为h(0)1a.当x1时，h(x)，当x1时，h(
13、x)，当x时，h(x)，当x时，h(x).10 分故f(x)g(x)的根的情况为：当 1a0 时，即a1 时，原方程有 2 个根；当 1a0 时，即a1 时，原方程有 3 个根当 1a1 时，原方程有 4 个根 21(本小题满分 12 分)用总长 14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架如果所做容器的底面的一边长比另一边长多 0.5 m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积解析： 设该容器底面的一边长为 x m，则另一边长为(x0.5)m，此容器的高为 hx(x0.5)3.22x(00，函数 V(x)单调递增；x(1,1.6)时，V(x)7 且 b3.满足条件的 b 存在，其取值范围是(7，3)(3，)
